專題27.3垂徑定理（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題27.3垂徑定理【十大題型】【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用垂徑定理求線段長度】 1【題型2利用垂徑定理求角度】 5【題型3利用垂徑定理求最值】 9【題型4利用垂徑定理求取值范圍】 13【題型5利用垂徑定理求整點】 18【題型6利用垂徑定理求面積】 22【題型7垂徑定理在格點中的運用】 26【題型9垂徑定理與分類討論中的綜合運用】 33【題型10垂徑定理的應(yīng)用】 37【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．【題型1利用垂徑定理求線段長度】【例1】（2022?雨花區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB交AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，EC＝213，則CD的長為（）A．1 B．3 C．2 D．4【變式11】（2022?寧津縣二模）如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為（）A．6 B．62 C．8 D．【變式12】（2022?建華區(qū)二模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，則CD的長為（）A．5 B．23 C．42 D．2【變式13】（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半徑為．【題型2利用垂徑定理求角度】【例2】（2022?泰安模擬）如圖，⊙O的半徑OA，OB，且OA⊥OB，連接AB．現(xiàn)在⊙O上找一點C，使OA2+AB2＝BC2，則∠OAC的度數(shù)為（）A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°【變式21】（2022秋?天心區(qū)期中）如圖，已知⊙O半徑OA＝4，點B為圓上的一點，點C為劣弧AB上的一動點，CD⊥OA，CE⊥OB，連接DE，要使DE取得最大值，則∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【變式22】（2022秋?青田縣期末）如圖，在⊙O中，半徑OC過弦AB的中點E，OC＝2，OE=2（1）求弦AB的長；（2）求∠CAB的度數(shù)．【變式23】（2022秋?開州區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA垂直于點D，連接AB、AC．點E為AC的中點，連接DE．（1）若AB＝6，求DE的長；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度數(shù)．【題型3利用垂徑定理求最值】【例3】（2022?威海模擬）⊙O中，點C為弦AB上一點，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于點D，則線段CD的最大值是（）A．12 B．1 C．32 D【變式31】（2022?河北模擬）如圖所示，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB交AB于點D．且OD＝DC．P為⊙O上任意一點，連接PA，PB，若⊙O的半徑為1，則S△PAB的最大值為（）A．1 B．233 C．334【變式32】（2022秋?龍鳳區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分別是AB，AD邊上的動點，PQ＝16，以PQ為直徑的⊙O與BD交于點M，N，則MN的最大值為．【變式33】（2022秋?延平區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（）A．910 B．65 C．85 【題型4利用垂徑定理求取值范圍】【例4】（2022?包河區(qū)校級二模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝10，CD⊥AB于點E，CD＝8．點F是弧BC上動點，且與點B、C不重合，P是直徑AB上的動點，設(shè)m＝PC+PF，則m的取值范圍是（）A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜【變式41】（2022?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．【變式42】（2022秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，點P是⊙O內(nèi)一定點．（1）過點P作弦AB，使點P是AB的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為13，OP＝5，①求過點P的弦的長度m范圍；②過點P的弦中，長度為整數(shù)的弦有條．【變式43】（2022秋?天河區(qū)校級期中）已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離OH＝3，點P是圓上一動點，設(shè)過點P且與AB平行的直線為l，記直線AB到直線l的距離為d．（1）求AB的長；（2）如果點P只有兩個時，求d的取值范圍；（3）如果點P有且只有三個時，求連接這三個點所得到的三角形的面積．【題型5利用垂徑定理求整點】【例5】（2022?山海關(guān)區(qū)一模）已知⊙O的直徑CD＝10，CD與⊙O的弦AB垂直，垂足為M，且AM＝4.8，則直徑CD上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有（）A．1個 B．3個 C．6個 D．7個【變式51】（2022秋?新昌縣期末）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，連接OB，點P是半徑OB上任意一點，連接AP，若OB＝5，OC＝3，則AP的長不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式52】（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點O，MN＝10，AB＝8，如圖以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是3，⊙C上的整數(shù)點有個．【變式53】（2022秋?肇東市期末）已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【題型6利用垂徑定理求面積】【例6】（2022?武漢模擬）如圖，在半徑為1的⊙O中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°，90°，120°，那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是（）A．2 B．1 C．32 D．【變式61】（2022秋?黃州區(qū)校級月考）如圖，矩形MNGH的四個頂點都在⊙O上，順次連接矩形各邊的中點，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，則菱形ABCD的面積為．【變式62】（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，AB為⊙O直徑，過點O作OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，CD∥AB．（1）求證：E為OD的中點；（2）若CB＝6，求四邊形CAOD的面積．【變式63】（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點A，C，D均在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，且AB⊥BC于點B，BC⊥CD于點C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A．125π4 B．275π4 C．125【題型7垂徑定理在格點中的運用】【例7】（2022秋?襄都區(qū)校級期末）如圖所示，一圓弧過方格的格點AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【變式71】（2022春?海門市期中）如圖所示，⊙P過B、C兩點，寫出⊙P上的格點坐標(biāo)．【變式72】（2022?商城縣三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C均在小正方形的頂點上，點C同時也在AB上，若點P是BC的一個動點，則△ABP面積的最大值是．【變式73】（2017秋?靖江市校級月考）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作（以下結(jié)果保留根號）：（1）利用網(wǎng)格作出該圓弧所在圓的圓心D點的位置，并寫出D點的坐標(biāo)為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為，∠ADC的度數(shù)．【題型8垂徑定理在坐標(biāo)系中的運用】【例8】（2022?博山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點A（0，﹣2），B（0，4），與x軸交于C，D，則點D的坐標(biāo)為（）A．(4-26，0) B．(-4+26，0) C【變式81】（2022秋?西林縣期末）如圖，⊙P與y軸交于點M（0，﹣4），N（0，﹣10），圓心P的橫坐標(biāo)為﹣4．則⊙P的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式82】（2022?印江縣三模）如圖，直線l為y＝x，過點A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點A3；…，按此作法進(jìn)行下去，則點A2022的坐標(biāo)為．【變式83】（2015?宜春模擬）如圖，半徑為5的⊙P與y軸交于點M（0，﹣4），N（0，﹣10），函數(shù)y＝﹣2x+m圖象過點P，則m＝．【題型9垂徑定理與分類討論中的綜合運用】【例9】（2022秋?化德縣校級期末）⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，則AB和CD的距離為（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【變式91】（2022?包河區(qū)二模）已知圓O的半徑為5，弦AB＝8，D為弦AB上一點，且AD＝1，過點D作CD⊥AB，交圓O于C，則CD長為（）A．1 B．7 C．8或1 D．7或1【變式92】（2022秋?方正縣期末）如圖，⊙O的弦AB與半徑OC垂直，點D為垂足，OD＝DC，AB＝23，點E在⊙O上，∠EOA＝30°，則△EOC的面積為．【變式93】（2022秋?淮南月考）如圖，已知⊙O的半徑為2．弦AB的長度為2，點C是⊙O上一動點，若△ABC為等腰三角形，則BC2的長為．【題型10垂徑定理的應(yīng)用】【例10】（2022秋?武昌區(qū)校級期末）某地有一座圓弧形拱橋，它的跨度（弧所對的弦的長）24m，拱高（弧的中點到弦的距離）4米，則求拱橋的半徑為（）A．16m B．20m C．24m D．28m【變式101】（2022?望城區(qū)模擬）《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．如圖，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）問這塊圓柱形木材的直徑是（）A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸【變式102】（2022秋?西城區(qū)校級期中）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡約．如圖，摩天輪直徑88米，最高點A距離地