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文檔簡介
3.7直線與圓的位置關系學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________B卷(能力拓展)一、填空題1.已知點A、B的坐標分別是(0,1)、(0,3),點C為x軸正半軸上一動點,當∠ACB最大時,點C的坐標是_____________.【答案】【分析】根據(jù)題意,找到當⊙P與x軸相切于點C時,最大,作出相應輔助線,可得出,,再由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得,根據(jù)切線定理確定四邊形PCOH為矩形,最后根據(jù)勾股定理即可得出.【詳解】過點A、B作⊙P,⊙P與x軸相切于點C時,最大,連接PA、PB、PC,作PH⊥y軸于H,如圖,∵點A、B的坐標分別是(0,1)、(0,3),∴,,∵PH⊥AB,∴,∴,∵點⊙P與x軸相切于點C,∴PC⊥x軸,∴四邊形PCOH為矩形,∴,∴,在中,,∴C點坐標為.故答案為.【點睛】題目主要考查隱圓模型,涉及知識點包括直線與圓的位置關系、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等,理解題意,找準當⊙P與x軸相切于點C時,最大,作出相應輔助線是解題關鍵.2.如圖,半圓的半徑為1,AB為直徑,AC、BD為切線,AC=1,BD=2,P為上一動點,則PC+PD的最小值為__________.【答案】【分析】取CO中點M,利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出,利用勾股定理即可計算求解.【詳解】解:連接CO、OP,取CO中點M,連接DM,PM,∵OA=AC=1,AC是切線,∴∠CAO=90°,∴CO=,∴OM=,∴,∠POM=∠COP,∴,∴,∴,∴,過M作MH⊥BD于H,MN⊥AB于N,∴,MN=,∴,∵BD是切線,BD=2,∴∠ABD=90°,∴四邊形MNBH為矩形,∴,BH=MN=,,∴∴,即最小值為,故答案為:.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關鍵是取CO中點M,利用相似三角形的性質(zhì)求解.3.(2021·江蘇·宜興市中考二模)如圖,中,,,,點在邊上,點在邊上,沿將折疊,使點與點重合,連接,點是線段上一動點,當以為半徑的與的一邊相切時,的長為______.【答案】或【分析】設,由折疊的性質(zhì)可得,,則,由勾股定理可以求得,,,,由以為半徑的與的一邊相切,可分為兩種情況,與相切或相切,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:設,由折疊的性質(zhì)可得,,,則由勾股定理得,即,解得即,由勾股定理得∴由勾股定理得由以為半徑的與的一邊相切,可分為兩種情況,與相切或相切∵,∴不可能與相切當與相切,如下圖:則,∴∴∴設,則,則解得,即當與相切時,如下圖:則,∴∴設,則,則解得,即故答案為或【點睛】此題考查了圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,折疊的性質(zhì),熟練掌握相關基本性質(zhì)是解題的關鍵.4.(2021—2022江蘇無錫市九年級期中)已知∠AOB=60°,半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動,與邊OA相切的切點記為點C.⊙P移動到與邊OB相交于點E,F(xiàn),若EF=4cm,則OC的長是_____.【答案】cm【分析】分兩種情況分析,①當P在∠AOB內(nèi)部,根據(jù)⊙P移動到與邊OB相交于點E,F(xiàn),利用垂徑定理得出EF=4cm,得出EM=2cm,進而得出OC的長.②當P在∠AOB外部,連接PF,PC,PC交EF于點N,過點P作PM⊥EF于點M,進而求出即可.【詳解】解:可分兩種情況,①如圖1,當P在∠AOB內(nèi)部,連接PE,PC,過點P做PM⊥EF于點M,延長CP交OB于點N,∵EF=4cm,∴EM=2cm,在Rt△EPM中,PM=cm,∵∠AOB=60°,∴∠PNM=30°,∴PN=2PM=2cm,∴NC=PN+PC=5cm,在Rt△OCN中,OC=NC×tan30°=5×=cm.②如圖2,當P在∠AOB外部,連接PF,PC,PC交EF于點N,過點P作PM⊥EF于點M,由①可知,PN=2cm,∴NC=PC?PN=1cm,在Rt△OCN中,OC=NC×tan30°=1×=cm.綜上所述,OC的長為cm或cm.【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理,運用分類思想進行討論是解決問題的關鍵.5.(2021·山東·濟寧中考二模)如圖,中,,,點E是中點,點D,F(xiàn)分別是,上的點(包括端點),若使為直角三角形的點F恰好有三個,則的長為__________.【答案】2【分析】如圖,當D,E分別為直角頂點時,一定存在兩個點F1,F(xiàn)2滿足條件.以DE為直徑作圓,當圓與直線AB相切時,存在一個點F,使得∠DFE=90°,此時CD=AD=2,觀察圖象可知,滿足條件的CD的值為CD=2.當時,觀察滿足條件的F;當時,觀察滿足條件的F;當點D與A重合時觀察滿足條件的F,觀察滿足條件的F.【詳解】解:如圖,當D,E分別為直角頂點時,一定存在兩個點F1,F(xiàn)2滿足條件.
以DE為直徑作圓,當圓與直線AB相切時,存在一個點F,使得∠DFE=90°,此時CD=AD=2,
∴當CD=2時使為直角三角形的點F恰好有三個;當時,如圖:使為直角三角形的點F只有二個;當時,如圖,使為直角三角形的點F有四個;當時,如圖使為直角三角形的點F只有二個;綜上,當CD=2時使為直角三角形的點F恰好有三個;故答案為:2.【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì),解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題.6.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,點D在邊BC上,CD=1,BD=3.點P是線段AD上一動點,當半徑為1的⊙P與△ABC的一邊相切時,AP的長為___.【答案】或或.【分析】根據(jù)勾股定理得到AB,AD,當⊙P與BC相切時,過P作PH⊥BC于H,求得PH,當⊙P與AB相切時,⊙P與△ABC的AC邊相切時,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BD+CD=4,∴AB=5,在Rt△ADC中,∠C=90°,AC=3,CD=1,∴AD=,當⊙P與BC相切時,點P到BC的距離=1,過P作PH⊥BC于H
則PH=1,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴PH∥AC,∴△DPH∽△DAC,∴,∴,∴PD=,∴AP=;當⊙P與AB相切時,點P到AB的距離=1,過P作PG⊥AB于G,過D作DN⊥AB于N,則PG=1,∵∴∴∵PG⊥AB,DN⊥AB∴GP∥DN,∴△AGP∽△AND,∴,∴,∴AP=,當半徑為1的⊙P與△ABC的AC邊相切,過P作PM⊥AC于M,
∴PM=1,∴,∴,∴AP,綜上所述,AP的長為或或,故答案為:或或.【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵.7.如圖,在△ABC中,,過點A作BC的平行線l,P為直線l上一動點,⊙O為△APC的外接圓,直線BP交⊙O于E點,則AE的最小值為___.【答案】1【分析】如圖,連接CE.首先證明∠BEC=120°,由此推出點E在以O'為圓心,O'B為半徑的上運動,連接O'A交于E′,此時AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D,連接CE.∵APBC,∴∠PAC=∠ACB=60°,∴∠CEP=∠CAP=60°,∴∠BEC=120°,∴點E在以O'為圓心,O'B為半徑的上運動,連接O'A交于E′,此時AE′的值最?。藭r⊙O與⊙O'交點為E'.∵∠BE'C=120°∴所對圓周角為60°,∴∠BOC=2×60°=120°,∵△BO′C是等腰三角形,BC=4,∴O′B=O′C=4,∵∠ACB=60°,∠BCO'=30°,∴∠ACO'=90°∴O'A=,∴AE′=O'A?O'E′=5?4=1.故答案為:1.【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理,點與圓的位置關系等知識,解題的關鍵是添加常用輔助線,構(gòu)造輔助圓解決問題.二、解答題8.(2021—2022江蘇東臺九年級期中)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交⊙O于點D,過點D的切線分別交AB,AC的延長線于E,F(xiàn),連接BD.(1)求證:AF⊥EF;(2)若,CF=2,求⊙O的半徑.【答案】(1)見解析;(2)5【分析】(1)連接,由切線的性質(zhì)和已知條件可證得,則可證得結(jié)論;(2)過作于點,連接,則可證得、,則可求得的長,可求得圓的半徑.【詳解】(1)證明:如圖1,連接,是的切線,且點在上,,,,平分,,,,;(2)解:如圖2,過作于點,連接,,,,,,在和中,同理可得,,,,的半徑.【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理,解題的關鍵是掌握過切點的半徑與切線垂直,注意全等三角形的應用.9.(2021·湖北荊門·中考真題)某海域有一小島P,在以P為圓心,半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁.一海監(jiān)船自西向東航行,它在A處測得小島P位于北偏東的方向上,當海監(jiān)船行駛海里后到達B處,此時觀測小島P位于B處北偏東方向上.(1)求A,P之間的距離AP;(2)若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險?請說明理由.如果有觸礁危險,那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域?【答案】(1);(2)海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域【分析】(1)如圖1,作,交AB的延長線于C,利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC計算即可;(2)作差比較x與r的大小,判斷有危險;以P為圓心,半徑r為作圓,作圓的切線計算∠PBD的大小,從而得到∠CBD的大小,從而判斷即可.【詳解】解:(1)如圖1,作,交AB的延長線于C,由題意知:,.設:則,,解得,經(jīng)檢驗:是原方程的根,且符合題意,;(2),.因此海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險;設海監(jiān)船無觸礁危險的新航線為射線BD,以為圓心,為半徑作圓,過作圓P的切線交于點D,∴∠PDB=90°,由(1)得:∴,∴∠PBD=60°,∴∠CBD=15°,∴海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域.【點睛】本題考查了方位角,特殊角的三角函數(shù)值,解直角三角形,圓的切線的判定,直徑所對的圓周角是直角,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,靈活解直角三角形是解題的關鍵.10.(2021·陜西·西安市中考模擬預測)如圖,是⊙O的內(nèi)接三角形,,為⊙O的直徑,過點作⊙O的切線,與的延長線相交于點.(1)求證:;(2)若⊙O的半徑,,求的長.【答案】(1)見解答;(2)【分析】(1)連接,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得到,再根據(jù)圓周角定理得到,所以,然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論;(2)過點作于,如圖,利用圓周角定理得到,,,則可判斷和都是等腰直角三角形,于是可計算出,利用勾股定理計算出,則,接著證明,利用相似比得到,設,,所以,解方程求出,從而得到的長.【詳解】(1)證明:連接,如圖,∵為的切線,∴,∴,∵,∴,∴;(2)過點作于,如圖,∵為的直徑,∴,∵,∴,,∴和都是等腰直角三角形,∴,,在中,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,設,,∴,解得,經(jīng)檢驗為方程的解,∴.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).11.(2021—2022江蘇錫山九年級期中)如圖1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,點P從點B出發(fā),沿AB邊向終點A以每秒1cm的速度運動,同時點Q從點C出發(fā)沿C→B→A向終點A以每秒3cm的速度運動,P、Q其中一點到達終點時,另一點隨之停止運動.設運動時間為t秒.解答下列問題:(1)若Q在BC上運動,當t=秒時,PQ的長為cm?(2)如圖2,以P為圓心,PQ長為半徑作⊙P,在整個過程中,是否存在這樣的t的值,使⊙P正好與△ABD的一邊(或所在的直線)相切?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)2;(2)存在,t的值為秒或秒或秒【分析】(1)由題意得BP=t,CQ=3t,則AP=6?t,BQ=BC?CQ=8?3t,在Rt△BCP中,由勾股定理得出方程,解方程即可;(2)分情況討論:①若與BD相切,過P作PK⊥BD于K,則∠PKB=90°,PK=PQ=PB?BQ=t?(3t?8)=8?2t,證△PBK∽△DBA,得,即可得出答案;②若與AD相切,Q在BC上,PQ=PA,Q在BC上,則PQ=PA=6?t,在Rt△PBQ中,由勾股定理得出方程,解方程即可;③若與AD相切,當P、Q兩點中Q先到A點時,此時t=;④若與AD相切,當點Q未到達點A時,則PA=PQ,得6?t=t?(3t?8),解得t=2,舍去;即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題意得:BP=t,CQ=3t,則AP=6?t,BQ=BC?CQ=8?3t,∵四邊形ABCD是矩形,∴,在Rt△BCP中,由勾股定理得:,即,解得:或(不符合題意舍去),∴(2)①若與BD相切,過P作PK⊥BD于K,如圖所示:則∠PKB=90°,PK=PQ=PB﹣BQ=t﹣(3t﹣8)=8﹣2t,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°=∠PKB,AD=BC=8,∴BD=10,∵∠PBK=∠DBA,∴△PBK∽△DBA,∴,即,解得:t=,②若與AD相切,Q在BC上,PQ=PA,Q在BC上,如圖所示:則PQ=PA=6﹣t,在Rt△PBQ中,由勾股定理得:t2+(8﹣3t)2=(6﹣t)2,解得:t=,或t=(不合題意舍去),∴t=,③若與AD相切,當P、Q兩點中Q先到A點時,如圖所示:此時t=,∴⊙P的半徑為,④若與AD
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