四川省達(dá)州市普通高中2025屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性測(cè)試試題理含解析

PAGE22-四川省達(dá)州市一般中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次診斷性測(cè)試試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共計(jì)60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再由集合交集的概念即可得解.【詳解】由題意，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)不等式的求解及集合交集的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以解得，故選A.3.已知命題，命題．p是q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】依據(jù)充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不充分；當(dāng)時(shí)，即，即，所以且或且；故不必要；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的推斷以及不等式的基本性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.二項(xiàng)式綻開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該綻開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二項(xiàng)綻開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得；由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求出綻開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)綻開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，又因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得；所以綻開式的通項(xiàng)為，令得，所以綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)解決有關(guān)特別項(xiàng)問(wèn)題.屬于較易題.5.在銳角中，假如，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合三角恒等變換、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，角的對(duì)邊分別是，，．則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合正弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理即可得，即可得解.【詳解】由可得，所以，又，所以即，所以，在中，，又，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，合理轉(zhuǎn)化條件是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.7.如圖，S是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的直徑，，M是線段上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，S重合），N是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與不能（）A.異面 B.相交 C.平行 D.垂直【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合直線間的位置關(guān)系，逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)N不與、重合時(shí)，由異面直線的概念可得直線與異面，故A有可能；對(duì)于B，當(dāng)N與、重合時(shí)，直線與相交，故B有可能；對(duì)于C，由A、B可知，直線與不能平行，故C不行能；對(duì)于D，當(dāng)N與重合時(shí)，直線與垂直，故D有可能.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線間位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是對(duì)概念的嫻熟駕馭，屬于基礎(chǔ)題.8.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線漸近線方程，依據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離是，利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，不妨設(shè)雙曲線漸近線方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離是，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．假如電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合分步乘法、排列組合的學(xué)問(wèn)可得全部基本狀況數(shù)及滿意要求的狀況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同狀況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同狀況；故所求概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，，，的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相反向量將向量的加法轉(zhuǎn)化為向量的減法，利用向量的減法的模的幾何意義求得最小值.【詳解】,令，則為直線上的動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線時(shí)，取得最小值，∵，，∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量線性組合的模的最小值問(wèn)題，涉及向量的線性運(yùn)算，相反向量，向量的加法與減法的轉(zhuǎn)化，向量的模的意義，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.11.是邊長(zhǎng)為1的正三角形，多邊形是正六邊形，平面平面，若六棱錐的全部頂點(diǎn)都在球O上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用球的截面的性質(zhì)：球心在截面圓中的射影是截面的外心，求得球心的位置，利用線面垂直，面面垂直的性質(zhì)作出有關(guān)線段關(guān)系的判定，進(jìn)而計(jì)算得到球的半徑，然后利用球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，外接球的球心O在底面內(nèi)的射影為底面中心，在面中的射影為的中心，連接,交于，則為中點(diǎn)，連接，∵平面平面，平面平面，平面,又⊥平面,∴,∴又∴外接球半徑,∴球的表面積為,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積問(wèn)題，涉及面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，關(guān)鍵球的截面的性質(zhì)：球心在截面圓中的射影是截面的外心，考查空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.12.如圖，函數(shù)的圖象與它在原點(diǎn)O右側(cè)的其次條對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，A是圖象在原點(diǎn)左側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B在圖象上，，．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的最小正周期，，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，由平面對(duì)量的學(xué)問(wèn)可得，代入即可得，再由平面對(duì)量的數(shù)量積可得，即可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期，，所以，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，則，設(shè)，所以，，所以，所以，所以，，，由可得，解得或（舍去），所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及平面對(duì)量的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．把答案填在題中的橫線上13.計(jì)算______．【答案】0【解析】【分析】由題意結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算干脆運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)滿意約束條件則的最大值是______．【答案】10【解析】【分析】依據(jù)滿意約束條件，畫出可行域，將，變形為，平移直線，當(dāng)直線在y軸上截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值求解.【詳解】由滿意約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將，變形為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為10，故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.2024年4月16日，某州全部61個(gè)社區(qū)都有新冠病毒感染確診病例，其次天該州新增這種病例183例．這兩天該州以社區(qū)為單位的這種病例數(shù)的中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差和極差5個(gè)特征數(shù)中，肯定改變的是______（寫出全部的結(jié)果）【答案】平均數(shù)【解析】【分析】由題意結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和極差的概念，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得解.【詳解】中位數(shù)表示將一組數(shù)據(jù)有序排列，處于中間位置的那個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)改變不明確，所以中位數(shù)不肯定發(fā)生改變；平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中全部數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，該州新增病例183例，數(shù)據(jù)之和增加，但數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)依舊為61，所以平均數(shù)肯定發(fā)生改變；眾數(shù)為一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)改變不明確，所以眾數(shù)不肯定發(fā)生改變；方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)改變不明確，所以方差不肯定發(fā)生改變；極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)改變不明確，所以極差不肯定發(fā)生改變.故答案為：平均數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和極差概念的應(yīng)用，牢記概念是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16.已知是奇函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，依據(jù)、探討成立狀況；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化條件為恒成立，令，求導(dǎo)求得的最大值，令即可得解.【詳解】由是奇函數(shù)可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，可知此時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，令，則，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以恒成立，滿意題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與邏輯推理實(shí)力，合理構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（1）求寫出數(shù)列的前6項(xiàng)；（2）求數(shù)列前項(xiàng)中全部奇數(shù)項(xiàng)和奇與全部偶數(shù)項(xiàng)和偶．【答案】（1），，，，，；（2）奇，偶.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式干脆代入即可得解；（2）由題意結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分別求解即可.【詳解】（1）由知：，，，，，．（2）由得，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，奇，偶．【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列的項(xiàng)，考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的推斷及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率分別是．（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）與圓相切于點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合直線的斜率公式可得，化簡(jiǎn)即可得解；（2）由題意結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得切線l的方程為，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意得，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為；（2）由題意圓的圓心為，過(guò)切點(diǎn)和圓心的直線的斜率為，切線l的斜率為1，切線l的方程為即，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，是橢圓C的左焦點(diǎn)．為橢圓C的右焦點(diǎn)，依據(jù)橢圓的性質(zhì)，．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，考查了直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用及橢圓焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)的求解，屬于中檔題.19.某城市9年前分別同時(shí)起先建設(shè)物流城和濕地公園，物流城3年建設(shè)完成，建成后若年投入x億元，該年產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)凈效益為億元；濕地公園4年建設(shè)完成，建成后的5年每年投入見散點(diǎn)圖．公園建成后若年投入x億元，該年產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)凈效益為億元．（1）對(duì)濕地公園，請(qǐng)?jiān)谥羞x擇一個(gè)合適模型，求投入額x與投入年份n的回來(lái)方程；（2）從建設(shè)起先的第10年，若對(duì)物流城投入0.25億元，預(yù)料這一年物流城和濕地公園哪個(gè)產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)及公式：，；當(dāng)時(shí)，，，回來(lái)方程中的；回來(lái)方程斜率與截距，．【答案】（1）；（2）該年濕地公園產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高，理由見解析.【解析】【分析】（1）由散點(diǎn)圖可得應(yīng)當(dāng)選擇模型，令，代入公式可得、，即可得投入額x與投入年份n的回來(lái)方程；（2）由題意將代入即可得物流城第10年的年經(jīng)濟(jì)凈效益；由回來(lái)方程可預(yù)料濕地公園第10年的投入，進(jìn)而可得濕地公園第10年的經(jīng)濟(jì)凈效益；比較大小即可得解.【詳解】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖，應(yīng)當(dāng)選擇模型，令，則，，故所求回來(lái)方程是即；（2）由題意，物流城第10年的年經(jīng)濟(jì)凈效益為（億元）；濕地公園第10年的投入約為（億元），該年的經(jīng)濟(jì)凈效益為（億元）；因?yàn)?，所以該年濕地公園產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高．【點(diǎn)睛】本題考查了非線性回來(lái)方程的求解與應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，嫻熟運(yùn)用公式、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20.已知M，N是平面兩側(cè)的點(diǎn)，三棱錐全部棱長(zhǎng)是2，，，如圖．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線段中點(diǎn)D，分別連結(jié)，由平面幾何的學(xué)問(wèn)、線面垂直的判定平面，平面，進(jìn)而可得平面與平面重合，再由平面幾何的學(xué)問(wèn)可得四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定即可得證；（2）取線段的中點(diǎn)O，連結(jié)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量、平面的一個(gè)法向量，再由即可得解.【詳解】（1）證明：取線段中點(diǎn)D，分別連結(jié)，由條件得，，，，，與是平面內(nèi)兩相交直線，與是平面內(nèi)兩相交直線，平面，平面，平面與平面重合，，，四邊形是平行四邊形，即．平面，平面，平面；（2）取線段的中點(diǎn)O，連結(jié)，由（1）知，平面，，，，，，又，平面，、、兩兩垂直，以過(guò)O平行的直線為x軸，分別以直線為y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，不妨取，得，又平面的一個(gè)法向量，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定及線面垂直的判定及性質(zhì)，考查了利用空間向量求二面角及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得，即可得證；（2）由題意轉(zhuǎn)化條件可得，設(shè)，求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再依據(jù)、或、分類，求得的取值范圍即可得解.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由得，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有微小值，且微小．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以對(duì)，當(dāng)或時(shí)，都有，所以當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由（1）得．所以對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，所以當(dāng)時(shí)，；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與轉(zhuǎn)化化歸思想，合理構(gòu)造新函數(shù)、轉(zhuǎn)化條件是解題關(guān)鍵，屬于難題.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)