廣東省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)8月月考數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期8月月考

高三數(shù)學(xué)試題2024.08

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合Z={x|x2_4go},B={x\lx+a<Q},J=LAC\B={x|-2<x<l},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

2.若。：實(shí)數(shù)。使得“丸,eR,x；+2x°+a=0”為真命題，q：實(shí)數(shù)。使得“Vxe[0,+功,2,-a>0”為

真命題，則。是g的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)〃x)=x2_2(aT)x+a,若對(duì)于區(qū)間[-1,2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)%,馬,都有

/(力/㈤,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—co,0]B.(-8,°)C.D.[3,+oo)

4.純電動(dòng)汽車是以車載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要

求的車輛，它使用存儲(chǔ)在電池中的電來(lái)發(fā)動(dòng).因其對(duì)環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界

的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年尸e欣e%

提出鉛酸電池的容量C、放電時(shí)間/和放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C3,其中尤為

與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)(稱為尸改船〃常數(shù))，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

為15A時(shí)，放電時(shí)間為30h；當(dāng)放電電流為50A時(shí)，放電時(shí)間為7.5h,則該菩電池的尸e欣

常數(shù)2約為()(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477)

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

2

5.已知x>0/>0,且2x+y=l,則,+”的最小值為()

xy

A.4B.4V2C.4V2+ID.2V2+I

6.函數(shù)/(x)Jn(x+GB的圖象大致為()

x-cosx

高三數(shù)學(xué)8月月考試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

7.設(shè)函數(shù)/(尤)=1%|尤|--，則不等式〃》-2經(jīng)/(2》+2)的解集為()

A.[-4,0]B.[-4,0)C.H,-l)u(-l,0]D.[-4,-l)u(-l,0)

8.已知可導(dǎo)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,/仁-1)為奇函數(shù)，設(shè)g(x)是/⑴的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)

110

為奇函數(shù)，且g(0)=：，則Z像(24)=()

2k=\

413-13-11-11

A.—B.--C.—D.--

LLL乙

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

log21M0<Ixl<1

9.已知函數(shù)〃x)=u,,,'',則下列說(shuō)法正確的是()

|4-x|,|x|>l

A.〃x)為偶函數(shù)B.函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)/⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增D.函數(shù)k/(/卜))-5有6個(gè)零點(diǎn)

10.函數(shù)/(%)=--+"-6g(工)=工+4,若對(duì)任意占e(0,+co),存在乙e(-8，T],使得了(xJVgH),

則實(shí)數(shù)?？赡艿娜≈禐?)

A.4B.5C.6D.7

11.函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=e^(x-l),下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=eA'(x+l)

B.函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

C.若機(jī)則方程/(x)=加在x>0上有解

D.曾1,工2?尺，|/(%)-/(匹)|<2恒成立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s?)=(r-l)2做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m,時(shí)間單位：s),則質(zhì)點(diǎn)〃在r=3s

時(shí)的瞬時(shí)速度為.

13.若曲線y=ln.，+2x在丫=1處的切線恰好與曲線y=e，+a也相切，則。=.

14.設(shè)函數(shù)"x)=￡T(x+21nx+3恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/的取值范圍為.

XX

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)在ZUBC中，已知內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，be,且滿足

2(csinC-bsinCcos/)=csmA.

(1)求角8的大??；

(2)若4sin/=G，求的最大值.

高三數(shù)學(xué)8月月考試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

16.（15分）如圖，在直角梯形Z5CO中，ABHDC,ZABC=9Q°,AB=2DC=2BC,E為AB

的中點(diǎn)，沿。￡將折起，使得點(diǎn)Z到點(diǎn)尸位置，且尸M為08的中點(diǎn)，N

是5c上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8,C不重合）.

（1）求證：平面瓦切\(zhòng)」平面尸8C；

（2）是否存在點(diǎn)N,使得二面角8-EN-/的余弦值如？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存

6

在，說(shuō)明理由.

17.（15分）刷臉時(shí)代來(lái)了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來(lái)的便捷感到高興，但“刷臉支付”

的安全性也引起了人們的擔(dān)憂.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)“刷臉支付”的接受程度，通過(guò)安

全感問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查（問(wèn)卷得分在40?100分之間），并從參與者中隨機(jī)抽取200人.根據(jù)調(diào)查

結(jié)果繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）據(jù)此估計(jì)這200人滿意度的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：

方案一：不采用“刷臉支付”，無(wú)任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金活動(dòng).活動(dòng)方案為:

從裝有8個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，黑球5個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一

次性摸出3個(gè)球，若摸到3個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的20%；若摸到2個(gè)紅球，返消費(fèi)

金額的10%,除此之外不返現(xiàn)金.

方案二：采用“刷臉支付”，此時(shí)對(duì)購(gòu)物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金活動(dòng),

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“刷臉支付”時(shí)有J的概率享受8折優(yōu)惠，有;的概率享受9

折優(yōu)惠，有;的概率享受95折優(yōu)惠.現(xiàn)小張?jiān)谠摮匈?gòu)買了總價(jià)為1000元的商品.

高三數(shù)學(xué)8月月考試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

①求小張選擇方案一付款時(shí)實(shí)際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個(gè)方案更劃算？（注：結(jié)果精

確到0.1）

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=e'+("l)x-l,其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)0>1時(shí)，證明：/(x)>xlru-acosx.

22

19.（17分）已知雙曲線E：?-與=1（。＞0,6＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，工，離心率為2,點(diǎn)

ab

3為（0/）,直線愿與圓方+7/-12=0相切.

（1）求雙曲線E方程；

（2）過(guò)月的直線/與雙曲線E交于M,N兩點(diǎn)，

①若麗=2可（1＜力＜3）,求的面積取值范圍：

②若直線/的斜率為左，是否存在雙曲線E上一點(diǎn)。以及x軸上一點(diǎn)尸，使四邊形PMQN

為菱形？若存在，求出產(chǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高三數(shù)學(xué)8月月考試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期8月月考

高三數(shù)學(xué)參考答案

1.B【詳解】求解二次不等式爐-4《0可得：A={x\-2<x<2},求解一次不等式2x+aW0可得:

5=由于4c3={x|-2WxVl},故：-"1=1，解得：〃=-2.故選：B.

2.A【詳解】因?yàn)镻：實(shí)數(shù)。使得“3°eR芯+2x°+a=0”為真命題，所以/+2x+〃=0有解，

所以A=4-4a20,解得aVl,即p:a〈l；因?yàn)?：實(shí)數(shù)。使得“V龍e-a>0”為真命

題，所以Vxe[0,+8),2*>。，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得,即夕：4<1,所以。分0,

q=P,即。是4的必要不充分條件，故選：A

3.C【詳解】二次函數(shù)/3=/_2m-1口+0圖象的對(duì)稱軸為直線x=a-l,?.?對(duì)于任意4馬」-1,2]

且玉f，都有/(再)片/(》2),即/(X)在區(qū)間都,2]上是單調(diào)函數(shù)，a-iv-l或aTN2,aWO

或。之3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-叫0]口[3,+。).故選：C.

4.D【詳解】由題意知。=15隈30=50隈7.5,所以[義丫=迎=4,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，

<15)7.5

得Rg?=21g2,所以2=筆名等券”15.故選：D.

31—lg31—U.H-//

5.D【詳解】"=義+'=』+立立=1T021+2F^=2^+1,當(dāng)且僅當(dāng)上=空，即

xyxyxyxy\xyxy

/=&-1,尤=1-9時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.

6.A【詳解】?.?令g(x)=--cosx,x>0時(shí)，/是遞增的，cosx在(0產(chǎn))上遞減,則有g(shù)(x)在(0,萬(wàn))

上單調(diào)遞增，而g(O)=-l,g⑴=1-COS1>。，所以存在修€(0,1)使得g?)=0,.??/(X)中

xeR,x^x0,排除C、D,..rq時(shí)〃x)>0,排除B,所以選A.故選：A

7.C【詳解】函數(shù)/(x)=bg2R-婷的定義域?yàn)閧x|xw0},且

-2-2

/(-x)=log2|-x|-(-x)=log2|x|-x=/(x),所以/(x)=log22為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)

2

/(x)=log2x-x-,因?yàn)閥=唾2%與y=一婷在(o,+e)上單調(diào)遞增，所以/(x)=log2尤-/在

(0,+。)上單調(diào)遞增,則/(x)在(-叫。)上單調(diào)遞減，不等式〃x-2”〃2x+2),即

|x-2|>|2x+2|

/(|x-2|)>/(|2x+2|),等價(jià)于，x-2w0,解得一44x<T或-1<X40,

2x+2w0

所以不等式的解集為T,T)5T,0].故選：C

8.D【詳解】因?yàn)榱送?”為奇函數(shù)，則/停-1]=-

即—/“1),兩邊求導(dǎo)得r(i)=r("),則g(xT=g“i),可知g(x)關(guān)

于直線X=-1對(duì)稱,又因?yàn)間(2x+l)為奇函數(shù),則g(2x+l)+g(-2x+l)=0,即

答案第1頁(yè)，共6頁(yè)

g(x+l)+g(r+l)=O,可知g(x)關(guān)于點(diǎn)。0)對(duì)稱，令％=1,可得g(2)+g(0)=0,即

g(2)=-g(0)=-1,由g(x-l)=g(-尤-1)可得g(x)=g(-x-2),由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得

g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x+2),可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(_r),令

x=0,可得g(4)=-g(0)=-；；令x=2,可得g(6)=-g(2)=g；且

g(x+8)=-g(x+4)=-［-g(x)］=g(x),可知8為g(x)的周期，可知

g(8左+2)=g(84+4)=—g,g(8左+6)=g(8左+8)=；,左eZ,所以

101111

^^(2A:)=--(l+2+5+6+9+10)+-(3+4+7+8)=--.故選：D.

斤=1222

log7Ixl,0<|x|<l,i/

9.AD【詳解】解：因?yàn)?'(x)=上1忖；，函數(shù)圖象如下所示：\,I

4函數(shù)兩段均為偶函數(shù)，所以整個(gè)函數(shù)也為偶函數(shù)B令/(尤)=。，\/

解得x=±2C〃x)在(1,2)上單調(diào)遞減.D〃/(x))=5,即H/J\\

,-尸(到=5,且〃⑺,1,解得〃x)=±3,則/⑴=3,即|4-/卜3,」［丫：］戶

解得x=±l,或者x=±g；/?=-3,即皿2國(guó)=一3解得x=±(.故\/

選：AD鄧

10.ABC【詳解】對(duì)任意演e(0,+°°),存在三使得/(xjVgH),只需保證/(x)在(0,+8)

上值域是g(X)在上值域的子集或/'(x)max<g(x)ra?,g(x)在(f-l］上g(x)單調(diào)遞增，

故g(x：U=g(T)=T+4=3,〃x)開口向下且對(duì)稱軸x=會(huì)

當(dāng)了。時(shí)，/(x)</(0)=-6,此時(shí)/(x)Wg(M恒成立；

22

當(dāng)￡>0時(shí)，/(X)max=/(j)=^-6,此時(shí)?一6W3即可，可得0<aV6.綜上，aV6.故選：ABC

11.ABD【詳解】解：對(duì)于A.函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

f(^)=-f(-x)=-ex(-x-1)=(x+1),故A正確；對(duì)于B.當(dāng)x>0時(shí),/(x)=e"Y(x-l)=0,解

得x=l,x<0時(shí)，f(x)=e，(x+l)=0,解得x=-l,又〃0)=0,所以/'⑺有±1和0三個(gè)零

點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C.當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=^(x+l),八x)=e*(x+2),當(dāng)x<-2時(shí),/'(x)<0,/(x)遞減,

-2<x<0時(shí)，r(x)>0,/(x)遞增，.*.x=_2時(shí)，〃x)極小值=/(-2)=p-2=_g,x->0+時(shí)，

xf(r,由/(x)是奇函數(shù)，.?.x=2時(shí)，〃尤)極大值=〃2)=±,

/(0)=0,所以“X)的值域是若屋-1時(shí)，方程/("=%在x>0時(shí)無(wú)解,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D.由C的討論知T</(x)<l,因此對(duì)任意的實(shí)數(shù)4，%有-1</(網(wǎng))<1,

.?.-2</(X1)-/(X2)<2,即-〃3)|<2,故D正確.故選：ABD.

12.4m/s【詳解】因?yàn)閟(f)=(I『，所以s()=2(I),所以s，(3)=4,所以質(zhì)點(diǎn)“在f=3s時(shí)

的瞬時(shí)速度為4m/s.故答案為：4m/s.

13.-1【詳解】對(duì)于：y=lnx-x2+2x,可得了='-2x+2,當(dāng)x=l,則了=L"=1,

答案第2頁(yè)，共6頁(yè)

可知曲線V=lnx-x2+2x在x=l處的切線是N=尤；對(duì)于：y=Qx+a,可得y'=e"令j/=e，=l

得x=0,由切點(diǎn)(0,0)在曲線y=e*+a上得a=-l.

14.(!，4)^(7+0°)【詳解】因?yàn)?(x)=^--f(x+21nx+3(x>0),

344xx

所以/'(x)=eJ:-J(+2-]/(X-1)-(「)(x+3)=(xT)[e；4x+3),因?yàn)橛袃蓚€(gè)

極值點(diǎn)，所以/3=0恰有兩個(gè)正根，即尸1為一個(gè)根，則e，T(x+3)=0有唯一正根，且xwl,

即/=/—有唯一正根，且xwi,設(shè)g(x)=——(x>o),則y=g(X)的圖象與>=彳圖象有一個(gè)交

x+3x+3

b(x+3)-e*e%x+2)

點(diǎn)，g'(x)=,所以xe(0,+8)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)為增函

(x+3)2(x+3)?

數(shù)，又g(0)=g，g(l)=j,因?yàn)閤wl,所以g(x)R：

所以只需經(jīng)；且蹤：，即可滿足題意，

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為4早5/⑹.

15.【詳解】(1)因?yàn)?(csinC-bsinCcos")=csin4,

由正弦定理得

2sinC(sinC-siii8cos^)=sinCsiih4,.............1分

因?yàn)閟inC豐0.............2分

2sinC-2sinSco&4=sinX,由三角形的內(nèi)角和定理得2sin(/+8)-2sinScos/=sinJ,

2sinAcosB+2sin5cosZ-2sin5cos4=siiL4

所以得2cosBsiM=siiU,.............3分

因?yàn)閟iiMwO,............4分

所以解得cosB=；,.............5分

?."?(。㈤，5=j；.............6分

a4

(2)若4sin4=A^z,sin4=忑'.............8分

b_4b_4

由正弦定理得/還=方=國(guó)=耳，解得6=2,.............9分

~T

2222

由余弦定理得/+c-2accosB=b9a+c=ac+4,............10分

利用基本不等式可得“C+4224C,所以℃44(當(dāng)且僅當(dāng)。=c=2時(shí)，取等

號(hào))，...........12分(沒(méi)有取等條件扣1分)

即這的最大值為4...............13分

16.【詳解】解：(1)證明：由0PELED,EBCED=E,

所以尸平面￡5CD,.............1分

又8CU平面E5CD,PELBC,XBCLBE,故平面尸￡8,.............2分

ENU平面尸￡瓦故區(qū)..........3分

又等腰三角形尸￡8,EMLPB,............4分

BSPB=B,故平面05C,.............5分

答案第3頁(yè)，共6頁(yè)

EMU平面EAW,故平面SAW，平面03C；.............6分

(2)假設(shè)存在點(diǎn)N,使得二面角8-EN-/的余弦值號(hào).

以E為原點(diǎn)，麗而Q分別為X,了，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PE=EB=2,設(shè)N(2,m,0),BQ,0,0),￡>(0,2,0),尸(0,

0,2),C(2,2,0),M(l,0,1),由=(1,0,1),麗=(2,0,0),

EN=(2,m,0),........8分

設(shè)平面EW的法向量為方=(Q,Z),由;療二十30

[m.EN=2x+my=0

令X=%得P=(嘰-2,-加),........10分

平面的一個(gè)法向量為力=(0。1),.............11分

故|cos(方,4=jti=/!°+0-=?,...............

11x26

'|^||?|yjm+(-2)+(~myXVo+o+l

解得：m=l,故存在N為5c的中點(diǎn)...........15分

17.【詳解】（1）由直方圖可知，滿意度的平均數(shù)為：

（O.Olx45+0.02x55+0.025x65+0.025x75+0.015x85+0.005x95）x10=68.........3分（式子1分）

（2）①摸到3個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的20%,實(shí)際付款為1000（1-20%）=800；..........4分

摸到2個(gè)紅球，返消費(fèi)金額的10%,實(shí)際付款為1000（1-10%）=900,.............5分

「3roi1s

所以X的可能取值為800,900,1000,因?yàn)镻（x=800）=胃=-,P（X=900）=平六-,

^?^8JU

所以尸（丫=1000）=1一尷?,...........8分（每個(gè)概率1分）

X的分布列為：

X8009001000

1155

P

56567

............9分

所以E（X）=800x，+900x”+1000x37969.6（元）...........10分

56567

②若選擇方案二，記實(shí)際付款金額為匕依題意，y的可能取值為800,900,950,.........11分

因?yàn)閜（y=8oo）=：,p（y=9oo）=；,p（y=95o）=；,............12分

所以，￥的分布列為：

Y800900950

]_j_]_

P

632

............13分

答案第4頁(yè)，共6頁(yè)

所以，￡1(y)=800X1+900X-+950x-?908.3(元)..........14分

632

因?yàn)镋(x)>￡(y),所以選擇方案二付款更劃算..........15分

18.【詳解】(1)因?yàn)椤ā?=1+("1"-：1,所以/(x)=e，+a-1,...........1分

當(dāng).21時(shí)，((x)=e，+a-l>0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增；..........2分

當(dāng)。<1時(shí)，由/[x)=e*+a-l>0,得x>ln(l-a),

函數(shù)〃x)在區(qū)間(ln(l-a),+“)上單調(diào)遞增，

由/[x)=e，+("l)<0,得x<ln(l-a),函數(shù)/(x)在區(qū)間(-oo,ln(l-明上單調(diào)遞減........4分

綜上：當(dāng)讓1時(shí)“X)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)。<1時(shí)/'(x)在區(qū)間(ln(l-a),+e)上單調(diào)遞增，在

區(qū)間上單調(diào)遞減。..........5分

(2)要證/(x)>xlnx—acosx,艮|］證e"+1)工一1>xlnx-acosx,xE(0,+。),

即證e》+tz(x+cosx)-x-1-xh\x>0,xG(0,+e),............6分

設(shè)左(x)=x+cosx,左'(x)=1-sinx>0,

故左(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,又左(0)=1>0,所以左(x)>l,............7分

又因?yàn)镼>1,所以Q(X+COSX)〉X+COSX,.............8分

x

所以e》+Q(x+cosx)-x-1-xh\x>e+cosx-1-xh\x,.............9分

①當(dāng)0<xWl時(shí)，［3^jex+cosx-l>0,xlnx<0,所以e"+cosx-1-xlnx>0；............10分

②當(dāng)x〉l時(shí)，令g(x)=e"+cosx-xlnx-l,貝ljg'(x)=e'-Inx-sinx-1,............11分

設(shè)=則〃(x)=e"----cosx,設(shè)加(x)=e*----cosx,則

m'^x)=Qx-\■--+sinx,.........12分

因?yàn)閄>1,所以加'(x)>0,所以加(x)即/(X)在(1,+s)上單調(diào)遞增，..........13分

所以〃(x)>%l)=e-l-cosl>0,所以力⑺在。，+8)上單調(diào)遞增,..........14分

所以〃(x)>Ml)=e-sinl-l>0,即g［x)>0,所以g(x)在(1,+℃)上單調(diào)遞增，.........15分

g(x)>g(l)=e+cosl-l>0,即e*+cosx-l-xlnx>0...............16分

綜上可知