3.3 拋物線-(選擇性必修第一冊(cè)) (教師版)

拋物線1定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線.如圖，P在拋物線上，2幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖象頂點(diǎn)(0,0)對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)F(F(?F(0,F(0,?準(zhǔn)線方程x=?x=y=?y=離心率e=13一些常見結(jié)論①過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于A,B兩點(diǎn)的線段AB，稱為拋物線的“通徑”，即|AB|=2p②若A、B在拋物線y2=2px上，F(xiàn)【題型一】拋物線的定義與方程【典題1】與圓x－22+y2=1外切，且與直線x+1=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是【解析】由圓x－22+y2=1可得：圓心F(2，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P(x,y)過點(diǎn)P作PM⊥直線l：x+1=0，則|PF|－r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得點(diǎn)P的軌跡是到定點(diǎn)F(2,0)的距離和到直線L：x=－2的距離相等的點(diǎn)的集合．由拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線，定點(diǎn)F(2,0)為焦點(diǎn)，定直線L：x=－2是準(zhǔn)線．∴拋物線的方程為：y2∴所求軌跡方程是y2【點(diǎn)撥】①直線l與圓O相切?圓心O到直線l的距離d=r;②根據(jù)拋物線定義求方程，要確定好焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.鞏固練習(xí)1(★)到直線x=－2與到定點(diǎn)P(2,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線【答案】C【解析】動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)P(2,0)的距離與到定直線l：x=－2的距離相等，所以M的軌跡是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，故選：C．2(★★)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是．【答案】y2【解析】∵點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離少1∴點(diǎn)P到直線x=－4的距離和它到點(diǎn)(4,0)的距離相等．根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(4,0)為焦點(diǎn)，以直線x=－4為準(zhǔn)線的拋物線，∴p=8，∴P的軌跡方程為y2故答案為：y2【題型二】拋物線的圖象及其性質(zhì)【典題1】設(shè)拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，A是C上的一點(diǎn)且在第一象限，以F為圓心，以FA為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，且【解析】∵A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，∴AB由拋物線定義知|AD|=|AF|=1又拋物線C：y2=8x∴在Rt△ADB中，可得|AD|=4|OF|=8．設(shè)A的橫坐標(biāo)為x0，則|AD|=x【點(diǎn)撥】①在拋物線中，遇到過焦點(diǎn)的直線，特別要注意拋物線定義的運(yùn)用；②若A、B在拋物線y2=2px上，F(xiàn)【典題2】已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在拋物線上，且M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線點(diǎn)【解析】如圖，分別過M，N作ME，由PN→=由拋物線定義可知NF=NG再由△PNG∽△PME，得∴MF=2NF，則NF=1∴p故答案為：23【點(diǎn)撥】①本題主要利用了相似三角形的性質(zhì)(A字型)與拋物線的定義得到各線段的比值關(guān)系，平時(shí)解題中要多觀察圖象；②題中線段過多，顯得有些亂，其實(shí)在考試的非解答題中，遇到這類似問題，由于題目中沒出現(xiàn)任一線段長(zhǎng)度，確定p|MF|=FKME后，可設(shè)某一線段等于一具體數(shù)值，比如本題設(shè)PN=1(其實(shí)令【典題3】已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)【解析】如圖所示：連接MF，∵y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為∴FH=2∵M(jìn)，N分別為PQ∵PQ垂直l于點(diǎn)Q∴四邊形MQFR是平行四邊形，∵PQ=PF，∠∴MF⊥PQ，∴四邊形MQHF是矩形，∴FR=MQ=2，故答案為：2．【點(diǎn)撥】①△PQF為等邊三角形?三線合一：MF⊥PQ②M，N分別為PQ，【典題4】已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，其準(zhǔn)線為l，過F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，作MS⊥l，NT⊥l，垂足分別為S，T．若A．y2=±x B．y2=±2x C．【解析】如圖所示，過點(diǎn)N作NH∥l交直線MS于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)P設(shè)點(diǎn)M(x當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的正半軸時(shí)，設(shè)拋物線C：y∵M(jìn)F→∴∴－y1=3由①②可解得x1∴y∴∴S△STF=此時(shí)拋物線C的方程為y2同理，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸時(shí)，可得p=－2，此時(shí)拋物線C的方程為y2綜上所述，拋物線C的方程為y2故選：D．【點(diǎn)撥】①本題處理向量MF→②遇到“△STF的面積為833”，想到把△STF的面積用p表示，從而求出p;關(guān)鍵在于ST=y1【典題5】已知F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，K為C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，設(shè)∠①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在點(diǎn)P，滿足其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【解析】①由于對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn)P(m,n)，則n當(dāng)直線PK與拋物線相切時(shí)，可使β取得最大值．可設(shè)直線PK方程為y=k(x+p由y=k(x+p2則?=k∵β是銳角，∴tanβ=k=1?β=π4②過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，在Rt△PQK中在Rt△PQF中，∴tanβ=sinθ，即②③在△PKF中，由正弦定理知，若α=2β，則m+p故存在點(diǎn)P符合題意，即③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)撥】第一問是通過幾何法確定直線PK與拋物線相切時(shí)，可使β取得最大值；第二問，涉及到三角函數(shù)tanβ、sinθ之類的，可想到構(gòu)造直角三角形；第三問，是否存在點(diǎn)P，用了假設(shè)法確定m是否在自身范圍之內(nèi)，即m>0與否.鞏固練習(xí)1(★★)【多選題】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M(3,1)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)P(xA．x1x2=1C．|PQ|=254 D．l1與【答案】ABC【解析】如圖所示，由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,1)∴x1x∴kPQ=由拋物線的定義可知，|PQ|=x1∵l1與∴l(xiāng)1與l2之間的距離d=|故選：ABC．2(★★)如圖過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若A．2 B．32 C．3 D．6【答案】B【解析】過A，B|BC|=2|BF|=2BM，∠MCB=30°所以F為AC的中點(diǎn)，故選：B．3(★★★)【多選題】已知拋物線x2=1A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為(18，B．若直線MN過點(diǎn)F，則xC．若MF→=λNF→，D．若|MF|+|NF|=32，則線段MN的中點(diǎn)P到x【答案】BCD【解析】拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過F時(shí)，則x1x2若MF→=λNF→，則|MN|拋物線x2=12過點(diǎn)M、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM'則|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|所以|PP'|=所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP'|?18=故選：BCD．4(★★)已知點(diǎn)A(0,4)，拋物線C：x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為1，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，【答案】x2【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(0,p2)，∵|PH|=|PA|，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q則Q為AF的中點(diǎn)，∵∠APH=120°，∴∴|PQ|=3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(∵點(diǎn)P在拋物線C上，化簡(jiǎn)得5p2+112p－192=0∴拋物線方程為x25(★★★)如圖，點(diǎn)A是曲線y=x2+2(y≤2)上的任意一點(diǎn)，P(0,－2)，Q(0,2)，射線QA交曲線y=18x2于B點(diǎn)，BC垂直于直線y=3A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①都錯(cuò)誤，②正確【答案】A【解析】曲線y=x2為雙曲線y22?x2由雙曲線定義知，||AP|－|AQ||=22，又曲線y=18x2即拋物線x過B作BD垂直直線y=－2于D由拋物線定義，知|QB|+|BC|=|BD|+|BC|=|CD|=5，②故選：A．【題型三】最值問題【典題1】如圖所示點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在拋物線y2=8x及圓x－22+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且【解析】拋物線的準(zhǔn)線l：x=－2，焦點(diǎn)F(2,0)，由拋物線定義可得|AF|=xA圓x－22+y2=16∴△FAB的周長(zhǎng)=由拋物線y2=8x及圓x－22∴【點(diǎn)撥】△FAB的周長(zhǎng)是由點(diǎn)B確定的，結(jié)合拋物線的定義利用幾何法把△FAB周長(zhǎng)用xB表示，求出x【典題2】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y=x2A．|OA|?|OB|≥2B．|OA|+|OB|≥2C．直線AB過拋物線y=x2的焦點(diǎn) D．O到直線AB【解析】設(shè)A(∵OA⊥OB，∴OA∴OA∴1+x∴OA=1+當(dāng)且僅當(dāng)x12=1x又|OA|+|OB|≥2|OA|?|OB|≥22，∵直線AB的斜率為x∴直線AB的方程為：y－x當(dāng)x=0時(shí)，y=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,14)不滿足直線AB原點(diǎn)(0,0)到直線AB：(x1?故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．【點(diǎn)撥】①題中垂直關(guān)系相當(dāng)了向量數(shù)量積為0，②本題求最值用了基本不等式a+b≥2ab【典題3】若點(diǎn)P是曲線C1：y2=16x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線C2：x－42+y2=9【解析】設(shè)P的坐標(biāo)(x,y),由拋物線的方程y2可得焦點(diǎn)F(4,0),恰好為圓：x－42+因?yàn)镻在拋物線上，所以|OP|=|PQ|的最小值為P到圓心的距離減半徑3，即P到準(zhǔn)線的距離減3(P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)取到)，所以|PQ|=x+4－3=x+1，所以|設(shè)t=x+1，則x=t－1，所以PQ當(dāng)t=157，即x=87所以|PQOP|故答案為：158【點(diǎn)撥】求PQOP的最小值，而它是由兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q(1)可先假設(shè)點(diǎn)P是定點(diǎn)，思考點(diǎn)Q在哪里PQOP取到最小值(此時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)問題變成了一動(dòng)點(diǎn)問題)，而P是定點(diǎn)，OP是確定的，由拋物線定義可知PQmin(2)接著再思考點(diǎn)P在哪里PQOP取到最小值，即思考x為何值時(shí)，鞏固練習(xí)1(★★)已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線y=x24上一動(dòng)點(diǎn)P(【答案】2【解析】用拋物線的定義：焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為dy0(當(dāng)且僅當(dāng)F、Q、P共線時(shí)取等號(hào))故y0+|PQ|的最小值是故答案為：2．2(★★)若點(diǎn)A為拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|=6，點(diǎn)P為直線x=－1【答案】221【解析】由題意可知，由拋物線的定義可知，代入拋物線方程，得yA2=20，設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x=－1的對(duì)稱點(diǎn)為E，則∴|PA|+|PF|=|PA|+|PE|≥|AE|=(5+33(★★★)已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，M(x1,y1【答案】π3【解析】∵拋物線方程為：y2=4x設(shè)P(m,n)(m>0)，則Q(0,n),∴PQ∴當(dāng)m=12時(shí)，4(★★★)已知點(diǎn)M(2,0)，點(diǎn)P在曲線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則|PM【答案】4【解析】設(shè)P(x,y)，可得|PM當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得最小值4．5(★★★)已知拋物線C方程為x2=4y，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線分別交【答案】[2,+∞)【解析】由已知可判斷直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，因?yàn)镕(0,1)，則設(shè)A(x1，x12∴x由于拋物線C也是函數(shù)y=14x2的圖象，且y'=1令y=0，解得x=12同理可得，∴AP=116∵k2≥