專題05二元一次方程(組)的定義及求解二元一次方程組壓軸題六種模型全

專題05二元一次方程(組)的定義及求解二元一次方程組壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一二元一次方程的定義】 1【考點二二元一次方程的解】 2【考點三求二元一次方程的正整數(shù)解】 3【考點四判斷是否是二元一次方程組】 5【考點五判斷是否是二元一次方程組的解】 6【考點六解二元一次方程組—代入消元法】 8【考點七解二元一次方程組—加減消元法】 10【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一二元一次方程的定義】例題：（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學(xué)校七年級期中）下列方程屬于二元一次方程的是（）A．2x3=10 B．3＋2y=10 C．xy＋8=0 D．x＋y=2【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)均為1，依次判斷即可．【詳解】解：A．只有一個未知數(shù)，不符合題意；B．未知數(shù)x的次數(shù)為2次，不符合題意；C．含有未知數(shù)的項的次數(shù)為2次，不符合題意；D．含有兩個未知數(shù)，且次數(shù)均為1，符合題意；故選：D．【點睛】題目主要考查二元一次方程的定義，理解此定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南·南華縣龍川初級中學(xué)八年級期末）已知下列各式：①；②2x3y=5；③；④x+y=z1；⑤，其中是二元一次方程的是________【答案】②【分析】利用二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1次，這樣的整式方程，判斷即可．【詳解】解：①，不是整式方程，不是二元一次方程；②2x3y=5，是二元一次方程；③，最高次數(shù)為2，不是二元一次方程；④x+y=z1，含有三個未知數(shù)，不是二元一次方程；⑤，只有一個未知數(shù)，不是二元一次方程；綜上，只有②是二元一次方程．故答案為：②．【點睛】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·天津北京師范大學(xué)靜海附屬學(xué)校七年級期中）若是關(guān)于，的二元一次方程，則_________，_________．【答案】

【分析】二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴且，解得，n=4．故答案為：，．【點睛】此題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．【考點二二元一次方程的解】例題：（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學(xué)校七年級期中）已知，是方程的一個解，則k的值為（）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】將解代入到方程中，即可求出值．【詳解】解：由題意得：，解得：；故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程的解的定義．熟練掌握使方程成立的未知數(shù)的值就是方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校七年級期中）已知是方程的一個解，那么的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】將方程的解代入原方程，可求出的值．【詳解】解：∵是方程的一個解，∴，解得，故選：C．【點睛】本題考查了已知方程的解求參數(shù)的問題，可將方程的解代入原方程求參數(shù)的值，熟知使二元一次方程兩邊值相等的未知數(shù)的值即為方程的解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級階段練習(xí)）若二元一次方程的解是，則的值是______________．【答案】##－0.5【分析】把代入二元一次方程kx?3y＝2得到關(guān)于k的一元一次方程，解之即可．【詳解】解：把代入二元一次方程kx?3y＝2得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的解與解一元一次方程，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵．【考點三求二元一次方程的正整數(shù)解】例題：（2022春·八年級單元測試）二元一次方程2x＋3y＝11的正整數(shù)解有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】把x看做已知數(shù)求出y，即可確定出正整數(shù)解．【詳解】解：方程2x＋3y＝11，解得：y＝，當(dāng)x＝1時，y＝3；x＝4時，y＝1，則方程的正整數(shù)解有2組，故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）二元一次方程的正整數(shù)解有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整數(shù)解即可得出答案．【詳解】解：由得：，當(dāng)x＝1時，；當(dāng)x＝2時，；當(dāng)x＝3時，；∴二元一次方程的正整數(shù)解有3組，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，能夠求出所有的正整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期中）方程的所有正整數(shù)解為______．【答案】【分析】先用x將y表示出來，然后根據(jù)x、y均為正整數(shù)運用列舉法即可求解．【詳解】解：由可得y=，∵x、y均為正整數(shù)，∴＞0，即x＜5當(dāng)x=2時，y=4，∴方程4x+3y=20的正整數(shù)解為．故答案為．【點睛】本題主要考查一元二次方程的特殊解，用一個未知數(shù)表示成另一個未知數(shù)是解答本題題的關(guān)鍵．【考點四判斷是否是二元一次方程組】例題：（2022·河南·睢縣第二中學(xué)七年級期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由兩個方程組成，且含有兩個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1，這樣的方程組是二元一次方程組，根據(jù)定義逐一判斷即可.【詳解】解：A．含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組，故A不符合題意；B．是二元一次方程組，故B符合題意；C．含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)不是1，不是二元一次方程組，故C不符合題意；D．含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)不是1，不是二元一次方程組，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的定義，掌握“根據(jù)二元一次方程組的定義識別二元一次方程組”是解本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇泰州·七年級階段練習(xí)）下列方程中，是二元一次方程組的是（

）①

②

③

④A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組，據(jù)此即可判定．【詳解】①是三元一次方程組，故不符合題意；②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程組，故不符合題意；③是二元一次方程組，故符合題意；④是二元一次方程組，故符合題意；故是二元一次方程組是③④，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，理解和掌握二元一次方程組的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·鄒城市第十一中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列方程組中，二元一次方程組一共有（

）個．（1），（2），（3），（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【詳解】解：（1）符合二元一次方程組的定義；（2）第二個方程中的是二次的，故該選項不符合題意；（3）第一個方程不是整式方程，故該選項不符合題意；（4）符合二元一次方程組的定義．則二元一次方程組共2個，故選：B．【點睛】此題考查了二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的定義“由兩個二元一次方程組成的方程組”，細心觀察排除，得出正確答案．【考點五判斷是否是二元一次方程組的解】例題：（2022·北京四中璞瑅學(xué)校七年級期中）下列二元一次方程組的解為的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】把代入各方程組兩個方程檢驗，即可作出判斷．【詳解】解：A、把代入①得：左邊=1?1=0，右邊=0，成立；把代入②得：左邊=1+1=2，右邊=1，不成立；∴選項A不符合題意；B、把代入①得：左邊=1－1=0，右邊=0，成立；把代入②得：左邊=1+1=2，右邊=－1，不成立；∴選項B不符合題意；C、，把代入①得：左邊=1－1=0，右邊=0，成立；把代入②得：左邊=1+1=2，右邊=2，成立；∴選項C符合題意；D、把代入①得：左邊=1?1=0，右邊=0，成立；把代入②得：左邊=1+1=2，右邊=?2，不成立∴選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列以為解的二元一次方程組是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將解代入方程組的方程，判斷是否使方程成立即可．【詳解】解：將代入得61=5，方程左右兩邊相等，將代入得2×23×(1)=4+3=7，方程左右兩邊相等，∴是的解．故選：A．【點睛】本題考查了方程組的解，解題的關(guān)鍵是知道二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．2．（2022·廣西河池·七年級期末）下列方程組中，以為解的二元一次方程組是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將解代入方程組的方程，判斷是否使方程成立即可．【詳解】解：將代入中得：，方程左右兩邊相等，將代入中得：，方程左右兩邊相等，∴是方程組的解，故選：A．【點睛】本題考查了方程組的解“二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”．【考點六解二元一次方程組—代入消元法】例題：（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校八年級階段練習(xí)）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入法解方程組；（2）利用代入法解方程組．（1）解：將②代入①，得，解得，將代入②，得，∴方程組的解為（2）原方程組整理得由①得，③，將③代入②，得，解得，將代入③，得，∴方程組的解為．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組的解法：代入法和加減法，并能依據(jù)每個方程組的特點選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·廣州四十七中九年級階段練習(xí)）解方程組：．【答案】【分析】利用代入消元法解答，即可求解．【詳解】解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，所以原方程組的解是．【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解答的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·廣州市天河區(qū)匯景實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）解二元一次方程組【答案】【分析】根據(jù)代入消元法將代入即可求解．【詳解】解：，將②代入①得：，解得：，將代入②得：，所以原方程組的解為：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法，掌握代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2022·吉林市亞橋中學(xué)七年級期末）解方程組：．【答案】【分析】根據(jù)方程組中方程的特點，采用代入消元法解答即可．【詳解】解：代入得，，解得，將代入得，所以方程組的解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，第一種代入消元法，先從一個方程當(dāng)中用一個字母表示另一個字母，然后代入另一個方程消去未知數(shù)解答；第二種加減消元法，把兩個方程的兩邊分別相加或相減去一個未知數(shù)的方法叫作加減消元法．【考點七解二元一次方程組—加減消元法】例題：（2021·四川省南充市高坪中學(xué)七年級期中）解方程組：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組；（2）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．（1）解：，得：，解得，將代入①得，解得，∴方程組的解為：；（2）解：，得：，解得，將代入①得，解得，∴方程組的解為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·東莞市萬江第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）解方程組【答案】【分析】方程組中未知數(shù)的系數(shù)分別是，，最小公倍數(shù)是，①式（見詳解）乘以減去②式乘以，消去未知數(shù)，即可求出未知數(shù)，再代入①式即可求出答案．【詳解】解：原式得，3x+5y=25，，∴，∴，把代入①得，，∴，故方程組的解是：．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組，先分析各未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系，確定最小公倍數(shù)，運用加減消元法解方程組，掌握加減消元法解方程組最關(guān)鍵的是要確定未知數(shù)的系數(shù)的關(guān)系．2．（2022·重慶璧山·七年級期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加減消元法，把①②消去y，得到，解得，把代入②，得到，解得，即得；（2）利用加減消元法，把①②消去y，得到，解得，并代入①，得到，解得，即得．（1）解：，①②得，解得．把代入②，得，解得．原方程組的解為．（2），①②，得，解得，并代入①，得，解得．原方程組的解為．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法解二元一次方程組．3．（2022·河南·漯河市實驗中學(xué)七年級期末）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）用加減消元法解方程即可；（2）先處理方程，然后再用加減消元法解方程即可．（1）解：，得，解得，把代入得解得，所以原方程組的解為．（2）解：原方程化為：，得，解得：，把代入得：解得，所以原方程組的解為．【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，有加減法和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡單，特殊情況用代入法．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2022春·湖南婁底·七年級?？茧A段練習(xí)）下列屬于二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“二元一次方程的定義是含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都為1”進行判斷即可

．【詳解】A、該方程中含有兩個未知數(shù)，但是含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，不屬于二元一次方程，故本選項錯誤；B、該方程中符合二元一次方程的定義，故本選項正確；C、該方程不是整式方程，不屬于二元一次方程，故本選項錯誤；D、該方程中含有兩個未知數(shù)，但是含有未知數(shù)的項最高次數(shù)是2，不屬于二元一次方程，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．2．（2023春·七年級單元測試）二元一次方程有無數(shù)個解，下列四組值中是該方程的解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各項中的x、y的值代入，根據(jù)其結(jié)果是否等于1即可得解．【詳解】解：把代入方程可得，故不是方程的解；把代入可得，故是方程的解；把代入方程可得，故不是方程的解；把代入可得，故不是方程的解．故選：B．【點睛】此題主要考查了二元一次方程的解，關(guān)鍵是把結(jié)果代入原方程，看方程兩邊是否相等．3．（2022秋·湖南懷化·七年級?？茧A段練習(xí)）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】組成二元一次方程組的兩個方程應(yīng)共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【詳解】解：A.是二元一次方程組，故A正確；B.是三元一次方程組，故B錯誤；C.是二元一次方程組，故C正確；D.是二元一次方程組，故D正確；故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個二元一次方程組成的方程組”，細心觀察排除，得出正確答案．4．（2022春·湖南婁底·七年級?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個解，則k的值是（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】把代入方程中，解方程即可求解．【詳解】解：把代入方程中，得，解得．故選：D．【點睛】本題考查了利用方程的解求參數(shù)的方法，熟練掌握和運用利用方程的解求參數(shù)的方法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022春·河北邯鄲·七年級?？茧A段練習(xí)）方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，則（）A．； B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程，進行解答即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴，，，，解得：，，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．6．（2023春·七年級課時練習(xí)）嘉嘉用代入法解二元一次方程組的步驟如下，其中開始出現(xiàn)錯誤的是（

）第一步：將方程①變形，得③；第二步：將方程③代入方程①，得；第三步：整理，得；第四步：因為可取一切有理數(shù)，所以原方程組有無數(shù)個解A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】B【分析】根據(jù)代入法解一元二次方程，由①變形得到的③，應(yīng)代入方程②，據(jù)此分析判斷即可求解．【詳解】根據(jù)代入法求解二元一次方程組的步驟可得，第一步：將方程①變形，得③；第二步：將方程③代入方程②，得，整理得,故選：B【點睛】此題考查了代入法求解二元一次方程組的步驟，解題的關(guān)鍵是掌握代入法求解二元一次方程組的步驟．二、填空題7．（2022春·山東威?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期中）請你寫出一個解為的二元一次方程__________．【答案】x+y=2（答案不唯一）【分析】根據(jù)二元一次方程的定義用列舉法寫出滿足條件的方程即可；【詳解】解：根據(jù)題意知：是關(guān)于x、y的二元一次方程的解，∴（a、b、c為常數(shù)）當(dāng)a=1，b=1時，c=2∴x+y=2故答案為x+y=2；【點睛】本題考查了二元一次方程，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．8．（2023春·七年級課時練習(xí)）已知，用關(guān)于x的代數(shù)式表示y，則________________．【答案】【分析】把方程寫成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的項移到方程的左邊，其它的項移到另一邊，就可得到用含x的式子表示y的形式．【詳解】解：移項得：，故答案為：【點睛】本題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵在于正確的移項．9．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）已知x，y滿足方程組，則的值是_________．【答案】【分析】將方程組中的兩個方程相減，即可求出．【詳解】解：，，得，故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，根據(jù)所求的代數(shù)式的特點，靈活處理二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x，y的二元一次方程有一個解是，則m＝_____．【答案】2【分析】把x與y的值代入方程計算即可求出m的值．【詳解】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程有一個解是，∴，∴故答案為：2．【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．11．（2021春·四川綿陽·七年級?？计谥校┤绻顷P(guān)于的二元一次方程，那么___________________．【答案】

4【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，即未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1，得到關(guān)于a、b的方程組，從而解出a，b的值【詳解】解：∵是二元一次方程，∴，∴故答案為：，4．【點睛】本題主要考查二元一次方程的定義，即只含有兩個未知數(shù)，并且所含未知項的次數(shù)都為1次的整式方程就叫做二元一次方程．12．（2022春·廣東河源·七年級?？计谥校τ趯崝?shù)，，定義運算“◆”和“”：a◆b，例如4◆3，因為，所以4◆3，，m，n為常數(shù)，若，，則m◆n_______．【答案】【分析】根據(jù)新定義運算法則，得出，解出、的值，再根據(jù)新定義運算法則，計算即可得出答案．【詳解】解：∵，m，n為常數(shù)，若，，∴可得：，解得：，又∵，∴，∴m◆n．故答案為：【點睛】本題考查了新定義運算、解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵在理解新定義運算法則．三、解答題13．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，將②代入①式得，解得，將代入②得，方程組的解為；（2）解：，將②代入①式得，解得，將代入②得，方程組的解為．【點睛】本題考查代入消元法解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法解二元一次方程組是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）解方程組(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【詳解】（1）解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為；（2）解：，①②得：，解得，把代入①得：，則方程組的解為．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．15．（2022春·廣東河源·七年級校考期末）解方程組．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先由②得到，再由①③求出x的值，最后代入②求解即可；（2）先由①②求出x的值，再代入①求出y的值即可．【詳解】（1），②，得，①③，得，，把代入②，得：，方程組的解為：（2）原方程組化為，①②，得，，把代入①，得，方程組的解為：【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加減消元法和代入消元法兩種，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022春·河北秦皇島·七年級校考期中）解方程組：(1)

(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）運用代入消元法求解即可.（2）把原方程組去分母整理成，再運用加減消元法求解即可.【詳解】（1）由①得把③式代入②式得把代入③式得∴原方程組的解是（2）將原方程組去分母整理得