2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊（配湘教版）教學(xué)課件 5.1.1 角的概念的推廣

第5章三角函數(shù)5.1.1角的概念的推廣課標(biāo)要求1.理解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.2.掌握象限角的概念,并會(huì)用集合表示象限角.3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一任意角1.角的概念:角可以看作是平面內(nèi)

繞著其端點(diǎn)

所成的圖形.

2.角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類類型定義圖示正角一條射線繞著端點(diǎn)以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所成的角

負(fù)角一條射線繞著端點(diǎn)以

方向旋轉(zhuǎn)所成的角

零角不旋轉(zhuǎn)所成的角

一條射線從初始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置時(shí)順時(shí)針名師點(diǎn)睛角的概念推廣后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,對(duì)于一個(gè)給定的角,都有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng),并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.過關(guān)自診1.經(jīng)過1個(gè)小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是

.

2.始邊與終邊重合的角一定是零角嗎?-30°提示

不一定.只有始邊沒做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.

知識(shí)點(diǎn)二象限角與終邊相同的角1.象限角在平面直角坐標(biāo)系中,取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸的非負(fù)半軸,那么,角的終邊落在

,就說這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

常稱為軸線角

2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角用集合表示出來,即

.

第幾象限{β|β=α+k·360°,k∈Z}名師點(diǎn)睛對(duì)于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(diǎn):(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個(gè)整數(shù)值就對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),k取正整數(shù)時(shí),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);k取負(fù)整數(shù)時(shí),順時(shí)針旋轉(zhuǎn);k=0時(shí),沒有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)鈍角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是鈍角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)2.已知0°≤α<360°,且α與600°角終邊相同,則α=

,它是第

象限角.

√××240°三解析

因?yàn)?00°=360°+240°,所以240°角與600°角終邊相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.3.判定下列各角是第幾象限角:(1)-60°;(2)945°;(3)-950°12'.解

(1)因?yàn)?60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因?yàn)?45°=225°+2×360°,所以945°與225°角的終邊相同,而225°角的終邊在第三象限,所以945°角是第三象限角.(3)因?yàn)?950°12'=129°48'+(-3)×360°,而129°48'角的終邊在第二象限,所以-950°12'角是第二象限角.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一任意角的概念【例1】

(多選題)下列說法不正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角不一定是第一、二象限角B.始邊相同,終邊相同的角不一定相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正確;B中始邊相同,終邊相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正確;C中鈍角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正確;D中零角小于180°,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.規(guī)律方法

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.變式訓(xùn)練1(1)經(jīng)過2個(gè)小時(shí),鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)A.60°,720°

B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°B解析

鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是-60°,-720°.(2)下列說法中正確的是(

)A.第一象限角一定不是負(fù)角B.第二象限角大于第一象限角C.第二象限角是鈍角D.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同D解析

因?yàn)?330°角是第一象限角,但它是負(fù)角,所以A不正確.由于120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,顯然390°>120°,所以B不正確.由于480°角是第二象限角,但它不是鈍角,所以C不正確.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同,滿足終邊相同角的表示,正確.故選D.探究點(diǎn)二坐標(biāo)系中角的概念及其表示角度1終邊相同的角的求解【例2】

寫出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1080°內(nèi)與75°角終邊相同的角.解

與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.又k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1

080°內(nèi)的角為435°角和795°角.規(guī)律方法

求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.角度2終邊在確定直線上的角的集合【例3】

寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.解

(1)在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個(gè),即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由圖形易知,在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個(gè),即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}

={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.規(guī)律方法

1.終邊共線的角的寫法:(1)分別寫出每條終邊所代表的角的集合,再取并集,在取并集時(shí)要化簡合并,小心出錯(cuò).(2)在其中一條終邊上找一個(gè)角,然后加上180°的整數(shù)倍.2.終邊落在x軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸、x軸、y軸的非負(fù)半軸、y軸的非正半軸、y軸、坐標(biāo)軸上的角的集合終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.角度3區(qū)域角的求解【例4】

如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解

(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由圖可知,陰影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之間的所有與之終邊相同的角組成的集合,故該區(qū)域可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.變式探究1若將本例4(1)改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?解

在0°~360°內(nèi),陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為150°≤β≤225°,則所有滿足條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.變式探究2若將本例4(2)改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括實(shí)線邊界)的角的集合如何表示?解

在0°~360°內(nèi),終邊落在陰影部分(包括實(shí)線邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°,所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.規(guī)律方法

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步:(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;(3)分別將起始邊界、終止邊界的對(duì)應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.【例5】

已知α是第二象限角:(1)求角

所在的象限;(2)求角2α所在的象限.解

(1)(方法1)∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).(方法2)如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正半軸的上方起,按逆時(shí)針方向,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,(2)∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z),∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.變式訓(xùn)練2若α是第一象限角,則-

是(

)A.第一象限角

B.第一、四象限角C.第二象限角

D.第二、四象限角D學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234561.下列敘述正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角一定是負(fù)角D.第二象限的角比第三象限角小B解析

90°角是三角形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯(cuò);280°角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);-100°角是第三象限角,鈍角是第二象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò).1234562.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)A.315°-5×360° B.45°-4×360°C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°A解析

∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項(xiàng),經(jīng)計(jì)算可知選項(xiàng)A正確.

1234563.-495°角的終邊與下列哪個(gè)角的終邊相同(

)A.135° B.45°C.225° D.-225°C解析

因?yàn)?495°=-2×360°+225°,所以與-495°角終邊相同的是225°角.故選C.1234564.與-2018°角終邊相同的最小正