3.5.1 二次方程根的分布問題-(必修第一冊) (教師版)

二次方程根的分布問題1概念二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函數(shù)2常見題型①兩根與k的大小比較(以a>0為例)分布情況兩根都小于k，即x兩根都大于k，即x一根小于k，一根大于k，即x大致圖像得出的結(jié)論?>0?>0f②兩根分別在區(qū)間(m,n)外aa<0大致圖像得出的結(jié)論ff③根在區(qū)間上的分布(以a>0為例)分布情況兩根都在(m,n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m,n)內(nèi)一根(m,n)內(nèi)，另一根在(p,q)內(nèi)大致圖像得出的結(jié)論?>0ffm>0【題型一】兩根與k的大小比較【典題1】若關(guān)于x的二次方程mx2+2m?1x?m+2=0(m>0)的兩個(gè)互異的實(shí)根都小于1，則實(shí)數(shù)【解析】∵關(guān)于x的二次方程mx2+則m>0△=(2m?1)2(m>0開口向上，?>0有兩根，1?2m2m<1對稱軸在f1>0確定最大根小于即m>0m<3?7即m的范圍為(3+74，+∞)，故答案為：(【點(diǎn)撥】思考下，要確保題意成立，(?)中滿足的四項(xiàng)分別屬于二次函數(shù)的什么性質(zhì)呢？不要其中一項(xiàng)是否可以，又為什么呢(結(jié)合圖像)？確定僅滿足這四項(xiàng)就行了么？這屬于對題意的必要性與充分性的思考，做到“等價(jià)轉(zhuǎn)化”！【典題2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1【解析】方法一當(dāng)2m+1>0時(shí)，若要滿足題意，必須f0當(dāng)2m+1<0時(shí)，若要滿足題意，必須即2m+1f0<0?方法二：(韋達(dá)定理)設(shè)x1,x若要滿足題意，則?=4m解得?1【點(diǎn)撥】對于一些特殊根的分布問題，我們可靈活采取其他的方法.【題型二】根在區(qū)間上的分布【典題1】已知關(guān)于x的二次方程x2(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的范圍是．【解析】設(shè)f(x)=問題轉(zhuǎn)化為拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，則故m的范圍是(?5【點(diǎn)撥】需要考慮對稱軸位置么？需要討論判別式?么？【典題2】方程mx2?(m?1)x+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m的取值范圍為【解析】構(gòu)造函數(shù)fx=m(能發(fā)現(xiàn)f0=1很重要，要滿足題意只能m>0，避免討論∵方程mx2?(m?1)x+1∴m>0【典題3】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的兩根分別在區(qū)間(0,1)，(1,3【解析】方法1方程x2－若要滿足題意，則f故答案是(0,1).方法2方程x2－(發(fā)現(xiàn)方程可以直接因式分解求根)∴方程兩根為x1若要滿足題意，則0<a<11<a+1<3，解得0<a<1故答案是(0,1).【點(diǎn)撥】顯然方法2比方法1更簡潔些，主要是因?yàn)樗芡ㄟ^因式分解求出的根形式簡潔！那前面的例題是否都不可以先求出根再求解呢？我們拿本題型中的典題2看看，很難直接因式分解，利用求根公式得x1x2=m?1?m2其中還要注意m2?6m+1>0和m>0在方法的選取上，我們要清晰方法的適用范圍！【題型三】兩根分別在區(qū)間(m【典題1】已知關(guān)于x的方程ax2+x+2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)a【解析】顯然a≠0，關(guān)于x的方程ax(對開口方向進(jìn)行討論，分a>0和a①若a>0，即圖象開口向上，ax2+x+2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1即2<0且a+3<0，則a∈?；(若發(fā)現(xiàn)f0=2結(jié)合圖像也可知a②若a<0，即圖象開口向下，ax2+x+2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1即2>0且a+3>0，則－3<a<0．綜上可得a的范圍是(－3,0)．故答案為：(－3,0)．【方法總結(jié)】①求解二次方程根的分布問題，最重要是數(shù)形結(jié)合做到“等價(jià)轉(zhuǎn)化”;多畫圖思考：圖像要怎么畫才能滿足題意，怎么畫就不滿足題意，它們之間的區(qū)別在哪里？②畫圖時(shí)注意二次函數(shù)四大因素--開口方向，對稱軸，判別式，特殊點(diǎn).備注：特殊點(diǎn)是指含參的二次函數(shù)過的一些定點(diǎn)(比如與x,y軸的交點(diǎn))或某些函數(shù)值的正負(fù).③對于一些特殊情況，還可以利用韋達(dá)定理、因式分解求出根再求解等方法.鞏固練習(xí)1(★)已知關(guān)于x的方程x2+kx+k2+k－4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一根大于2，一根小于2，則實(shí)數(shù)【答案】(?3,0)【解析】令fx=x即：22+2k+k2+k－4<0所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3,0)；故答案為：(－3,0)．2(★)方程x2?2?ax+5?a=0的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)【答案】?5<a≤?4【解析】由題意，方程x2－(2－a)x+5－a=0的兩根都大于令f(x)=x可得：△≥0f(2)>02?a2解得：－5<a≤－4．3(★★)若方程7x2?m+13x?m?2=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)上，則實(shí)數(shù)m【答案】(?4,?2)【解析】設(shè)函數(shù)f(x)=7x∵方程7x2－(m+13)x－m－2=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0，∴則－4<m<－2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－4,－2)；4(★★)關(guān)于x的方程x2?(a?1)x+4=0在區(qū)間[1,3]內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】(5,16【解析】關(guān)于x的方程x2－(a－1)x+4=0在區(qū)間令f(x)=x則有△=(a?1)2?16>05(★★)若關(guān)于x的一元二次方程x2+ax?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1,x2，且【答案】?1<a<1【解析】由題意設(shè)f(x)=x∵方程x2+ax－2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根且x1<－1，∴f(?1)<0f(1)<0，則解得－1<a<1，6(★★★)求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2??；(2)有兩個(gè)實(shí)根α,β，且滿足0<α<1<β<4；(3)至少有一個(gè)正根.【答案】(1)m<?1(2)?75<m<?5【解析】設(shè)y=f(x)=x(1)依題意有f(2)<0，即4+4(m?1)+2m+6<0，得m<?1．(2)依題意有f0=2m+6>0f(1)=4m+5<0(3)方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得Δ≥0f②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得f(0)<0，得m<?3．③有一個(gè)正根，另一根為0，此時(shí)可得6+2m=0綜上所述，得m≤?1．挑戰(zhàn)學(xué)霸二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足p求證：(1)pf(mm+1)<0；(2)方程f(x)=0【答案】1m<?1(2)?7【證明】(1)pf=pm[pm=pm==由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0．又m>0，所以pf(m(2)由題意，得f(0