江西鷹潭市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

江西鷹潭市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.2．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿(mǎn)足的的集合為A. B.C. D.3．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.6 B.5C.4和6 D.5和74．已知一個(gè)圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線(xiàn)a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.5．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種6．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面，-些優(yōu)美的曲線(xiàn)是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的產(chǎn)物.曲線(xiàn)C：為四葉玫瑰線(xiàn).①方程(xy<0)表示的曲線(xiàn)在第二和第四象限；②曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2；③曲線(xiàn)C構(gòu)成的四葉玫瑰線(xiàn)面積大于4π；④曲線(xiàn)C上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．若，則（）A.1 B.2C.4 D.88．已知F(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直x軸的弦長(zhǎng)為，則該橢圓的方程為（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=19．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.10．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個(gè)，現(xiàn)從中選出一個(gè)球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件11．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開(kāi)，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.912．若直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.14．已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，，，，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，則_______16．已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值18．（12分）已知二次曲線(xiàn)的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線(xiàn)的條件；（2）若雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長(zhǎng)，求雙曲線(xiàn)方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線(xiàn)，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿(mǎn)足，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由19．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行（1）求值，并求此切線(xiàn)方程；（2）證明：21．（12分）{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項(xiàng)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項(xiàng)公式；②求的值.22．（10分）已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)l與交于P、Q兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線(xiàn)方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線(xiàn)l的斜率等于1，且，求雙曲線(xiàn)的離心率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C2、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題3、A【解析】由二項(xiàng)展開(kāi)的中間項(xiàng)或中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大可得解.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式一共11項(xiàng)，其中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，易知當(dāng)r＝5時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第6項(xiàng).故選：A4、B【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B5、C【解析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.6、B【解析】對(duì)于①，由判斷，對(duì)于②，利用基本不等式可判斷，對(duì)于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線(xiàn)圍成的面積進(jìn)行比較即可，對(duì)于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線(xiàn)的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對(duì)于①，由，得異號(hào)，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對(duì)稱(chēng)，所以方程(xy<0)表示的曲線(xiàn)在第二和第四象限，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以由曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2，所以②正確，對(duì)于③，由②可知曲線(xiàn)C上到原點(diǎn)的距離不超過(guò)2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線(xiàn)C構(gòu)成的四葉玫瑰線(xiàn)面積小于4π，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線(xiàn)C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程，所以曲線(xiàn)在第一象限不經(jīng)過(guò)任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知曲線(xiàn)在其它象限也不經(jīng)過(guò)任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線(xiàn)C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以④錯(cuò)誤，故選：B7、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.8、C【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C9、B【解析】先由在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因?yàn)樵诰€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.10、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對(duì)立事件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對(duì)立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)椋?，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C12、B【解析】根據(jù)斜率的取值范圍，結(jié)合來(lái)求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)傾斜角為，因?yàn)?，且，所?故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得有兩個(gè)不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】∵的定義域?yàn)?，，要使函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需和有兩個(gè)交點(diǎn)，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：14、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，找出規(guī)律即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，先不考慮正負(fù)，可知，再由奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，可得到一個(gè)通項(xiàng)公式，故答案為：（不唯一）15、【解析】設(shè)，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為?6、2或10【解析】求出在處的導(dǎo)數(shù)，得出切線(xiàn)方程，與聯(lián)立，利用可求.【詳解】令，，則，，可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問(wèn)2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴為原點(diǎn))面積的最大值為18、（1）時(shí)，方程表示橢圓，時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號(hào)時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)（2）將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立化簡(jiǎn)得：，利用雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn)，可確定的范圍，從而可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線(xiàn)，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn)，從而可求【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)（2）化簡(jiǎn)得：△或所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)實(shí)軸最長(zhǎng)為此時(shí)雙曲線(xiàn)方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線(xiàn)，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn)設(shè)，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線(xiàn)定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線(xiàn)方程的確定可分為兩類(lèi)：若已知曲線(xiàn)類(lèi)型，則采用待定系數(shù)法；若曲線(xiàn)類(lèi)型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類(lèi)討論思想求解.19、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.20、（1）；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，由，知不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，，在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，即切線(xiàn)斜率為，，解得：，，，所求切線(xiàn)方程為：，即；【小問(wèn)2詳解】要證，即證；①當(dāng)時(shí)，，，，即，；②當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題，解題的基本思路是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.21、（1），（2）①；②【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將展開(kāi)化簡(jiǎn)，求得首項(xiàng)，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫(xiě)出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特征，采用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項(xiàng)公式為；由可知：