全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖表面積和體積1備考試題文含解析

第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積練好題·考點(diǎn)自測1.下列命題正確的是()A.底面是矩形的平行六面體是長方體B.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C.棱臺(tái)的相對側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐2.[2024天津,5,5分]若棱長為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.24π C.36π D.144π3.[2024全國卷Ⅰ,9,5分][文]某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖8-1-1所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為()A.217 B.25 C.3 D.2圖8-1-14.[2024全國卷Ⅰ,10,5分][文]在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為()A.8 B.62 C.82 D.835.[2024浙江,14,4分]已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2π,且它的側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

6.[2024山東,16,5分]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.

7.[2024天津,12,5分][文]已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱長均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

8.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖8-1-2所示).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為.

圖8-1-2拓展變式1.(1)已知圓錐的側(cè)面綻開圖為四分之三個(gè)圓面,設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,有以下結(jié)論:①l∶r=4∶3;②圓錐的側(cè)面積與底面面積之比為4∶3;③圓錐的軸截面是銳角三角形.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.②③C.①③ D.①②③(2)如圖8-1-5,已知正三棱柱的底面邊長為2,高為5,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)動(dòng)身,沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路途的長為.

圖8-1-52.(1)[2024全國卷Ⅰ,12,5分][文]已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π(2)[數(shù)學(xué)探究]如圖8-1-9所示,有兩個(gè)相同的直三棱柱,高為2a,底面三角形的三邊長分別為3a,4a,5a(a>0).用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱,在全部可能的情形中,表面積最小的是一個(gè)四棱柱,則a的取值范圍是圖8-1-93.(1)如圖8-1-12所示,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為()A.23 B.33 C.4圖8-1-12(2)[2024全國卷Ⅲ,12,5分][文]設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.123 B.183 C.243 D.5434.(1)[2024全國卷Ⅰ,12,5分]已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()A.86π B.46π C.26π D.6π(2)[2024全國卷Ⅲ,16,5分][文]已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

5.[2024江蘇,9,5分]如圖8-1-19,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

圖8-1-196.[2024全國卷Ⅰ,3,5分][文]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A.5-14 B.5-7.[2024山東部分重點(diǎn)中學(xué)綜合測試]已知球O是正三棱錐P-ABC的外接球,AB=3,PA=23,E是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)E作球O的截面,則截面圓面積的最小值是.

答案第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表面積和體積1.C依據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知C正確.2.C設(shè)外接球的半徑為R,易知2R=3×23=6,所以R=3,于是表面積S=4πR2=36π,故選C.3.B由三視圖可知,該幾何體為圖D8-1-1所示的圓柱.畫出該圓柱的側(cè)面綻開圖,如圖D8-1-2所示,連接MN,則MS=2,SN=4,則從M到N的路徑中最短路徑為MN=MS2+SN圖D8-1-1圖D8-1-24.C連接BC1,因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B=30°,AB⊥BC1,所以△ABC1為直角三角形.又AB=2,所以BC1=23.又B1C1=2,所以BB1=(23)2-22=225.1解法一設(shè)該圓錐的母線長為l,因?yàn)閳A錐的側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓,其面積為2π,所以12πl(wèi)2=2π,解得l=2,所以該半圓的弧長為2π.設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則2πR=2π,解得R=1解法二設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則該圓錐側(cè)面綻開圖中的圓弧的弧長為2πR.因?yàn)閭?cè)面綻開圖是一個(gè)半圓,設(shè)該半圓的半徑為r,則πr=2πR,即r=2R,所以側(cè)面綻開圖的面積為12πr2=2πR2=2π,解得R=16.2π2如圖D8-1-3,連接B1D1,易知△B1C1D1為正三角形,所以B1D1=C1D1=2.分別取B1C1,BB1,CC1的中點(diǎn)M,G,H,連接D1M,D1G,D1H,則易得D1G=D1H=22+12=5,D1M⊥B1C1,且D1M=3.由題意知G,H分別是BB1,CC1與球面的交點(diǎn).在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP=2,連接D1P,則D1P=D1M2+MP2=(3)2+(2)2=5,連接MG,MH,易得MG=MH=2,故可知以M為圓心,2為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC圖D8-1-37.π4由題意可得,四棱錐底面對角線的長為2,則圓柱底面的半徑為12,易知四棱錐的高為5-1=2,故圓柱的高為1,所以圓柱的體積為π×(128.2+22在直觀圖中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,如圖D8-1-4所示,則在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=2圖D8-1-4而四邊形AECD為矩形,AD=1,∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=22+1.由此可得到原圖形如圖D8-1-5所示.在原圖形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=22+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',∴這塊菜地的面積S=12(A'D'+B'C')×A'B'=12×(1+圖D8-1-51.(1)A設(shè)圓錐的母線長l=1.因?yàn)閳A錐的側(cè)面綻開圖為四分之三個(gè)圓面,所以圓錐的側(cè)面積為34π,又圓錐的底面半徑為r,所以由2πr=34×2π得r=34,所以lr=43,故①正確;圓錐的側(cè)面積與底面積之比為34ππ·(34)2=【方法技巧】圓錐底面圓的周長是圓錐側(cè)面綻開圖中扇形的弧長.(2)13將正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面沿側(cè)棱AA1綻開,再拼接一次,示意圖如圖D8-1-6所示,在綻開圖中,最短距離是六個(gè)矩形形成的大矩形對角線的長度,也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值,記為d.由已知求得矩形的長為6×2=12,寬為5,由勾股定理得d=122+2.(1)A如圖D8-1-7所示,設(shè)球O的半徑為R,☉O1的半徑為r,因?yàn)楱慜1的面積為4π,所以4π=πr2,解得r=2,又AB=BC=AC=OO1,所以ABsin60°=2r,解得AB=23,故OO1=23,所以R2=OO12+r2=(23)2+22=16,所以球O的表面積S=4πR2圖D8-1-7(2)(0,153)所給直三棱柱的底面積為6a2,側(cè)面面積分別為6,8,10.當(dāng)拼成三棱柱時(shí)有三種狀況,如圖D8-1-8①②③所示,其表面積分別為S1=2×6a2+2×(10+8+6)=12a2+48,S2=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S3=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32當(dāng)拼成四棱柱時(shí)有三種狀況,如圖D8-1-8④⑤⑥所示,表面積分別為S4=4×6a2+2×(8+6)=24a2+28,S5=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S6=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.圖D8-1-8由題意得24a2+28<12a2+48,解得0<a<153故a的取值范圍是(0,153)3.(1)A如圖D8-1-9所示,分別過A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,S△AGD=S△BHC=12∴VABCDEF=V三棱錐E-ADG+V三棱錐F-BHC+V三棱柱AGD-BHC=13×24×圖D8-1-9(2)B如圖D8-1-10所示,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以該三角形的外接圓(平面ABC截球面所得)的圓心就是三角形的中心M.連接球心O與點(diǎn)M,則OM⊥平面ABC.所以點(diǎn)D到平面ABC的距離最大時(shí),D為射線MO與球面的交點(diǎn),此時(shí)DM⊥平面ABC.由題意知OD=OB=4,S△ABC=34AB2=93,所以AB=6.連接BM并延長交AC于點(diǎn)E,因?yàn)辄c(diǎn)M為△ABC所以BM=23BE=23,則在Rt△OBM中,OM=OB所以DMmax=OD+OM=4+2=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為13×93×6=183.故選B圖D8-1-10【解后反思】求解該題的關(guān)鍵:(1)求出三棱錐的高的最大值,易知OM⊥平面ABC,明顯高取最大值時(shí),點(diǎn)D肯定在直線OM上;(2)在求△ABC外接圓半徑時(shí),利用了三角形重心的性質(zhì)——到頂點(diǎn)的距離與到對邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1.4.(1)D因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB,因?yàn)椤螩EF=90°,所以EF⊥CE,所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D,連接BD,PD,易證AC⊥平面BDP,所以PB⊥AC,又AC∩CE=C,AC,CE?平面PAC,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥PA,PB⊥PC,因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC為正三角形,所以PA⊥PC,即PA,PB,PC兩兩垂直.將三棱錐P-ABC放在正方體中,如圖D8-1-11所示.因?yàn)锳B=2,所以該正方體的棱長為2,所以該正方體的體對角線長為6,所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=62,所以球O的體積V=43πR3=43π×(62)3圖D8-1-11(2)23π易知半徑最大的球即該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖D8-1-12所示,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則sin∠BPE=ROP=BEPB=13,所以O(shè)P=3R,所以PE=4R=PB2-BE2=32-1圖D8-1-125.123-π2正六棱柱的體積為6×34×22×2=123(cm3),圓柱的體積為π×0.52×2=π2(cm36.C設(shè)正四棱錐的高為h