數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)4.1數(shù)列的概念

4.1數(shù)列的概念

一、概念練習(xí)

1.若數(shù)列｛%｝滿足5-1）4,=（〃+1）%。?22）,q=2,貝IJ滿足不等式/<870的最大正整數(shù)"為（）.

A.28B.29C.30D.31

2.若數(shù)列｛叫滿足.-a“=lg（l+：）

.且4=1,則數(shù)列｛“"｝的第100項(xiàng)為（）.

A.2B.3C.I+lg99D.2+lg99

3.如表所示，定義函數(shù)/（%）：

X12345

fM54312

對(duì)于數(shù)列｛對(duì)｝,q=4,a“=f（a,i），n=2,3,4,…，貝的值是（）?

A.lB.2C.5D.4

.己知數(shù)列｛%｝的前

4n項(xiàng)和S〃=ktv+2n,a5=ll，則k的值為（）.

A.2B.-2C.lD.-l

5.已矢口數(shù)歹ijg,石,V7,3,VTT,....J2〃+1,則J51是這個(gè)數(shù)列的（

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第24項(xiàng)D.第25項(xiàng)

二、能力提升

6.下列各組數(shù)能組成等比數(shù)列的是（）

111

A.-36-9-B.lg3,lg9,lg27C.6,8,10D.3,-3V3,9

7.設(shè)5,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S,,=〃2+2〃，則%021=（）

A.4043B.4042C.4041D.2021

（多選）

8.已知數(shù)列1,0,1,0,1,0,…，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）.

A1+（-1）"n1+I./Qno\in（n-l）7t

A.凡=---B.=------------C.a?=|sm（/I-90）|D,a?=cos---

9.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,4=1,5?+1=S?+2a?+l,數(shù)列1的前w項(xiàng)和為7；,

neN,，則下列選項(xiàng)正確的為（）

A.數(shù)列也+1｝是等差數(shù)列B.數(shù)列,+]｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為D，<1

10.數(shù)列｛%｝中，4=0,a2=1,%+2」（%+4,）（"€底）則下列結(jié)論中正確的是（）

A.O<a?<lB.｛|a,,+「a”|｝是等比數(shù)列

C.%<4o<%D.a<)<alQ</

11.已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和sn=3/+8〃，則數(shù)列[a?]的通項(xiàng)公式為

12.設(shè)數(shù)列｛〃“｝中，q=2，a?+l=”“+〃’則通項(xiàng)an=-------------------

13.在數(shù)列｛對(duì)｝中，4=3，%=%+〃([+[)，則通項(xiàng)公式q=-----

14.已知數(shù)列｛%｝滿足2〃1=(〃+l)a“(〃eN，),且q=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=%+(-1)".〃，求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)的和52”.

n

15.已知在數(shù)列｛4｝中，q=l，iz?+l=-^-(neN,n>l),求通項(xiàng)明.

an+'

答案以及解析

1.答案：A

n+1

解析:由(〃-1)4“=(〃+1)??_,(M>2),得,所以

n+1

-^-=2x-x-xLx----=n2+n,

4“212n—\

因?yàn)?<870,所以〃2+〃_870<0,解得—30<〃<29,所以滿足條件的最大正整數(shù)〃為28.故選

A.

2.答案：B

解析：因?yàn)橐?]=lg|1+—|=lg-^-^-=lg(n+l)-lgn,

\n)n

所以40G_%=lg[(X)_lg99,

a,-a2=lg3-lg2，

a2-%=lg2-lgl,

以上99個(gè)式子累加得40G=IglOO,所以48=2100+1=3.

故選B.

3.答案：C

解析：由題意得，4=4,a?=/(??_,),所以%=/(aJ=f(4)=l,4=〃生)=/⑴=5，

%=/Q)=/(5)=2,X=/(&)=/⑵=4,a6=/(iz5)=/(4)=1,由上可知,數(shù)列｛4｝是4,

1,5,2,4,1,…，故數(shù)列｛為｝是周期為4的周期數(shù)列，

所以“2019=，016+3=4=5>故選C.

4.答案：C

解析：由題意可得，當(dāng)“22時(shí)，=S“-5,i=2加一%+2,又％=11，，%+2=11,可得％=1.

故選C.

5.答案：D

解析：根據(jù)題意，由2〃+1=51,得〃=25,故后是這個(gè)數(shù)列的第25項(xiàng).

故選D.

6.答案：D

11

6-19-

解析--=2,...選項(xiàng)A中的三個(gè)數(shù)不能組成等比數(shù)列?絲匿=2,

1-2-1

31g31g3

3-6-

愴

愴33

27選項(xiàng)B中的三個(gè)數(shù)不能組成等比數(shù)列.?.逮=±3=』，.?.選項(xiàng)C中的三個(gè)

前一南一56384

數(shù)不能組成等比數(shù)列.?.?39=-百，一二=-石，選項(xiàng)D中的三個(gè)數(shù)能組成等比數(shù)列.故選D.

3-3上

7.答案：A

國(guó)阜析：法一：/。21=$2021-S2020=20212-2020?+2x2021—2x2020=4043；

法二：；S“="2+2〃，.,.當(dāng)”=1時(shí)，?|=5,=3>

2

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_｝=ir+2n-(n-l)-2(n-l)=2n+l-

當(dāng)〃=1時(shí)，也適合上式，:.an=2n+\)貝iJ%02i=2x2021+1=4043.

故選：A.

8.答案：BC

解析：對(duì)于A,a?=1+(~ir,取前六項(xiàng)得0,1,0,1,0,1,不滿足條件；

2

對(duì)于B,1+(W,取前六項(xiàng)得1,0,1,0,1,0,滿足條件；

2

o

對(duì)于C,an=|sin(??-90)|,取前六項(xiàng)得1,0,1,0,1,0,滿足條件；

對(duì)于D,q,=cos里二任，取前三項(xiàng)得1,0,-I,不滿足條件.故選BC.

"2

9.答案：BCD

解析：由S?+1=5?+24+1即為*=S,T—S”=2%-1，

可化為+1=2(4+1),由￡=4=1,可得數(shù)列｛4+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，則

+1=2",即。"=2"—1,

2〃T_1______1

又上-可得

(2n--1)-2H-1_2n-,-1

anan-\

T=1I--z-1--1-z-1----1-1-

“22-l22-l22-l

故A錯(cuò)誤，B,C,D正確.

故選：BCD.

10.答案：ABD

解析:因?yàn)閿?shù)列｛%｝中,q=0,=1,an+2=—(??+,+??)(?eN*),所以

2(4+2-。,1)=-(〃,1-%)，則｛〃向-鳳｝是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，a是遞增數(shù)列，所以424=0,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

n1MT

a?=|1+flj是遞減數(shù)列，所以4V%=1,所以04441,｛|《1一4|｝是以1為首項(xiàng)，以g

為公比的等比數(shù)列，又1+(]，6|1-^J,所以

為<4ovq,故選：ABD.

11.答案：an=6/2+5

解析：?.?數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“=31+8〃，

/.ct｝=S、=3+8=11?

22

時(shí)，an=Sn-Sn_｝=（3n+8?）-[3（n-l）+8（/i-l）]=6n4-5,

〃=1時(shí)上式也成立，

二.q=6〃+5,故答案為〃〃=6九+5.

12.答案：一〃+4）

解析：因?yàn)椋?〃“+〃，所以a”+]一4=幾，

則出一%=1;

4—〃2=2；

1?

各式相加可得-4=1+2…+〃-1=，

所以=<〃（〃一1）+4=g"（〃—l）+2=g（〃2—〃+4），

故答案為：+

13.答案：4--

n

解析：因?yàn)榇?%+〃(:+])，即11

~an=-----'

nw+l

則一4'

n—\n

11

an-\an-2['

n-2on-\

11

a〃一2an-3=「o'

n-3n-2

11

—萬一晨

1I

a,-4=l——，

-2

所以q_a_+a_-a_+a_-a_+??

nxnxn2n2n3?+G—%+a2—ax

IIIIII

=--------1------------1------------F.…2-3+-5’

n—\nn-2n—ln—3n—2

即-q=l——，

n

1

又因?yàn)閝=3,所以=l-'+q=4--—f

n)2

故答案為：4——?

n

14.答案：(I)4

⑵S…+2一成

解析：(I)-.-2nan+l=(7?+l)a?,a,=I，nGN*?二。。，

a1

.,^=n+\,

an2n

(1n-2a,12

-=-------，…，—=-x—

-%2,-I，*2〃-2'a_,

ni2n—3ay21

將上述式子左右分別相乘得%=(；)”'n

?一，