2022年人教版指數(shù)函數(shù)及其性質練習題含答案

2022年人教版指數(shù)函數(shù)及其性質練習題含答案

學校：班級：姓名：考號：

一、選擇題(本題共計10小題，每題3分，共計30分，)

1.指數(shù)函數(shù)y=b?a'在g,2］上的最大值與最小值的和為6,則a=()

A.1B.-3C.2或-3D.2

2.函數(shù)/(x)=a\a>0,a力1)在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則a等于()

13

A.-B.2C.4D.-

22

3.函數(shù)y=loga(Ai)的定義域和值域都為(0,1),則a=0

A.1B.2C.V2D.y

4.三個數(shù)a=(-0.3)。，b=0.32,。=2。3的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

5.若函數(shù)f(x)=C)a--4x+i有最大值3則實數(shù)a的值為()

A.-2B.-lC.lD.2

6.已知函數(shù)，=加交的圖象恒過定點P,則定點P的坐標是()

A.(l,1)B.(l,4)C.(l,5)D.(0,1)

7.鐳按每百年3.8%的速度衰變，現(xiàn)有l(wèi)OOmg鐳，貝打00年后還剩()

A.2.08?ngB3.8mgC.679mgD.96.2mg

8.函數(shù)/(x)=(獸產(chǎn)T—2的圖象不經(jīng)過()

A.第一,三象限B.第一象限C第二,三象限D.第三象限

9.若/Xx)是定義在(-1,1)上的減函數(shù)，則下列不等式正確的是()

A./(sinx)>f(cosx)B./(-y-)>/(%)

J島)N，島)D/(f)>

10.現(xiàn)有某種細胞100個，其中有約占總數(shù)之的細胞每小時分裂一次，即由I個細胞分裂

成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，要使細胞總數(shù)超過101°個，需至少經(jīng)過()

A.42小時B.46小時C.50小時D.52小時

二、填空題(本題共計10小題，每題3分，共計30分，)

11.不等式:<2Al<8的解集是_______.

12.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為'=6"(其中k為常

數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，經(jīng)過5小時，1個病毒能繁殖為

個.

13.已知函數(shù)/(x)=a'T+l(a>。且aH1),則函數(shù)/(x)的圖象恒過定點.

14.函數(shù)'=爐在區(qū)間口，2］上的最小值和最大值之和6,貝必=.

15.不等式4*-2>2>0的解集為.

qf、X+3,1

f(x)=ar

16.對于任意實數(shù)a,函數(shù)2(a>0且a#1)的圖象經(jīng)過一個定點，

則該定點的坐標是________.

17.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時

間t(小時)的關系為。=2°6-《如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少

19%需要花費的時間為小時.

18.已知不等式備>-加+m+4對任意xGR恒成立，則實數(shù)小的取值范圍是

19.若指數(shù)函數(shù)/(x)=(a?-1尸9>0)是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

20.如圖，開始時桶力中有a升水，t分鐘后剩余的水量符合指數(shù)衰減函數(shù)為=aeft

(其中e,n為常數(shù))，此時桶B中的水量就是，丫2=。-aef1假設過5分鐘后桶4和桶

試卷第2頁，總18頁

B中的水量相等，則再過分鐘，桶a中只有水g

O

21.求函數(shù)y=4X-2X+1(%6[-2,3])的值域.

22.已知函數(shù)/'(x)=a?a>。且a*1)經(jīng)過點(2,4).

(1)求a的值；

(2)求f(x)在[0,1]上的最大值與最小值.

23.某地區(qū)為了治理大氣污染，使空氣污染指數(shù)降到最低，對周邊的化工企業(yè)進行整治

改進廢氣處理工藝，某化工企業(yè)在處理廢氣的過程中，每經(jīng)過一次處理可將有害氣體

減少20%.

(1)經(jīng)過x次處理后有害氣體減少到未處理前的多少；

(2)若要讓有害氣體減少到原來的5%,求至少要經(jīng)過幾次處理？(參考數(shù)據(jù)：lg2x

0.3010)

24.已知函數(shù)/(x)=a-六，(aeR)

(1)求①?的定義域;

(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值；

(3)考察在定義域上單調性的情況，并證明你的結論.

25.已知指數(shù)函數(shù)〃式)=合的圖象經(jīng)過點(3,兀)，求f(0)、？⑴、〃-3)的值.

26.設函數(shù)f(x)=謨-a-x(a>0且a。1),且x6(-1,1)時，恒有/(I-m)+/(I-

m2)<0,求實數(shù)m的范圍.

27.已知指數(shù)函數(shù)/'(x)的圖象過點(4,16),求f(x)的解析式，/■(一1)的值.

28.已知指數(shù)函數(shù)g(x)的圖象經(jīng)過點P(3,8).

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)求g(2/-3x+l)>gdx2+2%-5)的解集.

29.已知函數(shù)f(x)=2ax+2(a為常數(shù))

(1)求函數(shù)/(%)的定義域.

(2)若a=1,%G(1,2],求函數(shù)/Q)的值域.

(3)若/'(x)為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

30.作出函數(shù)y=3、與y=(：尸的圖象.

試卷第4頁，總18頁

參考答案與試題解析

2022年人教版指數(shù)函數(shù)及其性質練習題含答案

一、選擇題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)

1.

【答案】

D

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：???'=人謨是指數(shù)函數(shù)，

b=1,即函數(shù)為丫=標.

V指數(shù)函數(shù)y=a、在［1,2］上的最大值與最小值的和為6,

??a+a2=6,

即a2+a-6=0,

解得a=2或a=-3(舍去)，

故a=2.

故選D.

2.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

指數(shù)函數(shù)的性質

【解析】

利用函數(shù)/(%)=ax(a>0,a*1)在［0,1］上的單調性與/(%)在［0,1］上的最大值與最小

值的和為3即可列出關于a的關系式，解之即可.

【解答】

解：：函數(shù)f(乃=a\a>0,a41)在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,

a°+a1=3,

/.a=2.

故選B.

3.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

【解析】

口的定義域為[所以因為值域也為而

108￡12=1,￡1=20,1],1WX+1W2,[0,1],

logi=0,所以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性與底數(shù)有關，必要時要分類討論.

【解答】

此題暫無解答

4.

【答案】

C

【考點】

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性判斷出b<1和c>1.再求出a=1,即可得三者的大小關系.

【解答】

解:由指數(shù)函數(shù)的單調性得，0<b=0.32<0.30=1,c=20-3>2°=1,

a=(-0.3)°=1,b<a<c,

故選C.

5.

【答案】

D

【考點】

指數(shù)函數(shù)的性質

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：令g(x)=ax2-4x+l,/(x)=(y⑴，

由于f(x)有最大值3,所以9。)有最小值-1,

(a>0,

因此'匕__1

解得a=2,

即當/(?有最大值3時，a的值為2.

故選D.

6.

【答案】

A

【考點】

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

【解析】

令1一久=0可得x=1,此時y=a0=1,可得定點.

【解答】

解：令1-X=0可得x=1,

此時y=a0=1,

函數(shù)y=a1—的圖象恒過定點(1,1)

故選：A

7.

【答案】

試卷第6頁，總18頁

D

【考點】

指數(shù)函數(shù)的實際應用

【解析】

根據(jù)已知中鐳的衰變速度為每百年衰變3.8%,可知lOOmg鐳100年后，即一個衰變周

期后還剩100x(1-3.8%)

【解答】

解：：鐳的衰變速度為每百年衰變3.8%,

,lOOmg鐳,則100年后還剩100x(1-3.8%)=96.2mg,

故選D

8.

【答案】

A

【考點】

指數(shù)函數(shù)的圖象

【解析】

函數(shù)f(y)=gy2)-2單調遞減且/xo)==-ij(-i)=2,所以圖象不經(jīng)過第

三象限選4.

【解答】

此題暫無解答

9.

【答案】

D

【考點】

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

【解析】

由三角函數(shù)線可判斷出xe(p1)時，sinx>cosx,根據(jù)/(%)的單調性便可判斷選項4

的正誤，而對于B,C,。各選項可通過對自變量的值進行作差，配方，通分及提取公

因式等方法，根據(jù)x的范圍及指數(shù)函數(shù)的單調性便可判斷出自變量值的大小關系，從而

由/(x)的單調性即可判斷出對應函數(shù)值的大小關系，從而判斷選項的正誤.

【解答】

解：A：x6(%1)時，sinx>cosx；

V在(一1,1)上為減函數(shù)；

/(sinx)</(cosx),該選項錯誤；

B：xE(―1,1)；

—x=|(x-I)2>0；

1*24-1

等>乙且f(x)在(―1,1)上單調遞減；

v2?-1

??????該選項錯誤；

「.112X-3X3X[(1)X-1].

C.---------------=---------------------------------.

3X+12X+1(3X+1)(2X+1)(3X+1)(2X+1)'

xG(-1,1)；

，X6(—1,0)時，(|尸>1；

舟>舟，且〃乃在(一1,1)上為減函數(shù)；

??/(W?)</(W?，該選項錯誤；

D.__L__________1_=3,嗎-泊.

■34+3-*2X+2-X~(3X+3-XX2X+2-X)1

①xe(—1,0]時，(|尸一120,1-@尸wo;

?-L..<2.

*3X+3-X—2X+2~X'

②xG(0,1)時，弓尸-1<0,1-(^)x>0；

?11

??<------;

3X+3-X2X+2~X'

???綜上得，獲缶W(wǎng)汨3；

???f(x)為(-1,1)上的減函數(shù)；

???/?(獲梟)、/($)，；?該選項正確.

故選D.

10.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

【解析】

根據(jù)分裂的規(guī)律得到細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關系為：y=100x

(|)x%e/v*,再建立不等式求解.

【解答】

解:根據(jù)分裂的規(guī)律得到細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關系為：y=100x

(|)Xx€N*,

由y=100x(|尸>IO】。，解得(|尸>1。8,即/g|>8,即X>^=45.45.

222Ig3-Ig2?

J%>45.45,

故經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)超過IO1。個.

二、填空題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)

11.

【答案】

{%|0<%<4]

【考點】

試卷第8頁，總18頁

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

【解析】

由不等式:<2，T<8可得2T<2'-1<23,故一1<X-1<3,由此求得不等式的解

集.

【解答】

解：由不等式；<2-<8可得2T<2"i<23,

-1<%—1<3.

即0<x<4,故不等式的解集為{x［0<x<4},

故答案為{制0<%<4}.

12.

【答案】

1024

【考點】

指數(shù)函數(shù)的實際應用

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：當t=0.5時，y=2,2=e*,

k=2ln2,

y=g2tln2.

wln210

當t=5時，y=e=2=1024.

故答案為：1024.

13.

【答案】

(1，2)

【考點】

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質

【解析】

利用。。=1(。40),取x=l,得人1)=2,即可求函數(shù)/(x)的圖象所過的定點.

【解答】

當x=l時，f(1)=a1T+1=a。+1=2,

/.函數(shù)/Q)=a"1+1的圖象一定經(jīng)過定點(1,2).

故答案為：(1,2).

14.

【答案】

2

【考點】

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

【解析】

分兩種情況：(1)當a>1時，函數(shù)y=談在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，所以Wax=

2

aymin=a,由于最小值和最大值之和6,所以建立方程a2+a=6解得：a=2或一3

（負值舍去）（2）0<a<l,函數(shù)y=初在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，所以：ymax=

2

aymin=a,由于最小值和最大值之和6,所以建立方程，即a2+a=6,解得：a=

2或一3,因為0<a<l,所以都舍去

【解答】

解：（1）當a>1時，函數(shù)y=/在區(qū)間口，2］上是增函數(shù)，

2

所以Ymax=aymin=a,

由于最小值和最大值之和6,

即：a?+a=6,

解得：a=2或一3（負值舍去）；

（2）0<a<1,函數(shù)丫=謨在區(qū)間口，2］上是減函數(shù)，

所以：'max=。ymin=?2.

由于最小值和最大值之和6,

即：a?+a=6,

解得：a=2或一3,而0<a<l,故都舍去；

故答案為：2.

15.

【答案】

（2,+8）

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

不等式即22X>2，+2,利用指數(shù)函數(shù)的單調性及特殊點可得2%>x+2,由此求得不

等式生一2X+2>0的解集.

【解答】

解：不等式4X-2X+2>0,即22X>2X+2,即2x>x+2,即x>2,故不等式4、一

2"+2>0的解集為（2,+8）,

故答案為（2,+00）.

16.

【答案】

（⑹f）

【考點】

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

17.

【答案】

10

【考點】

指數(shù)函數(shù)的實際應用

【解析】

根據(jù)題意把實際問題轉化為數(shù)學問題由指數(shù)的運算性質代入數(shù)值求出結果即可.

試卷第10頁，總18頁

【解答】

前5小時污染物消除了10%,此時污染物剩下90%,即t=5時，P=0.9P0,代入，得

k

(e-k)5=0.9e-=Vo^9=0.9-P=Po-kt=P0(0.90.9)t,當污染物減少19%時，

污染物剩下：81%,此時P=0.81P,代入得40.81=(0.9g),解得t=10,即需要花費

10小時.

18.

【答案】

—3<m<5

【考點】

指數(shù)函數(shù)綜合題

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性將不等式轉化為一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式

恒成立轉化為對應判別式△<0,解不等式即可得到結論.

【解答】

解：不等式等價為G)/+x>?2x2_mx+m+4,

即/+%v2x2—mx+m+4恒成立，

%2—(m+l)x4-m4-4>0恒成立，

即△=(m+l)2—4(m+4)<0,

即蘇-2m-15<0,

解得一3<m<5,

故答案為：-3<血V5.

19.

【答案】

(L&)

【考點】

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

【解析】

結合指數(shù)函數(shù)的單調性得出0<a?一1<1,求解出a的取值范圍即可得出答案.

【解答】

根據(jù)題意，指數(shù)函數(shù)f(x)=?2-l)x(a>0)是減函數(shù)，

則有0<a2-l<l,又由a>0,則有l(wèi)<a<衣

即a的取值范圍為(1,近)

故答案為：(1,企)

20.

【答案】

10

【考點】

指數(shù)函數(shù)的實際應用

【解析】

由于5分鐘后桶4和桶B中的水量相等，所以可求n=gln2.再利用桶4中只有水莖升，

可求時間.

【解答】

解：；t=5時，y1=y2,**?由Q?0-5九=。一。.e-5n,

得。-九

25=1n=l]n2.

將”代入為=Q-中得yi=a?e-t5,n2

當月建時，有/a,e-'g解得t=15分鐘,

所以，再過10分鐘桶1中的水是T.

故答案為：10

三、解答題(本題共計10小題，每題10分，共計100分)

21.

【答案】

解：令t=21；xG[-2,3],AtG[i,8],y=t2-t+1=(t-1)2+^,

故當t=3時，函數(shù)y取得最小值為*當t=8時，函數(shù)y取得最大值為57.

故函數(shù)y的值域為￡57].

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

令t=2"可得teE，8],y=t2-t+l=(t-i)2+；,再利用二次函數(shù)的性質求得y

的值域.

【解答】

解：令t=2',???xe[-2,3]....￡e[i,8],y=t2-t+l=(t-|)2+^.

故當t=2時，函數(shù)y取得最小值為*當t=8時，函數(shù)y取得最大值為57.

故函數(shù)y的值域為6，57].

22.

【答案】

解：將點(2,4)代入函數(shù)表達式得/"(2)=a?=4,解得a=2.

解：由(1)知/'(x)=2x,故函數(shù)f(x)在[0,1]上是單調遞增函數(shù)，故最大值為/"(1)=

21=2,最小值為/(0)=2°=1.

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

指數(shù)函數(shù)單調性的應用

【解析】

(1)將點(24)代入函數(shù)表達式，由此求得a的值.

(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性，求得函數(shù)/0)的最大值和最小值.

【解答】

試卷第12頁，總18頁

此題暫無解答

23.

【答案】

解：(1)設工業(yè)廢氣在未處理前為。，經(jīng)過%次處理后變?yōu)閥,

則y=a(l-20%尸=a(80%)x,xeN*.

所以(=(80%)x,xeN”.

(2)由題意得2=5%,即(80%尸=5%,

所以xlg0.8=lg0.05,即》=督“13.4,

因而需要14次處理，才能使工業(yè)廢氣中的有害氣體減少到原來的5%.

【考點】

指數(shù)函數(shù)綜合題

指數(shù)函數(shù)的實際應用

【解析】

設工業(yè)廢氣在未處理前為a,經(jīng)過x次處理后變?yōu)閥,貝ljy=a(l-20%尸，再根據(jù)(=

5%,即(80%尸=5%,求得x的值.

【解答】

解：(1)設工業(yè)廢氣在未處理前為a,經(jīng)過%次處理后變?yōu)閥,

則y=a(l-20%尸=a(80%)x.xGN*.

所以?=(80%)x,x6N*.

(2)由題意得2=5%,即(80%尸=5%,

所以xlg0.8=lg0.05,即％=喘=13.4,

因而需要14次處理，才能使工業(yè)廢氣中的有害氣體減少到原來的5%.

24.

【答案】

解：(1)由分式成立的條件可得，

%H0,定義域為{x|x6R且xH0}

(2)函數(shù)為奇函數(shù)可得/(-為+/(x)=。對定義域內(nèi)的任意x都成立

⑶設任意的尤1，x2e(-00,0)U(0,+00),且與>%2,

2八-2工2

M(X!)-/(X)=--------------=--------------->0

22孫-12右一1(2.-l)(2^i-1)

???fQl)>>>2)

f(%)在定義域上單調遞增.

【考點】

指數(shù)函數(shù)綜合題

【解析】

(1)由分式成立的條件可得，2'-1K0,從而可求函數(shù)的定義域

(2)由函數(shù)為奇函數(shù)可得/(一切+/。)=0對定義域內(nèi)的任意》都成立，代入整理可

求a

(3)利用函數(shù)的單調性的定義：設Xi，x2e(-8,0)U(0,4-00),且＞x2,通過做

差判斷f(Xi)與人孫)的大小，即可判斷函數(shù)的單調性

【解答】

解：(1)由分式成立的條件可得，2'-1力0,

x*0,定義域為{x|x6R直xr0}

(2)函數(shù)為奇函數(shù)可得/(-乃+/(%)=。對定義域內(nèi)的任意x都成立

(3)設任意的匕，x2G(-00,0)U(0,4-00),且%>x2,

,112%一2次

班(右)-f(%2)=2X2_1-2%1_1=(2如—1)(24-1)>°

/(Xi)>f(X2)

f(x)在定義域上單調遞增.

25.

【答案】

解：：指數(shù)函數(shù)/(%)=必的圖象經(jīng)過點(3,7T),

/⑶=a3=71：,

1

a=VTT=7T3t

X

.?.f(x)=7T3；

???/(0)=TJ=I,

/(l)=7T3=y/n,

-3i

r(-3)=兀3=-.

【考點】

指數(shù)函數(shù)的性質

【解析】

由/Q)的圖象過點(3,兀)，求出解析式，從而求出/(0)、f⑴、3)的值.

【解答】

解：：指數(shù)函數(shù)f(x)=的圖象經(jīng)過點(3,7T),

/⑶=a3=7t,

1

a=VTT=7T3,

試卷第14頁，總18頁

f(x)=7t3；

0

f(0)=7T3=1,

/(I)=7T3=VTF,

26.

【答案】

解：由函數(shù)的解析式易得/(-乃=-/(乃，...函數(shù)為奇函數(shù)，

(1)當a>l時，函數(shù)/Q)=aX—a-x為增函數(shù)，又x6(―1,1),

f(l—m)+f(l—m2)<0=f(l—m)<—/(l—m2)=f(m2—1),即/l(1—

m)<f(m2—1),

1—m<m2-1

?**-1<1-m<1,解得1<m<V2,

.-1<m2-l<1

(2)當0<a<l時，函數(shù)f(x)=/一(1-，為減函數(shù)，又x€(-1,1),

/(I-m)+/(I-m2)<0f(l-m)<-/(l-m2)=/(m2-1),即/<1一

m)<ffjn2-1),

1—m>m2-1

?**-1<1-m<1,解得0<m<1,

-1<m2-1<1

綜上，當a>l時，1<m<當0<a<1時，0<m<l.

【考點】

指數(shù)函數(shù)的性質

【解析】

先驗證函數(shù)具備奇偶性，再分a>1、0<a<1兩種情況討論函數(shù)的單調性.

【解答】

解：由函數(shù)的解析式易得f(-x)=-/。)，，函數(shù)為奇函數(shù)，

(1)當a>l時，函數(shù)f(x)=ax—ar為增函數(shù),X%e(-1,1),

/(I-m)+/(I—m2)<0Q/(I-m)<—/(I-m2)=f(m2-1),即/'(1-

m)<f(m2—1),

,1-m<m2-1

二-1<1-m<1,解得1<zn<近，

1<m2—1<1

(2)當0<a<l時，函數(shù)/(x)=a*-a—為減函數(shù)，又x6(—1,1),

/(I-m)+/(I-Tn2)<0Q/(I-m)<—/(I-m?)=f(m2-1),即/'(1-

m)<f(m2—1),

'1-m>m2-1

,,—1<1—TH<1,解得。<TH<1,

1<m2—1<1

綜上，當a>l時，1<m<企；當0<a<1時，0<m<l.

27.

【答案】

解：設指數(shù)函數(shù)/(x)=",

V/(x)的圖象過點(4,16),

???"4)=16,即。4=16,解得a=2,

則/(x)=25/(-I)=2-1=i.

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

【解析】

利用待定系數(shù)法求出指數(shù)函數(shù)的解析式即可得到結論.

【解答】

解：設指數(shù)函數(shù)/(x)=a\

/(%)的圖象過點(4,16),

”4)=16,即。4=16,解得a=2,

則/(x)=2、，/(-l)=2-1=i.

28.

【答案】

解：(1)設指數(shù)函數(shù)為g(x)