2021年高中數(shù)學(xué)第3章 學(xué)案新人教A版選修1-2

3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系

的擴(kuò)充過程.（重點(diǎn)）1.通過學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充，培養(yǎng)邏輯推理

2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念.（重的素養(yǎng).

點(diǎn)）2.借助復(fù)數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的素

3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條養(yǎng).

件.（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）

課前自主學(xué)習(xí)自主預(yù)習(xí)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

K新知初探十

1.復(fù)數(shù)的概念：z=a+bi（a,h&R）

（虛單）

（復(fù)數(shù)的代數(shù)形幻TZ1+!i+T虛數(shù)單位,送曰）

（嬴）

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合?="+歷|”,16R,叫做復(fù)數(shù)集.

2.復(fù)數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,h,c,d都是實(shí)數(shù)，那么a+%i=c+di=a=c且b=d.

3.復(fù)數(shù)的分類

（實(shí)數(shù)g=0）

z=a+bi（a,Z?SR）＜,[非純虛數(shù)（。#0）

產(chǎn)f純虛數(shù)SO）

思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系？

C[i-2=-2+i,因此虛部是1.]

2.如果（x+），）i=x-l,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為（）

A.x=l,y=~lB.x=0,y=—l

C.x=1,y=0D.x=0,y=0

A[V(x+y)i=x—1,

.卜+y=0,

**U-i=o,

/?x=1,y=-1.]

3.在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是,屬于純虛數(shù)的是.

0』+i,兀i,4+2i,§一小力爭.

1+i,兀i,小+2i,3一小i，爭兀i，爭[根據(jù)虛數(shù)的概念知：1+i,兀i,小+2i,：一

小i,爭都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：兀i,堂都是純虛數(shù).]

捱里奧廷解惑合作探究。釋疑難曼杜恚芥壑感一…

“小1復(fù)數(shù)的概念

【例1】給出下列說法：①復(fù)數(shù)2+3i的虛部是3i；②形如〃+為3CR)的數(shù)一定是

虛數(shù)；③若“GR,aWO,則(a+3)i是純虛數(shù)；④若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)

數(shù).其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

C[復(fù)數(shù)2+3i的虛部是3,①錯(cuò)；形如a+/?iSeR)的數(shù)不一定是虛數(shù)，②錯(cuò)；只有

當(dāng)“WR,〃+3W0時(shí)，(“+3)i是純虛數(shù)，③錯(cuò)；若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)

數(shù)，故④正確，所以有3個(gè)錯(cuò)誤.]

廠.......規(guī)法..........................

判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)

(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念，注意它們之間的區(qū)

別與聯(lián)系；

(2)注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同；

(3)注意通過列舉反例來說明一些命題的真假.

IJ

I2艮進(jìn)訓(xùn)練]

1.下列說法中正確的是()

A.復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成

B.若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yGR)是虛數(shù),則必有xWO

C.在復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yGR)中，若x/0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)

D.若“，匕6R且則a+i>〃+i

C［選項(xiàng)A錯(cuò)，復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)：選項(xiàng)B

錯(cuò)，若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yGR)是虛數(shù)，則必有y#0,但可以x=0;選項(xiàng)C正確，若復(fù)數(shù)z

=x+yi(x,y6R)是純虛數(shù)，必有x=0,y￥0,因此只要xWO,復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)；選

項(xiàng)D錯(cuò)，當(dāng)出OCR時(shí)，a+i與6+i都是虛數(shù)，不能比較大小.］

復(fù)數(shù)的分類

【例2】實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)2=—^一+(%2—2%—15)1是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛

數(shù)？(3)純虛數(shù)？

//_2^--[5=0

[解](1)當(dāng)x滿足'，二''即x=5時(shí)，z是實(shí)數(shù).

[x+3W0,

F—2XT5W0,

(2)當(dāng)x滿足即xW—3且xW5時(shí)，z是虛數(shù).

J+3#O,

x1—x~6

x+3=仇

(3)當(dāng)x滿足v即x=-2或x=3時(shí)，z是純虛數(shù).

?-2x-15^0,

、x+3#0,

1.......規(guī)律，5法.........................

復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵

(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿

足的關(guān)系式.求解參數(shù)時(shí)，注意考慮問題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式2=。+歷3,6GR)

時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.

(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+/?i(a,6ER),則①z為實(shí)數(shù)方=0,

②z為虛數(shù)<③z為純虛數(shù)<>a=0,bWO,@z=O^^a=O,且〃=0.

I)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知復(fù)數(shù)z=lg機(jī)+(加一l)i,當(dāng)〃?為何值時(shí)，

(l)z為實(shí)數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù).

團(tuán)2-］=0,

［解］(1)當(dāng)Z為實(shí)數(shù)時(shí)，機(jī)需滿足解得m=1.

〃?>0,

“2—1W0,

(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，能需滿足解得"?>0,且mWL

yn>0,

/H=0,

(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，加需滿足，無解，即不存在"?使z為純虛數(shù).

小一1W0,

復(fù)數(shù)相等的充要條件

［探究問題J

1.由3>2能否推出3+i>2+i?兩個(gè)實(shí)數(shù)能比較大小，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？

提示：由3>2不能推出3+i>2+i,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)

數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小.

2.若復(fù)數(shù)z=a+6i>0,則實(shí)數(shù)“，％滿足什么條件？

提示：若復(fù)數(shù)z=a+6i>0,則實(shí)數(shù)”，〃滿足〃>0,且6=0.

【例3】(1)若復(fù)數(shù)2=(,“+1)+(/—9)i<0,則實(shí)數(shù)機(jī)的值等于.

(2)已知關(guān)于x的方程f+(l-2i)x+(3機(jī)-i)=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值.

思路探究：(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為虛部為零，且實(shí)部小于零.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.

nr—9=0,

(1)-3[Vz<0,

m+1<0,

/.m=-3.]

(2)解：設(shè)〃是原方程的實(shí)根，則。2+(1—2i)〃+(3機(jī)-i)=0,即(〃2+〃+3加)一(2〃+l)i

=0+0i,

所以a2+a+3m=0且2a+1=0,

所以a=

［母題探究］

1.若x=l是方程『+(l-2i)x+(3加一i)=0的實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)機(jī)的值.

［解］由題意可知，l+l-2i+3〃z-i=0,

2

即m=-g+i.

2.若f+(l—2i)x+(3加-i)>0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

［解］由題意可知，f+(l—2i)x+(3加一i)=x1+x+3m—(2x+\)i>0,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為心強(qiáng).

....規(guī)律法....

復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧

(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，

同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).

提醒：若兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù).

k；

…談堂先必必爭課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙底盲點(diǎn)掃除

必?備素養(yǎng)m

[a>0,

I.a,bGR,。+與=0=a=6=0；a+bi>0={

[b=0.

2.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

3.z是復(fù)數(shù)，z220不一定成立，如i2=-lV0.

4.復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本、最重要的思想方法.

1.判斷正誤

⑴若。，〃為實(shí)數(shù)，則2=。+歷為虛數(shù).()

⑵復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.()

(3)日是純虛數(shù).()

(4)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.

[答案](1)X(2)X(3)X(4)J

2.已知復(fù)數(shù)z="2-(2—6)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是()

A.小,1B詆5

C.4，5D.±yJ2,1

\a2=2,

C[令°得a=電b=5.]

[—2+8=3,

3.己知?一丁+2與4=2「則實(shí)數(shù)x,y的值分別為.

[x=\[x=-1

或[Vx2-y2+2xyi=2i,

gl口=-1

22

A—>'=0,x=l,x=~\,1

'解得,或C=-i.

加=2,尸1,

4.實(shí)數(shù)小分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)2=(加+5"2+6)+(加2—2加―15)i

(1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0.

[解]由,〃2+5〃?+6=0得，,〃=—"2或%=-3,由加2—15=0得，〃=5或%=—

3.

（1）當(dāng)m2—2m—15=0時(shí),

復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，

，m=5或一3.

⑵當(dāng)加2—2機(jī)一15Ho時(shí)，

復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，

且mW—3.

/"2-2”一15W0,

⑶當(dāng)彳7,時(shí)，

加2+5根+6=0

復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，

**?m=-2.

。力2—2加-15=0,

⑷心+5小+6=0時(shí)，

復(fù)數(shù)z是0,：.m=-3.

3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，

示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）體會(huì)直觀想象的素養(yǎng).

2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念.（易混點(diǎn)）2.借助復(fù)數(shù)的幾何意義解

3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.（重點(diǎn)）題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

課前aj褊a自主預(yù)習(xí)。探新知理習(xí)重?zé)o感史

匚k新知初探Q

1.復(fù)平面

思考：實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對(duì)嗎？

［提示I不正確.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為（0,0）,它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+bi

——對(duì)應(yīng)

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)ZQ，)--------------?復(fù)平面的向量0Z

-----——對(duì)應(yīng)

3.復(fù)數(shù)的模

(1)定義：向量玄的摸叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的模.

⑵記法：復(fù)數(shù)z=a+歷的模記為|z|或|a+歷I且|z|=、/q2+H.

m試身罷f

1.己知復(fù)數(shù)2=一「復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為()

A.(0,—1)B.(-1,0)

C.(0,0)D.(-1,-1)

A［復(fù)數(shù)z=-i的實(shí)部為0,虛部為一1,故復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0,-1).

2.向量。=(一2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.z=l+2iB.z=l-2i

C.z=-l+2iD.z=-2+i

D［向量Q=(—2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z=-2+i.J

3.已知復(fù)數(shù)z=l+2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=_______.

幣[Vz=l+2i,.,.|Z|=^/12+22=V5.J

疑難問題解惑合作探究。釋疑難生世燃衫盛

M用1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系

a---n-6

【例1】求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=—百一+(/—2a—15)i(aGR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z

滿足下列條件：

(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；

(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.

思路探究：|確定z的實(shí)部、詢T列方程(不等式組)

［解］(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，

a2—a~6

則,-〃十3<0.

,cr—2a—15>0,

解得a<~3.

(2)點(diǎn)Z在x軸上方,

［a2—2a—15>0,

則，

［a+3W0,

即(a+3)(a-5)>0,

解得a>5或a<-3.

［母題探究］

1.本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)。的值.

［解］點(diǎn)Z在x軸上，所以“2—2“-15=0且a+3#0,所以“=5.

故a=5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上.

2.本例中條件不變，如果點(diǎn)Z在直線x+y+7=0上，求實(shí)數(shù)a的值.

|解|因?yàn)辄c(diǎn)Z在直線x+y+7=0上，

/J-a-6

所以一匚「十/—2〃-15+7=0,

a+3

即/+2。2—154—30=0,

所以3+2)32-15)=0,故“=-2或a=±VE.

所以?=-2或時(shí),點(diǎn)Z在直線x+y+7=0上.

廠........規(guī)律(方法.......--

利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟

(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

(2)根據(jù)已知條件，確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系.

立取2復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)

【例2】在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l+4i,-3i,2,。為復(fù)平面的

坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求向量萬1+/和啟對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

［解］(1)由已知得后，OB,次7所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l+4i,-3i,2,

則昂=(1,4),OB=(0,-3),況=(2,0),

因此后+初=(1,1),AC=OC-OA=(l,-4),

故勵(lì)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,n對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1一4i.

⑵法一：由已知得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,4),(0,-3),(2,0),

則AC的中點(diǎn)為e，2),由平行四邊形的性質(zhì)知的中點(diǎn)也是e，2),若設(shè)￡)(X0,州),

0+xo3

2=，

則有

-3+州

o=2

jo=7,

故0(3,7).

法二：由已知得謨1=(1,4),OB=(0,-3),氏=(2,0),所以函=(1,7),證=(2,3),

由平行四邊形的性質(zhì)得

礪=族+肥=(3,10),

所以用=無+由)=(3,7),于是0(3,7).

1........規(guī)律(方法...........................

復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化

對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)z與向量宓是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.，轉(zhuǎn)化：復(fù)數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解.

解決復(fù)數(shù)問題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化；(二)數(shù)形結(jié)合思想:

利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復(fù)數(shù)的特征整體處理.

<)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.在復(fù)平面內(nèi)，A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i,-l+2i.

(1)求向量通，AC,應(yīng)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)判定△ABC的形狀.

［解］(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義知：

后=(1,0),勵(lì)=(2,1),OC=(-1,2),

所以矗=無一亦=(1,1),AC^OC~OA=(~2,2),BC=dc-0B=(-3,l),所以油,

AC,應(yīng)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.

(2)因?yàn)閨矗|=小，位1=2小，|BC|=VW,

所以|油產(chǎn)+|啟P=|的2,

所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

RS型3復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用

［探究問題］

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yGR),則|z|等于多少？其幾何意義是什么？

提示：|z|=y?Tp,其表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離.

2.復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,其幾何意義是什么？

提示：由|z-i|=l可知點(diǎn)z到點(diǎn)(0,1)的距離為1.

【例3】(1)設(shè)(l+i)x=l+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=()

A.1B.小

C.y/3D.2

(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.

(1)B[因?yàn)?l+i)x=x+xi=l+yi,

所以x=y=l,|x+yi|=|l+"=#F+]2=也,

故選B.]

(2)解：設(shè)z=a+〃i(a,bSR),則

代入方程得a+bi+d^^P"=2+8i,

.(a+-\]a2+b2=2,

’1=8,

[a=-15,

解得[b=S.

.*.z=-15+8i.

1.......規(guī)律(方法..........................

1.復(fù)數(shù)z=a+bi模的計(jì)算：\z\—y］a2+b2.

2.復(fù)數(shù)的模的幾何意義：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

3.轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)虛部滿足的條件，是-一種復(fù)數(shù)

問題實(shí)數(shù)化思想.

IJ

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2a-1

2.若復(fù)數(shù)z="哀■+(4一。-6)i是實(shí)數(shù)，則zi=(a—1)+(1—2“)i的模為.

729為實(shí)數(shù)，

a?—a-6=0,

'.a=—2或3.

?.7=—2時(shí)，z無意義，

*,*<7=3,

Azi=2—5i,

3.已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且同<4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解］法一：?.?z=3+ai(aGR),

|z|=y］32+a2,由已知得32+a2<42,

a2<7,

；.aG(—巾,巾).

法二：利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4

為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，

由z=3+“i知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上，

所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合.

由圖可知：一幣<a<S.

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

r~^必備:素養(yǎng)〒1

1.從數(shù)與形兩方面理解復(fù)數(shù)意義，掌握復(fù)數(shù)與點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即:

復(fù)數(shù)z=a+6i

復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)復(fù)平面的向量應(yīng)

特別提醒：相等向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù).

2.|Z|=1表示復(fù)平面上的單位圓.

口學(xué)以致用

1.判斷正誤

(1)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.()

(2)復(fù)數(shù)即為向量，反之，向量即為復(fù)數(shù).()

(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).()

(4)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng).()

［答案I⑴J(2)X(3)X(4)X

2.設(shè)。為原點(diǎn)，向量方，為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2+3i,-3-2i,那么向量蕩對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)為()

A.-1+iB.1-i

C.-5-5iD.5+5i

D[由題意知，蘇=(2,3),OB=(-3,-2),

???麗=后一加=(5,5),

???對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5+5i,故選D.]

3.已知復(fù)數(shù)z=(加一3)+(初一l)i的模等于2,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.1或3B.1

C.3D.2

A[依題意可得透(〃7—3)2+(〃?-1)2=2,解得m=1或3,故選A.]

4.如果復(fù)數(shù)z=(川+加-1)+(4/一8m+3)i(m￡R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)次的

取值范圍.

[解]因?yàn)閦=(〃f+m—1)+(4m2—Sm+3)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以

p7t2+m_1>0,

[4/722—8/7?+3>0,

解得77f<12'或小>方，

—1-\1~53

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<---2'或用>'.

3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算

3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意

1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算法則.(重點(diǎn))

義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀的素養(yǎng).

2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意

2.借助復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算提升數(shù)學(xué)

義.(易錯(cuò)點(diǎn))

運(yùn)算的素養(yǎng).

一一迷覽巨王里V自主預(yù)習(xí)。探新知現(xiàn)包走齊一座史

「7新知初探m

1.復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則

(1)設(shè)?=〃+為，Z2=f+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則

①zI+Z2=Q+c)+(Z?-l-4/)i；

②Z\-Z2=c)+(〃-c/)i.

(2)對(duì)任意zi，Z2,z3ec,有

①Z]+Z2=Z2+Z1；

②(Z1+Z2)+Z3=Z[+(Z2+Z3)?

2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)竊，Z2對(duì)應(yīng)向量分別為市1，0Z2,四邊形0Z2Z2為平行四邊形，向

量或與復(fù)數(shù)Z1+Z2對(duì)應(yīng),向量Z?Z與復(fù)數(shù)Zl—Z2對(duì)應(yīng).

思考：類比絕對(duì)值|x—刈的幾何意義，|z-zo|(z,zoGC)的幾何意義是什么？

［提示I\z-zo\(z,zoec)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Zo的距離.

1.已知復(fù)數(shù)zi=3+4i,Z2=3—4i,則zi+z2=()

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

B[zi+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.]

2.復(fù)數(shù)(l-i)-(2+i)+3i等于()

A.-1+iB.1-i

C.iD.-i

A[(1一。-(2+9+31=(1—2)+(—1-4+3。=一1+1.故選A.]

3.已知向量市|對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2—3i,向量應(yīng)2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i,則向量ZN對(duì)應(yīng)

的復(fù)數(shù)為.

1-i[ZiZ2=OZ2-dZ1=(3-4i)-(2-3i)=l-i.l

矍坐回卷解.惑合作探究。釋疑難生擔(dān)嚏養(yǎng)形成

立型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算

43

-

【例1】(1)計(jì)算：Q+；i)+(2—i)一3-2

(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+1—3i=5—2i,求z.

4

解(l)G+gi)+(2-i)-3

(2)法一：亍殳z=x+yi(x,yGR),因?yàn)閦+1—3i=5—2i,

所以x+yi+(1—3i)=5-2i,即x+1=5且)，一3=-2,

解得x=4,y=l,所以z=4+i.

法二：因?yàn)閦+1—3i=5—2i,所以z=(5—2i)一(1-3i)=4+i.

廠........規(guī)律c方法.........

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算技巧

復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減，相當(dāng)于多項(xiàng)式加減法的合并同類項(xiàng)，將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相

加(減)，虛部與虛部相加(減).

I)

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.(1)計(jì)算：(2—3i)+(—4+2i)=.

(2)已知zi=(3x—4y)+(y—2x)i,Z2=(—2r+y)+(x—3y)i,x,y為實(shí)數(shù)，若z[-Z2=5一

3i,則|Z|+Z2|=.

(l)-2-i(2)^2[(l)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.

(2)zi-Z2=[(3x-4y)+(>—2r)i]—[(—2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)—(—2x+y)]+[(>-

2x)一(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,

5x-5y=5,

所以

―3x+4y=-3,

解得x=l,y=0,

所以zi=3—2i,Z2=-2+i,則zi+z2=l—i,

所以|21+22|=巾」

“M2復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算的幾何意義

【例2】(1)復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足|zi|=閡=1,|zi+z2|=，^.則|zi—Z2\—.

(2)如圖所示，平行四邊形04BC的頂點(diǎn)。，A,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0、3+2i、-2+4i,

試求

①晶所表示的復(fù)數(shù)，證所表示的復(fù)數(shù);

②對(duì)角線之所表示的復(fù)數(shù);

③對(duì)角線加所表示的復(fù)數(shù)及無的長度.

(lh/2[由|Z1|=|Z2|=1,|Z|+Z2|=V2,知Zl,Z2,Zl+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長為1的正

方形的三個(gè)頂點(diǎn)，所求團(tuán)一Z2I是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長，所以①一22|=啦.]

(2)解：①后)=一總，二茄所表示的復(fù)數(shù)為-3一2i.

'：BC^AO,...反?所表示的復(fù)數(shù)為一3一2i.

②：以=后一沆,

.?.3所表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)一(-2+4i)=5-2i.

③對(duì)角線0^=?+沆，它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,|OB|=^/l2+62

=A/37.

r.......規(guī)律(方法..........................

i.用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧

(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理.

(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何

之中.

2.常見結(jié)論

在復(fù)平面內(nèi)，z”Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,Z1+Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四

邊形OACB為平行四邊形；若|zi+z2|=|z|-z2|,則四邊形04cB為矩形；若|zi|=|zd，則四

邊形。ACB為菱形；若|Z1|=|Z2|且|zi+z2|=|z|-Z2|,則四邊形0ACB為正方形.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.復(fù)數(shù)zi=l+2i,Z2=—2+i,Z3=-1—2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形

的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

I解I設(shè)復(fù)數(shù)Z|,Z2,Z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)

。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),如圖.y.

\^A

則而=db--=(x,y)一(1,2)

0\

=(x-1,y—2).D

C

BC=OC~OB=(~\,-2)-(-2,1)=(1,-3).

'：AD=BC,

x—1=1,x=2,

A解得

j-2=-3,ly=-1

故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2—i.

3m復(fù)數(shù)模的最值問題

［探究問題］

1.滿足|z|=l的所有復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？

提示：滿足|z|=l的所有復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上.

2.若|z-l|=|z+］|,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？

提示:V|z-l|=|z+l|,工點(diǎn)Z到(1,0)和(一1,0)的距離相等,即點(diǎn)Z在以(1,0)和(一1,0)

為端點(diǎn)的線段的中垂線上.

【例3】(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+l|的最小值是()

A.1B.；

C.2D.小

(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z+小+i|Wl,求|z|的最大值和最小值.

(1)A［設(shè)復(fù)數(shù)一i,i,—1—i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,y

Z3,因?yàn)閨z+i|+|z-i|=2,|Z|Z2|=2,所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.//

問題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z0上移動(dòng)，求|ZZ3|的最小值，因?yàn)閨Z0|一工

=1.所以|z+i+l|min=l.］/

___________zZ-----|z,

(2)解：如圖所示，|痂|=叱一小尸+(-1>=2.

所以|z|max=2+1=3,|z|min=2—1=1.

［母題探究］

1.若本例題(2)條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿足憶一3—4i|=l"，求|z|的最大值.

|解|因?yàn)槠咭?—4口=1,

所以復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上，

由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是

-\/32+42+1=6.

2.若本例題⑵條件改為已知|z|=l且zCC,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.

［解I因?yàn)閨z|=l且zWC,作圖如圖：

所以|z—2—2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)‘

尹2,2)

P(2,2)的距離，所以|z—2—2i|的最小值為|0P|—1=2啦-1.內(nèi),

〔.......規(guī)律<方法.........................

?-Z2|表示復(fù)平面內(nèi)Z1,Z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化

為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.

IJ

.談空史以金笑課堂小結(jié)?提素養(yǎng)不基直虔擔(dān)責(zé)一

必備素泰丁~|

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換率、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算.

2.復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向

量減法的三角形法則.

3.|z-zo|表示復(fù)數(shù)z和zo所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，當(dāng)|z-zo|=r(/?>())時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的

軌跡是以20對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.

1.判斷正誤

(1)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則類同于實(shí)數(shù)的加法法則.()

(2)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果為復(fù)數(shù).()

(3)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義類同于向量加減法運(yùn)算的幾何意義.()

|答案|(1)7(2)7(3)7

2.計(jì)算|(3—i)+(—1+2i)一(—1—3i)尸.

5[|(3-i)+(-l+2i)-(-l-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=^/32+42=5.]

3.已知復(fù)數(shù)zi=(〃2—2)+(a—4)i,Z2=a—(/—2)i(aGR),且z1一Z2為純虛數(shù)，則a=

一1⑵-Z2=(q2—2)+(a—4+4—2)i(a6R)為純虛數(shù)，

.fa2-a-2=0,

[?2+a—6#0,

解得a=-L]

4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一3-i與5+i對(duì)應(yīng)的向量分別是萬1與初，其中0是原點(diǎn)，求向

量晶+協(xié)，法對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)及A,B兩點(diǎn)間的距離.

[解1向量方+協(xié)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(一3—i)+(5+i)=21.?放一協(xié)，

二向量以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(一3一i)一(5+。=-8—2i.

8兩點(diǎn)間的距離為|一8一2"=叱-8)2+(—2)2=25.

3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.(重

1.通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律，培養(yǎng)邏輯

點(diǎn)、難點(diǎn))

推理的素養(yǎng).

2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)

2.借助復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，提升數(shù)

加法的分配律.(易混點(diǎn))

學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

3.了解共規(guī)復(fù)數(shù)的概念.(難點(diǎn))

那莉g生生？自主預(yù)習(xí)。探新知理習(xí)一次先感史

匚新理眼二

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

已知zi=a+hi,Z2=c+di,a,h,c,d&R.貝(Iz「z：>=(a+hi)(c+di)=(ac—6J)+(ad

+6c)i.

思考1：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？

［提示］復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成

-I,再把實(shí)部、虛部分別合并.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對(duì)于任意Zi，Z2，Z3GC,有

交換律Z|?Z2=Z2，Zj_

結(jié)合律（Z「Z2>Z3=Z1」（Z2工3）

乘法對(duì)加法的分配律Z1（Z2+Z3）=ZrZ2+zi?Z3

思考2：|z|2=?,正確嗎？

［提示］不正確.例如，|iF=l,而i2=—1.

2.共聊復(fù)數(shù)

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)滿足實(shí)部相笠，虛部互為相反數(shù)時(shí),稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為共聊復(fù)數(shù)，z的共甑

復(fù)數(shù)用z表示.即z—a+bi,則z—g—b'\.

3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則

,,ac+bd,bc-ad,

（。+歷）+（。+$）=苕彳+百7百i（c+diW°）

r~a?初試易&-1

1.復(fù)數(shù)（3+2i）i等于（）

A.-2—3iB.-2+3i

C.2-3iD.2+3i

B［（3+2i）i=3i+2i-i=-2+3i,選B.］

2.設(shè)z=K，則團(tuán)=()

A.2B.小

C.小D.1

,3—i得團(tuán)=|普1卜1^^=碧=啦?故選c」

C［由z=i+2i，

3.若x—2+yi和3x-i互為共輒復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x=,

尸---------

—11[由題意可知

X—2=3x,jx=-1,

-y=-i,"b=l.]

…黑筆月匙解惑合作探究。釋疑難生杜木芥受典

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

[例1](1)若復(fù)數(shù)(l—i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(—8,1)B.(—8,—1)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

(2)計(jì)算:

?(l-2i)(3+4i)(-2+i)；

②(3+4i)(3—4i)；

(3)(1+i)2.

。+1<0,

(1)B[z=(l-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，