數(shù)學(xué)例題與探究：平面向量的坐標(biāo)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1(全國高考卷Ⅲ，理14）已知向量=（k，12)，=（4，5),=（-k，10）,且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=______________。思路解析:由于A、B、C三點(diǎn)共線,則∥,又=(4，5）—(k,12)=（4-k，—7)，=(4，5）-（-k，10）=（4+k,-5）,所以有（4—k)(-5)-(4+k)(—7)=0,解得k=-。答案：-綠色通道：向量共線的幾何表示與坐標(biāo)表示形式不同但實(shí)質(zhì)一樣,在解決具體問題時(shí)要注意選擇使用;三點(diǎn)共線問題通?；瘹w為向量共線問題來解決.變式訓(xùn)練1（浙江高考卷,文4）已知向量a=(3，4），b=（sinα,cosα)，且a∥b，則tanα的值為（)A.B.-C。D。-思路解析:根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示,轉(zhuǎn)化為同角三角函數(shù)之間的關(guān)系。因?yàn)閍∥b，且a=（3，4），b=（sinα，cosα），所以3cosα-4sinα=0,則有3cosα=4sinα，顯然cosα≠0.于是tanα==。答案：A變式訓(xùn)練2（全國高考卷Ⅱ，文1)已知向量a=（4，2）,向量b=(x,3）,且a∥b，則x的值為（)A。9B.6C思路解析：由題意,得12－2x=0，解得x=6。答案:B例2（經(jīng)典回放）若向量a=（1,1），b=(1，—1)，c=（-1，2)，則c等于()A。-a+bB.a-bC。-a—bD.—a+b思路解析：由于條件中只給出a、b、c的坐標(biāo)，故可考慮從“數(shù)"的角度出發(fā)用a、b表示c.又a、b不共線，則一定存在實(shí)數(shù)x、y，使c=xa+yb,然后用向量坐標(biāo)建立x、y的方程組.設(shè)c=xa+yb，即（—1，2)=（x，x）+（y，—y）=（x+y，x—y）.∴解得答案：B綠色通道：向量通過坐標(biāo)形式可轉(zhuǎn)化為數(shù)的范圍內(nèi)的運(yùn)算，故可與代數(shù)中的方程、不等式、函數(shù)等知識產(chǎn)生聯(lián)系.本題的解答中運(yùn)用了待定系數(shù)法，滲透了方程思想。之所以能用待定系數(shù)法是因?yàn)橛衅矫嫦蛄炕径ɡ碜鞅Ｕ?。變式?xùn)練1已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，—2）、(4，3），向量p=（2k－1，7），且p∥，則k的值是（）A。B.C。—D。思路解析：∵A（2,－2），B（4，3），∴=（2，5）.又p∥，∴14-5（2k—1)=0，即k=。答案：B變式訓(xùn)練2已知四邊形ABCD是平行四邊形,其頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-2,1）、B（-1，3)、C（3，4），求D點(diǎn)的坐標(biāo).思路分析：欲求D點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后建立關(guān)于坐標(biāo)的方程組。解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由題意,可知=（1，2）,=（3-x，4-y）?！咚倪呅螢槠叫兴倪呅?，∴=，即即D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2)。問題探究問題已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是線段所在直線上某一點(diǎn)，試用向量法探索點(diǎn)P的坐標(biāo)。導(dǎo)思：線段的兩個(gè)端點(diǎn)和其上的一個(gè)點(diǎn)共線，由此轉(zhuǎn)化為向量共線的問題。探究:在數(shù)學(xué)上，我們把分線段成兩部分的點(diǎn)稱為定比分點(diǎn)，當(dāng)=λ時(shí),稱點(diǎn)P分有向線段的比為λ.∴+λ=0，∴(-）+λ（-）=0,∴=.如圖2-4-1所示，如果在直角坐標(biāo)系中，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x,y),A（x1,y1），B(x2,y2）圖2-4—1因?yàn)?λ，所以+λ=0。于是有（-)+λ(—）=0，即（1+λ）=+λ。所以=。則有(x，y）=,即所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，），此公式就叫做線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.特別是當(dāng)λ=1即點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,），此坐標(biāo)又稱為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。下面探討其應(yīng)用.例1：設(shè)△ABC的重心（三條中線的交點(diǎn))為G，并且A（x1,y1)，B（x2，y2）,C(x3,y3)，求G的坐標(biāo).思路分析：求出BC中點(diǎn)坐標(biāo)，再用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得G的坐標(biāo)。解：設(shè)點(diǎn)G（x,y），BC的中點(diǎn)為D，由題意得,則即∴G的坐標(biāo)是（).上面的結(jié)論稱為三角形重心坐標(biāo)公式.可以作為結(jié)論直接應(yīng)用.例2:已知M(2，7）和A（6，3)，若點(diǎn)P在直線上，且=,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。思路分析：有三種思路：利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，利用線段的長度關(guān)系，待定系數(shù)法.解法一（利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)：設(shè)P（x,y)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=，y=。即P(3，6）.解法二(利用兩點(diǎn)間的距離公式):設(shè)P（x,y),由題意，得｜｜=4｜|，｜｜=｜｜.則有解方程組得即P(3,6）。解法三：設(shè)P(x，y），則=(2-x，7—y)，=(x-6