2021年湖南省湘潭市縣某中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021年湖南省湘潭市縣第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬

試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知全集U={0,l,2,3,4},集合A={1,2,3,},B={2,4},則（CuA）「B為（）

A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.

{0,2,3,4）

參考答案：

C

2.函數(shù)y=x-的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-8,i）B.（-8,i]c.（0,1]D.[0,1]

參考答案：

考點(diǎn)：函數(shù)的值域.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：運(yùn)用換元法tn/K,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，注意變量的范圍.

解答：解：設(shè)t=W-x,則y=_/-t+i,t2o,

?.?對(duì)稱軸為t=2,可知；在[0,+8）上為單調(diào)遞減函數(shù)，

.?.當(dāng)t=0時(shí)，y的最大值為1,

即函數(shù)y=x-的值域?yàn)椋?8,1],

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題來解決，此類型題，要特別注意心

自變量的取值范圍.

3.函數(shù)■為x+3在區(qū)間卜2.4］的值域?yàn)棰?(4)］,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

(A)卜2>2(B)仁川(C)SR(D)

參考答案：

D

4.已知集合A={x|x>l},B={y|y=x2,x6R},則()

A.A=BB.B?AC.A?BD.AAB=?

參考答案：

C

【考點(diǎn)】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

【分析】先化簡(jiǎn)集合B,再根據(jù)集合的基本關(guān)系即可判斷.

【解答］解：B={y|y=x2,x6R}={y|y20},

VA={x|x>l},

.\A?B.

故選C,

5.曲線C：y=x'+x在x=l處的切線與直線ax—y+l=0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為

()

J1

A.3B.-3C.3D.-3

參考答案：

D

6.已知{知}是公差d不為零的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”若巧成等比數(shù)列，則

A//>。.遍>0B4Vo

C.d>Q.g<0

參考答案:

B

?..等差數(shù)列mJ,生，a。，生成等比數(shù)列,

(/?3rf=(a：+24/Xq+7d)=>a：

)?-

海褲=

S&=2(Oj?a4)=2(q?q?一提焉'vi創(chuàng)對(duì)況=-三；'叫

B.

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前，項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念

7.按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列2/3,-4/5,6/7,-8/9,……的第數(shù)項(xiàng)是

A.-16/17；B.-18/19；C.-20/21；D.-22/23；

參考答案：

C

略

8.命題女6口*2^20的否定

A.Vx€R,X2-XS0B.eR,x'-x20

cVxeR.x'-x<0DBxeR,x3-x<0

參考答案:

D

略

9.復(fù)數(shù)I0+A()

A.l+iB.C.-1+i

D.-1-1

參考答案:

C

】。.已知集合M?團(tuán)吉他所⑸的L則.3])

A.(-3,-1]B.(T-DC.(l)

D.(T1)

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.數(shù)列伍”｝的通項(xiàng)公式為即=,其前〃項(xiàng)之和為1(),則在平面直

角坐標(biāo)系中，直線(〃+l)x+y+〃=O在y軸上的截距為

參考答案：

-120

由已知，得an==—,則Sn=ai+a2-l---Fan=(―)+(―)H----1-(―)=—1,/.

-1=10,解得n=120,即直線方程化為121x+y+120=0,故直線在y軸上的截

距為一120

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是

匚次住他視住

參考答案:

92

略

13.曲線y=x3-2x在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程是,

參考答案:

x-y-2=0

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在X=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)

斜式方程寫出切線方程即可.

【解答】解：y'=-2+3x2

y'lx=-i=l

而切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1)

曲線y=x3-2x在x=l的處的切線方程為x-y-2=0

故答案為：x-y-2=0

14.設(shè)X,V滿足約束條件12r"Sg向量7=(/+己3=QD,且G/廟，則?

的最小值為.

參考答案：

5

4

由向量平行的充要條件可得：m=x2+V2,

繪制不等式組表示的可行域區(qū)域，結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式的幾何意義可得：

目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值m=1'+(J=J

15.已知函數(shù)/a）=-x'+"’+6x（a,beR）的圖象如下圖所示，它與x軸在原點(diǎn)處相

1

切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為五，則a的值

參考答案：

-1

/'(x)=-3彳’+2aHb,\J(0)=01一b=0,.?.￡*(x)=—x^+ax:令f(x)=O,得x=0

￡12

或x=a(a<0)..\S陰影=R[0—(—x3+ax2)]dx=(4xl—3ax3)|=12a1=12,Aa=

-1.

—r+-r=Ma>&A

16.在平面直角坐標(biāo)系xO)'中，已知點(diǎn)A,尸分別為橢圓C：ab1的右頂

點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓C于尸，Q兩點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M,若Q,

F,M三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率為.

參考答案：

1

3

【分析】

根據(jù)〃，2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱假設(shè)W人”)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得

-----

I22jf利用三點(diǎn)共線可得頂〃府，利用向量共線可構(gòu)造等式，從而求得離

心率.

【詳解】由題意知:P,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)以FF)

又如0),尸(GO),則“(亍?力

一衣=(….),西=(可Y)

QQ,F,"三點(diǎn)共線:.FQUFH

￡=1

2I2),整理可得：a3

1

即橢圓C的離心率：*-3

1

本題正確結(jié)果：3

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于a，的齊次方程，本題構(gòu)造

方程的關(guān)鍵是能夠?qū)⑷c(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線的關(guān)系，從而利用向量共線定理可求得結(jié)果.

17.2=

參考答案：

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

cosC2a-c

18.在aABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，cosB=b,且a+c=2.

(1)求角B；

(2)求邊長(zhǎng)b的最小值.

參考答案：

【考點(diǎn)】HS：余弦定理的應(yīng)用；HP：正弦定理.

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式，求角B；個(gè)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即

可.

(2)利用余弦定理求邊長(zhǎng)b的最小值.推出b的表達(dá)式，利用基本不等式求解即可.

cosC_2sinA-sinC

【解答】解：(1)在△ABC中，由已知cosB-sinB,

即cosCsinB=(2sinA-sinC)cosB,

sin(B+C)=2sinAcosB,sinA=2sinAcosB,…4分

△ABC中，sinAWO,

故cosB§，B吟…§分.

(2)a+c=2,

B二,.

由(1)3,因此b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac…9分

由已知b?=(a+c)2-3ac=4-3ac…10分

>4-3(^)2=4-3=1

Z???]1分

故b的最小值為1.…12分

19.如圖，E是圓O中直徑CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，弦ABCF,AE交圓O于P,PB交CF于D,連

接AO、AD.

求證：(I)二E=」OAD；

(H)OF2=OODE.

參考答案:

證明：（i）??./￡="陽-NPOE，

LOAD=乙40c-￡ADC=￡APD-^ADC.

^PDE=^CDB=ZADC.

Z￡=ZO4D.

（II）vZ￡=Z.OAD,ZAOD=Z￡OA..LAOD^t^EOAi

,OA=OD

OE~OA，即"=O￡XDE,

又3=。尸；.?.OF2=OZXD￡

略

20.（本小題滿分12分）在育民中學(xué)舉行的電腦知識(shí)競(jìng)賽中，將九年級(jí)兩個(gè)班參賽的

學(xué)生成績(jī)（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方

圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,（）.15,

0.10,0.05,第二小組的頻數(shù)是40.

⑴求第二小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;

⑵求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少？

⑶求兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)。

參考答案：

(1)0.40,圖見解析(2)100(3)64.5

略

21.選修4-1：幾何證明選講

如圖所示，已知PA與。0相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD〃AP,

AD、BC相交于點(diǎn)E,F為CE上一點(diǎn)，且DE：EF?EC.

(1)求證:CE?EB=EF?EP；

(2)若CE：BE=3：2,DE=3,EF=2,求PA的長(zhǎng).

參考答案：

【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.

【專題】選作題.

【分析】(I)由已知可得aDEFs/XCED,得到NEDF=NC.由平行線的性質(zhì)可得

ZP=ZC,于是得到NEDF=NP,再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明△EDFs^EPA.于是得到

EA?ED=EF?EP.利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB,進(jìn)而證明結(jié)論；

15

(ID利用(I)的結(jié)論可律BP=7■，再利用切割線定理可得PAJPB?PC,即可得出PA.

【解答】(I)證明:VDE2=EF?EC,NDEF公用,

/.△DEF^ACED,

.'.ZEDF=ZC.

又：弦CD〃AP,/.ZP=ZC,

?,.ZEDF=ZP,ZDEF=ZPEA

/.△EDF^AEPA.

EA_EP

.,.EF^ED,.,.EA?ED=EF?EP.

又；EA?ED=CE?EB,

.,.CE?EB=EF?EP；

(II),.,DE2=EF?EC,DE=3,EF=2.

CE?

.-.32=2EC,A2.

VCE：BE=3：2,.".BE