專題16解三角形綜合題-2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題16解三角形綜合題1．（2022?寧波）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯可伸縮（最長(zhǎng)可伸至，且可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部離地面的距離為，當(dāng)云梯頂端在建筑物所在直線上時(shí)，底部到的距離為．（1）若，求此時(shí)云梯的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部的正上方處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）在中，，，，此時(shí)云梯的長(zhǎng)為；（2）在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處，理由：由題意得：，，，在中，，，，在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處．2．（2021?寧波）我國(guó)紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈已滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，且，，三點(diǎn)共線，，為中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，傘完全張開．（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）20cm；（2）【詳解】（1）為中點(diǎn)，,，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),,,平分,,,在中，,,，．傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為．3．（2020?寧波）圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長(zhǎng)度相等的鋼條組成．當(dāng)位于頂端的小掛鎖打開時(shí)，鋼條可放入底盒中（底盒固定在地面下），此時(shí)汽車可以進(jìn)入車位；當(dāng)車位鎖上鎖后，鋼條按圖1的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進(jìn)入車位．圖2是其示意圖，經(jīng)測(cè)量，鋼條，．（1）求車位鎖的底盒長(zhǎng)．（2）若一輛汽車的底盤高度為，當(dāng)車位鎖上鎖時(shí)，問(wèn)這輛汽車能否進(jìn)入該車位？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）68cm；（2）見解析【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，在中，，，，．（2）在中，，，當(dāng)車位鎖上鎖時(shí)，這輛汽車不能進(jìn)入該車位．4．（2022?寧波模擬）如圖①，一臺(tái)燈放置在水平桌面上，底座與桌面垂直，底座高，連桿，，與始終在同一平面內(nèi)．（1）如圖②，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，，使成平角，，求連桿端點(diǎn)離桌面的高度．（2）將圖②中的連桿再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖③，此時(shí)連桿端點(diǎn)離桌面的高度減小了多少？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）【詳解】（1）作于點(diǎn)，則，，，．四邊形為矩形．，，，，，，在中，，，，，，答：連桿端點(diǎn)離桌面的高度為；（2）如圖3，作于，于，于，于．則四邊形是矩形，，，，，，，，，下降高度：．答：此時(shí)連桿端點(diǎn)離桌面的高度減小了．5．（2022?北侖區(qū)一模）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋．如圖，該河旁有一座小山，山高，坡面的坡比為（注坡比是指坡面的鉛垂高度與水平寬度的比），點(diǎn)、與河岸，在同一水平線上，從山頂處測(cè)得河岸和對(duì)岸的俯角，分別為，．（1）求山腳到河岸的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意得：，，，在中，，，，山腳到河岸的距離為；（2）在中，，，，河寬的長(zhǎng)度為．6．（2022?寧波模擬）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中、都與地面平行，車輪半徑為，，，坐墊與點(diǎn)的距離為．（1）求坐墊到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊到的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為，現(xiàn)將坐墊調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）99.5cm；（2）3.9cm【詳解】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知、，，則單車車座到地面的高度為；（2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，則，．7．（2022?寧波一模）如圖，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾龋诤拥哪习哆咟c(diǎn)處，測(cè)得河的北岸邊點(diǎn)在其北偏東方向，然后向西走35米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．（1）求的度數(shù)；（2）求這段河的寬度約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）這段河的寬度約為55米【詳解】（1）如圖，由題意得：，，；（2）過(guò)作于，則，，，即，設(shè)米，則米，，，，解得：，（米，答：這段河的寬度約為55米．8．（2022?北侖區(qū)二模）我市準(zhǔn)備在相距2千米的，兩工廠間修一條筆直的公路，但在地北偏東方向、地北偏西方向的處，有一個(gè)半徑為0.6千米的住宅小區(qū)（如圖），問(wèn)修筑公路時(shí)，這個(gè)小區(qū)是否有居民需要搬遷？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，，千米，即千米，（千米）0.73千米千米．答：修的公路不會(huì)穿越住宅小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷．9．（2022?鄞州區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開后備箱的過(guò)程中，箱蓋可以繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在的位置（如圖2所示）．已知厘米，厘米，厘米．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）求、兩點(diǎn)的距離．【答案】（1）點(diǎn)到的距離為厘米；（2）厘米【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖3所示．由題意，得：厘米，．四邊形是矩形，，．在△中，厘米．又厘米，厘米，厘米，厘米．答：點(diǎn)到的距離為厘米．（2）連接，，，如圖4所示．由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．答：、兩點(diǎn)的距離是厘米．10．（2022?海曙區(qū)一模）如圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向．（1）從島看，兩島的視角的度數(shù)是．（2）測(cè)量發(fā)現(xiàn)，島與島之間的距離為20海里，求島與島之間的距離．（結(jié)果精確到0.1海里）（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）18.8海里【詳解】（1）兩正北方向平行，，；（2）由（1）可知：，，，海里，，海里．11．（2022?寧波模擬）在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)使用到訂書機(jī)，如圖是裝訂機(jī)的底座，是裝訂機(jī)的托板，始終與底座平行，連接桿的點(diǎn)固定，點(diǎn)從向處滑動(dòng)，壓柄可繞著轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．已知，．（1）當(dāng)托板與壓柄夾角時(shí)，如圖①，點(diǎn)從點(diǎn)滑動(dòng)了，求連接桿的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)壓柄從（1）中的位置旋轉(zhuǎn)到與底座的夾角，如圖②．求這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)滑動(dòng)的距離．（答案保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）連接桿的長(zhǎng)度為；（2）這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)滑動(dòng)的距離為【詳解】（1）如圖①，作于，在中，，，，，，，．，，，．答：連接桿的長(zhǎng)度為；（2）如圖②，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，在中，，，，在中，，，，點(diǎn)滑動(dòng)的距離為：．答：這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)滑動(dòng)的距離為．12．（2022?海曙區(qū)校級(jí)一模）我們知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生長(zhǎng)，有利于身體健康，那么首先要有正確的寫字坐姿，身子上半部坐直，頭部端正、目視前方，兩手放在桌面上，兩腿平放，胸膛挺起，理想狀態(tài)下，如圖1所示，將圖1中的眼睛記為點(diǎn)，腹記為點(diǎn)，筆尖記為點(diǎn)，且與桌沿的交點(diǎn)記為點(diǎn)（1）若，，求到的距離及、兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到．（2）老師發(fā)現(xiàn)小紅同學(xué)寫字姿勢(shì)不正確，眼睛傾斜至圖2的點(diǎn)，點(diǎn)正好在的垂直平分線上，且，于是要求其糾正為正確的姿勢(shì)．求眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離．（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：，，，，【答案】（1）到的距離為，、兩點(diǎn)間的距離為；（2）眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離為【詳解】（1）過(guò)作于，則，，，，，，，，，，答：到的距離為，、兩點(diǎn)間的距離為；（2）過(guò)作，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，，點(diǎn)正好在的垂直平分線上，，，，，答：眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離為．13．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)一模）如圖，為測(cè)量山高，一架無(wú)人機(jī)在山腳處）的正上方處），測(cè)得山頂處）的俯角為，若保持飛行高度不變繼續(xù)行駛到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得，兩處的俯角為，．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度；（2）求山高．【答案】（1）無(wú)人機(jī)的飛行高度為；（2）【詳解】（1）在中，，，，無(wú)人機(jī)的飛行高度為；（2）延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，則，，設(shè)，在中，，，在中，，，，，，，，山高為．14．（2022?江北區(qū)一模）圖1，圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過(guò)程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿與斜坡垂直，大腿與斜坡平行，為頭部，假設(shè)，，三點(diǎn)共線，若滑雪杖長(zhǎng)為，，，，求此刻運(yùn)動(dòng)員頭部到斜坡的高度（精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】【詳解】如圖，連接，則，．在直角中，，，，，在直角中，，，，，．故此刻運(yùn)動(dòng)員頭部到斜坡的高度約為．15．（2022?寧波模擬）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過(guò)．如圖，在一條筆直公路的上方處有一探測(cè)儀，于，，第一次探測(cè)到一輛轎車從點(diǎn)勻速向點(diǎn)行駛，測(cè)得，2秒后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，，（1）求，的長(zhǎng)度．（2）通過(guò)計(jì)算，判斷此轎車是否超速．【答案】（1），；（2）見解析【詳解】在中，，，，在中，，，，答：，；（2），汽車行駛的速度為，，超速了．16．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖1是可調(diào)節(jié)高度和桌面角度的電腦桌，它的左視圖可以抽象成如圖2所示的圖形，底座長(zhǎng)為，支架垂直平分，桌面的中點(diǎn)固定在支架處，寬為．身高為的使用者站立處點(diǎn)與點(diǎn)，在同一條直線上，．點(diǎn)到點(diǎn)的距離是視線距離．（1）如圖2，當(dāng)，時(shí)，求視線距離的長(zhǎng)；（2）如圖3，使用者坐下時(shí)，高度下降，當(dāng)桌面與的夾角為時(shí)，恰有視線，問(wèn)需要將支架調(diào)整到多少？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；（2）【詳解】（1）如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，，，，，在中，，視線距離的長(zhǎng)為；（2）如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意可得：，，，，在中，，即，，，需要將支架調(diào)整到．17．（2022?慈溪市一模）圖1為科研小組研制的智能機(jī)器，水平操作臺(tái)為，底座固定，高為，始終與平臺(tái)垂直，連桿長(zhǎng)度為，機(jī)械臂長(zhǎng)度為，點(diǎn)，是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，，與始終在同一平面內(nèi)，張角可在與之間（可以達(dá)到與變化，可以繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，機(jī)械臂，使張角最大，且，如圖2，求機(jī)械臂臂端到操作臺(tái)的距離的長(zhǎng)．（2）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，機(jī)械臂，要使機(jī)械臂端能碰到操作臺(tái)上的物體，則物體離底座的最遠(yuǎn)距離和最近距離分別是多少？【答案】（1）機(jī)械臂臂端到操作臺(tái)的距離的長(zhǎng)為；（2）物體離底座的最近距離為，物體離底座的最遠(yuǎn)距離為【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，，，，在中，，，，，機(jī)械臂臂端到操作臺(tái)的距離的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，物體在點(diǎn)位置與底座最近，如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，，，在中，，，，，，，，在中，，，，物體離底座的最近距離為，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與底座距離最遠(yuǎn)，如圖：，，，在中，，，物體離底座的最遠(yuǎn)距離為．18．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無(wú)人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小星利用無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量翡翠湖某處東西岸邊，兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小星站在湖邊的處遙控?zé)o人機(jī)，無(wú)人機(jī)在處距離地面的飛行高度是，此時(shí)從無(wú)人機(jī)測(cè)得岸邊處的俯角為，他抬頭仰視無(wú)人機(jī)時(shí)，仰角為，若小星的身高，（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角的正弦值；（2）求，兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到．，，，，，【答案】（1）；（2）【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，四邊形為矩形，，，，在中，，即．答：仰角的正弦值為；（2）在中，，在中，，，，，．答：，兩點(diǎn)之間的距離約為．19．（2022?余姚市一模）如圖，某漁船向正東方向以10海里時(shí)的速度航行，在處測(cè)得島在北偏東的方向，1小時(shí)后漁船航行到處，測(cè)得島在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．（1）處離島有多遠(yuǎn)？（2）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？（3）如果漁船在處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】（1）10海里；（2）有危險(xiǎn)；（3）沒(méi)有【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得，，，，（海里）；（2）在中，，，（海里）海里海里，有危險(xiǎn)；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，在中，，，（海里）海里，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．20．（2022?江北區(qū)模擬）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1，是我國(guó)古代農(nóng)用工具，桔槔始見于（墨子備城門），是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械．如圖2所示的是桔槔示意圖，是垂直于水平地面的支撐桿，是杠桿，且米，．當(dāng)點(diǎn)位于最高點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)最低點(diǎn)．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，（1）求此時(shí)水桶所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（2）求此時(shí)水桶上升的高度．【答案】（1）1.7米；（2）此時(shí)水桶上升的高度為1.6米【詳解】（1）米，，米，水桶所經(jīng)過(guò)的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長(zhǎng)，（米）；（2）過(guò)作，過(guò)作于，過(guò)作于，，，，，，（米），在中，（米），在△中，（米），（米），此時(shí)水桶上升的高度為1.6米．21．（2022?寧波模擬）圖1是停車場(chǎng)入口處的升降桿，當(dāng)汽車刷牌照進(jìn)入時(shí)，升降桿就會(huì)從水平位置升起．圖2是其示意圖，其中，，，，．現(xiàn)由于故障，不能完全升起，最大為．（1）求故障時(shí)點(diǎn)最高可距離地面多少（精確到．（2）若一輛箱式小貨車寬，高，請(qǐng)問(wèn)這輛車能否在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）3.3米；（2）一輛箱式小貨車寬，高不能在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)故障時(shí)點(diǎn)最高時(shí)，，在中，，即，，此時(shí)點(diǎn)離地面長(zhǎng)為：；（2）在上取點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，在中，，即，，，一輛箱式小貨車寬，高不能在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)．22．（2022?寧波模擬）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制．中小學(xué)樓梯寬度的范圍是含，高度的范圍是（含．如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測(cè)量結(jié)果如下：，分別垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，試問(wèn)該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】連接，作于點(diǎn)，，，分別垂直平分踏步，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，該中學(xué)樓梯踏步的高度符合規(guī)定，，，該中學(xué)樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，由上可得，該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定．23．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)三模）小華同學(xué)將筆記本電腦水平放置在桌子上，當(dāng)顯示屏的邊緣線與底板的邊緣線所在水平線的夾角為時(shí)，感覺(jué)最舒適（如圖①．側(cè)面示意圖為圖②；使用時(shí)為了散熱，他在底板下面墊入