數(shù)學例題與探究：從位移的合成到向量的加法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1下面給出了四個式子：①++；②+++；③-+—;④.其中值為0的是（）A。①②B.①③C.①③④D.①②③思路解析:++=+=0;+++=（+)+（+）=+=;—+-=+=0；==0。答案:C綠色通道：（1）解決向量的加減法的有關問題時，要結(jié)合幾何圖形的特征,善于應用+=和—=解決.(2)化簡含有向量的關系式一般有兩種方法：①利用幾何方法通過作圖實現(xiàn)化簡；②利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量.變式訓練如圖2-2-4，已知四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分別是AD、BC、AB與CD的中點,則等于(）圖2-2—4A.+B.+C。D.思路解析：連結(jié)交于點M，則有==+=。答案：C例2用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.思路分析:要證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等。根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應向量相等即可.此問題是純文字敘述的問題，首先應轉(zhuǎn)化為符號語言描述.答案:已知：如圖2-2-5所示，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O，且AO=OC,DO=OB.圖2—2-5求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：根據(jù)向量加法的三角形法則，有=+,=+.又∵=，=,∴+=+?！?.∴∥，=,即AB與DC平行且相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形.綠色通道：用向量法解決應用問題的步驟為：(1）將應用問題中的量抽象成向量；（2）化歸為向量問題，進行向量運算；（3)將向量問題還原為應用問題.變式訓練一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船的實際速度.思路分析：可以用向量表示速度,然后用向量加法合成速度即可.解:如圖2—2-6，設表示水流速度，表示船垂直于對岸方向行駛的速度，表示船的實際速度，圖2—2—6則∠AOC=30°,｜｜=5km/h.∵四邊形OACB為矩形，∴||=，｜|=，即水流速度是km/h，船的實際速度為10km/h.問題探究問題1已知向量a、b，試探索|a+b｜與｜a|+|b｜的大小.導思:利用向量加法的幾何意義來分析.因為向量包含長度和方向，所以在比較向量長度的大小時，要考慮其方向.探究：（1)當a、b至少有一個為零向量時，有a+b=0+a或a+b=0+b，∴｜a+b｜=|0+a｜=|a|+|b|或｜a+b|=｜0+b|=|a|+|b|。∴｜a+b|=｜a|+|b|.（2）當a、b均為非零向量時，作=a，=b，則a+b=.圖2-2—7若a、b不共線，如圖2—2-7所示，則點O、A、B不共線，則點O、A、B構(gòu)成△OAB。由三角形任意兩邊之和大于第三邊得｜｜+||＞|｜。即｜a+b|＜｜a|+｜b|.若a、b同向共線時，如圖2-2-8所示,圖2-2-8則點O、A、B共線.此時｜|+｜|=｜|,即|a+b｜=｜a|+|b｜.當a、b異向共線時,如圖2-2-9所示,圖2—2-9則點O、A、B共線。此時如圖2—2-9（甲）所示，有｜｜=|｜+|｜，則｜a|=|a+b｜+|b｜。如圖2—2—9（乙）所示，有｜|+｜｜=||,則|a｜+｜a+b|=|b｜。∴｜a+b｜＜｜a|+|b|。綜上所得，｜a+b|≤|a｜＋|b|。由本題還可得結(jié)論：｜a+b｜≥｜|a｜－｜b||.∴對于向量a、b，有如下結(jié)論：||a|－｜b｜｜≤|a+b｜≤|a｜＋|b|。下面看此結(jié)論的應用.例如：已知|a|=8，｜b｜=12,