第4講 消費(fèi)最優(yōu)化

第4講

消費(fèi)最優(yōu)化效用最大化支出最小化效用與支出的對偶消費(fèi)者均衡§1效用最大化任何人都希望最大化自己的效用而非最小，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驗(yàn)命題。從重商主義、重農(nóng)主義、古典經(jīng)濟(jì)學(xué)、新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)到當(dāng)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)，無不接受、繼承和發(fā)展這一命題，效用最大化問題得到了越來越深入的研究。一方面，人們的欲望無止境，其需要沒有滿足的時(shí)候，經(jīng)濟(jì)學(xué)無法對如何滿足人們無止境的欲望問題作出解釋。另一方面，任何人都處在一定的客觀環(huán)境中，客觀條件必然對人們的選擇行為帶來一定限制。比如，人們需要商品，但必須能夠賣得起。人們受到的這些種種限制，雖然影響著人們的選擇，但這些限制卻使得效用最大化問題有了解決途徑——服從約束條件的效用最大化。理性消費(fèi)者正是在服從種種條件限制的情況下,選擇自己最滿意的消費(fèi)方案。這就是效用最大化。一、預(yù)算約束設(shè)消費(fèi)集合為X

R

，價(jià)格體系為p

R

，消費(fèi)者收入為r。消費(fèi)者進(jìn)行選擇時(shí)，要受到兩方面條件限制：客觀條件與經(jīng)濟(jì)條件。客觀條件限制：包括政策、法規(guī)、生理狀態(tài)、自然環(huán)境等非經(jīng)濟(jì)因素對消費(fèi)選擇的制約，這些制約因素劃出了允許消費(fèi)者選擇的范圍，即消費(fèi)集合X

。因此，客觀條件限制可表示為x

X

。經(jīng)濟(jì)條件限制：主要是價(jià)格與收入對消費(fèi)選擇的限制，消費(fèi)者必須在收入許可的范圍內(nèi)選擇。經(jīng)濟(jì)條件限制可表示為px

r。理性消費(fèi)者不能去偷、去搶、去騙，但可以賒賬消費(fèi)或借款消費(fèi)。然而這不是說可免費(fèi)消費(fèi)，賒賬和借款相當(dāng)于擴(kuò)大收入，然后在收入限制下進(jìn)行消費(fèi)選擇，并沒有沒有擺脫收入約束。預(yù)算約束：是指由客觀條件限制(x

X)與經(jīng)濟(jì)條件限制(px

r)給消費(fèi)選擇造成的制約條件。預(yù)算約束可表示為：要求消費(fèi)選擇行為x

必須服從條件“(x

X

)

(px

r)”。(一)預(yù)算集合預(yù)算集合是指由預(yù)算約束確定的消費(fèi)選擇范圍，是消費(fèi)集合X的子集

(

p,

r)={x

X

:

px

r}。超平面

px

=r

叫做預(yù)算線。定理在X

為下有界閉子集的情況下，對任何價(jià)格體系p?0

及收入r，預(yù)算集合

(p,r)都是有界閉集，從而是緊集。

(

p,

r)(預(yù)算集合)證明：既然X

下有界，存在向量a

使得x

a

=(a1,a2,

,a

)對一切x

X

成立。令bi=(r-pa+pi

ai)/pi

(i

=1,2,

,

)。對任何x

(p,r)，既然p?0且x

a

，我們有

0

pi

(xi–ai)

p(x

–a)

r

–pa，從而pi

xi

r

–pa+pi

ai

(i

=1,2,

,

)?？梢?，a

x

bXpx

=r(預(yù)算線)=(b1,b2,

,b

)，這就證明了

(p,r)的有界性。至于

(p,r)的閉性，則從

(p,r)

X

{x

R

:px

r}可知。這樣，

(p,r)是有界閉集。(二)最低生活保障國家為了維護(hù)人民生活，建立了最低生活保障制度。這項(xiàng)制度有利于社會穩(wěn)定，有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)均衡?，F(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。為了保證消費(fèi)者在收入限制下選擇到生活需要品，消費(fèi)者收入就應(yīng)不低于最低收入標(biāo)準(zhǔn)。所謂最低收入標(biāo)準(zhǔn)，是指在既定價(jià)格體系p

下消費(fèi)集合X

中的最低支出I(p)=inf{px:x

X

}。最低生活保障制度是一種保證收入r

不低于I(p)的制度。條件

r

I(p)就叫做最低生活保障或最低收入條件或最低支出條件。定理設(shè)X

為消費(fèi)集合，p

為價(jià)格體系，r

為消費(fèi)者收入。如果X

且r

>I(p)，則

(p,r)

；如果X

是非空下有界閉集，p?0

且r

I(p)，則預(yù)算集合

(p,r)是非空有界閉集。二、馬歇爾需求x是

(p,r)中最好的，而y

(p,r)，因此y

x；同理，x

y。于是，x

~

y。

定理馬歇爾需求集合中任何兩種方案都無差異：(

x,y

D(p,r))(x~

y)。證明：任意給定x,y

D(p,r)。既然D(

p,

r)x

y效用最大化是指消費(fèi)者在預(yù)算約束下進(jìn)行最滿意的消費(fèi)。馬歇爾從效用最大化出發(fā)，導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，即預(yù)算集合中消費(fèi)者認(rèn)為最好的消費(fèi)方案，這個方案就是消費(fèi)者最終決定的消費(fèi)方案，稱為馬歇爾需求(向量)，簡稱為需求(向量)。準(zhǔn)確地講，設(shè)消費(fèi)集合為X

，偏好關(guān)系為

。在價(jià)格體系p和收入r

下，消費(fèi)者的(馬歇爾)需求集合D(p,r)是指

(p,r)中最好的商品向量的全體：D(p,r)={x

(p,r):(

z

(p,r))(z

x

)}。無預(yù)算線差異曲線

(

p,

r)(一)關(guān)于馬歇爾需求的基本問題雖然從效用最大化出發(fā)導(dǎo)出了消費(fèi)者需求，但有一些基本問題必須回答。這些基本問題是：消費(fèi)者需求是否存在？即需求集合D(p,r)是否非空？如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空談。消費(fèi)者需求是否唯一？即在D(p,r)非空的情況下，D(p,r)是否是單點(diǎn)集？如果D(p,r)不是單點(diǎn)集，那么就會引起消費(fèi)選擇上的不確定，會讓消費(fèi)者“眼花繚亂”。是否不把收入用完就能實(shí)現(xiàn)效用最大化？這是一個有關(guān)效用最大化理論是否符合實(shí)際現(xiàn)象的重要問題?；卮疬@些問題，涉及到關(guān)于價(jià)格收入組合的兩個重要集合：

{(

p,

r)

R

R

:

(

p

0)

(r

I

(

p))}

{(

p,

r)

R

R

:

(

p

0)

(r

I

(

p))}集合

叫做價(jià)格收入集合。

o則是

的內(nèi)部。證明的關(guān)鍵：一是D(p,r)

(p,r)

續(xù)偏好在任何有界非空閉集中都有滿足。具體證明留作練習(xí)。由此定理可知：對任何價(jià)格收入組合(p,r)

，理性消費(fèi)者的馬歇爾需求都是存 在的，即D(p,r)

，從而馬歇爾需求確定了一個從價(jià)格收入集 合到消費(fèi)集合的對應(yīng)(取值非空集合的集值映射)D:

X

，稱為 需求對應(yīng)或需求集映。(二)馬歇爾需求的存在性定理設(shè)X

為消費(fèi)集合，p

為價(jià)格體系，r

為收入，

為偏好。如果X

是閉集，

是連續(xù)偏好，則D(p,r)是閉集。如果X

是凸集，

是弱凸偏好，則D(p,r)是凸集。如果X是非空下有界閉集，

是連續(xù)偏好，p

>>0

且r

I(p)，則

D(p,r)是非空的閉集。x

(

p,r

)

{z

X

:z

x}，二是連(三)馬歇爾需求的唯一性定理設(shè)X

為消費(fèi)集合，p

為價(jià)格體系，r

為收入，

為偏好。如果X

是凸集，

是嚴(yán)格凸偏好，則D(p,r)是單點(diǎn)集或空集。如果X

是凸集，

內(nèi)部嚴(yán)格凸，D(p,r)

X

，則D(p,r)是單點(diǎn)集或空集。如果X是非空下有界凸閉集,

是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好,則對任何(p,r)

，D(p,r)都是單點(diǎn)集，即馬歇爾需求唯一存在。如果X

是非空下有界凸閉集,

是連續(xù)的內(nèi)部嚴(yán)格凸偏好,則對任何(p,r)

，只要D(p,r)

X

，D(p,r)就是單點(diǎn)集。證明的關(guān)鍵：如果說D(p,r)中存在兩種不同方案，那么這兩種方案必然無差異，且它們的加權(quán)平均必然比這兩種方案優(yōu)，而加權(quán)平均依然在預(yù)算集合中，這就出現(xiàn)了矛盾：預(yù)算集合中出現(xiàn)了比最優(yōu)方案還要優(yōu)的方案。矛盾的結(jié)論說明，D(p,r)中不可能存在兩種不同的方案，即D(p,r)是單點(diǎn)集或空集。瓦爾拉定律說明，要想實(shí)現(xiàn)效用最大化，必須把錢花光。然而，現(xiàn)實(shí)生活中人們不會把錢花光。這種現(xiàn)象是違背瓦爾拉定律呢，還是效用最大化理論錯了？其實(shí)，貨幣也是商品，也具有效用：流動性偏好。當(dāng)把貨幣加入到所考慮的商品行列時(shí)，瓦爾拉定律說的正是這種現(xiàn)象：為了效用最大化，不要把錢花光。(四)馬歇爾需求的瓦爾拉定律瓦爾拉定律

設(shè)

是X

上無滿足的凸偏好，則對任何(

p,

r)

及x

D(p,r)，都有px

=r

。這一定律可寫作pD(p,r)=r。證明：設(shè)x

D(p,r)，取y

X

使y

x。用反證法，假如px

<r。則在連接x

與y

的直線段上必有一點(diǎn)z

滿足pz

=r，如右圖所示，故z

(p,r)。偏好的凸性保證了z

x，這與x

D(p,r)相矛盾?？梢?，px

<r

不能成立，故只有px

=r。

xyz(五)馬歇爾需求的零階齊次性定理對任何(p,r)

及任何正實(shí)數(shù)t，都有D(tp,tr)=D(p,r)。 證明：這主要是因?yàn)?/p>

(tp,tr)=

(p,r)。

零階齊次性說明，如果所有商品價(jià)格都與消費(fèi)者收入以同樣比例上升，那么消費(fèi)者需求不變，從而消費(fèi)者的滿足程度不變。也就是說，價(jià)格和收入的同比例上漲并不影響人們的選擇和生活水平。消費(fèi)者收入：來自提供生產(chǎn)要素得到報(bào)酬。所有商品價(jià)格同比例上漲，意味著消費(fèi)者收入同比例上升。生產(chǎn)者方面的情況又怎樣呢？以后要講述的生產(chǎn)者理論給出的回答是：所有商品價(jià)格同比例上升并不影響生產(chǎn)選擇，產(chǎn)品供應(yīng)和要素需求不會變化，而生產(chǎn)者的利潤要同比例提高。由此可見，所有商品價(jià)格同比例上升，既不會改變消費(fèi)選擇，也不改變生產(chǎn)選擇，反而使利潤上升，刺激和促進(jìn)了生產(chǎn)。這就是零階齊次性蘊(yùn)含的通貨膨脹效應(yīng)。三、需求映射與需求函數(shù)定理在假設(shè)HC和HP下，對任何(p,r)

，D(p,r)都是單點(diǎn)集。這說明，在假設(shè)HC和HP下，馬歇爾需求集映D

:

X

唯一地確定了一個映射

:

X

：對任何(p,r)

，D(p,r)={

(p,r)}。這個映射

(p,r)就叫做(馬歇爾)需求映射。把

(p,r)寫成分量形式：ξ

(p,r)

(ξ1

(p,r),ξ2

(p,r),

,ξ

(p,r))則就得到了定義在

上的

個函數(shù)ξi

(p,r)(i

1,2,

,

)，稱為消費(fèi)者的(馬歇爾)需求函數(shù)。定理在假設(shè)HC和HP下，需求映射

:

X

具有下述性質(zhì)：效用最大化：對任何(p,r)

及x

X

，若x

(p,r)，則px

>r

；零階齊次性：對任何(p,r)

及實(shí)數(shù)t

>0,都有

(tp,tr)=

(p,r)；瓦爾拉定律：對任何(p,r)

，都有p

(p,r)=r。我們已經(jīng)看到了嚴(yán)格凸偏好在確定消費(fèi)者需求函數(shù)中的重要作用，假設(shè)HC和HP描述的消費(fèi)者理性更強(qiáng)：選擇明確，毫不含糊。四、間接效用函數(shù)馬歇爾需求決定消費(fèi)者的實(shí)際生活水平。名義收入的高低不能真正反映消費(fèi)者實(shí)際生活水平的高低，因?yàn)榕c高名義收入相伴隨的高價(jià)格，可能并不改變消費(fèi)者的選擇：馬歇爾需求的零階齊次性。因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)中不是用名義收入而是用需求向量來代表消費(fèi)者的實(shí)際收入水平(即實(shí)際生活水平)。價(jià)格與收入決定消費(fèi)者的效用水平：間接效用函數(shù)如果消費(fèi)者偏好

是通過效用函數(shù)u

來表達(dá)的，那么需求向量的效用值(即效用水平)便代表著消費(fèi)者的實(shí)際生活水平。需求向量是由價(jià)格和收入決定的，因此價(jià)格與收入決定著消費(fèi)者的實(shí)際生活水平。這就確定了一個定義在價(jià)格收入集合

上的函數(shù)u

:

R

：(

(

p,

r)

)(

u

(

p,

r)

u(

(

p,

r))

)這個函數(shù)u

:

R

叫做消費(fèi)者的間接效用函數(shù)，其中

(p,r)為消費(fèi)者的需求映射。五、應(yīng)用事例現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來分析兩個實(shí)際問題：所得稅與銷售稅的比較，價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較。問題1：所得稅與銷售稅哪一種對消費(fèi)者更為有利？國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收所得稅，另一種是征收銷售稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民更為有利些?問題2：漲價(jià)補(bǔ)貼對消費(fèi)者是否有利？商品漲價(jià)，國家要發(fā)放價(jià)格補(bǔ)貼。一種辦法是控制價(jià)格，不許漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者。那么，哪一種補(bǔ)貼辦法對消費(fèi)者更為有利？為了分析這兩個問題，設(shè)當(dāng)前的市場價(jià)格體系為p，消費(fèi)者收入為r，消費(fèi)者的選擇為x

D(p,r)。(一)所得稅與消費(fèi)稅的比較征收銷售稅：稅率向量為t

=(t1,t2,

,t

)，ti為購買一單位商品i

的稅額。按稅率t

征收銷售稅，相當(dāng)于價(jià)格從p上升到p+t，于是需求從x

D(p,r)變到y(tǒng)

D(p+t,r)，所納的稅額為T=ty。注意y

(p+t,r

)

(p,r)，故y

x。征收所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從消費(fèi)者收入r中扣除銷售稅情況下所繳納的稅額T=ty，則預(yù)算集合變?yōu)?/p>

(p,r-T

)，消費(fèi)者選擇變?yōu)閦

D(p,r-T

)。結(jié)果比較：可以看出，y

(p,r-T

)，因而y

z。這說明：雖然繳納的稅額相同,但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利些。xyxzy

(

p+t,

r)

(

p,

r)

(

p,

r-

T

)(二)價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放辦法比較不許漲價(jià)：在把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放給生產(chǎn)者，不允許商品漲價(jià)的情況下，消費(fèi)者的選擇為x

D(p,r)。允許漲價(jià)：允許商品漲價(jià)，把價(jià)格補(bǔ)貼發(fā)放給消費(fèi)者。漲價(jià)后的價(jià)格體系為q，補(bǔ)貼使得消費(fèi)者收入從r

提高到s，消費(fèi)者的選擇從x

變?yōu)閥

D(q,s)。補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)：補(bǔ)貼后，要保證消費(fèi)者仍可以按照原來的方案進(jìn)行消費(fèi)，即補(bǔ)貼額=qx

px，也即qx

=s。結(jié)果比較：x

(q,s)，x

y。這說明

“允許漲價(jià)，把補(bǔ)貼發(fā)給消費(fèi)者”比“不許漲價(jià)，把補(bǔ)貼發(fā)給生產(chǎn)者”對消費(fèi)者來說更為有利些。

(

p,

r)xxy§2支出最小化任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個先驗(yàn)命題。支出最小化反映的是這樣一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象：當(dāng)消費(fèi)者面臨一種消費(fèi)方案時(shí)，常常會作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越少就越好。這就是說，消費(fèi)者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費(fèi)支出達(dá)到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣相當(dāng)于支付效用。以貨幣換商品，相當(dāng)于以效用換效用。正常人都會有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？因此，支出最小化當(dāng)然也要算作經(jīng)濟(jì)人理性的構(gòu)成部分。準(zhǔn)確地講，支出最小化是指消費(fèi)者在保證不降低生活水平的前提下，謀求消費(fèi)支出達(dá)到最少。?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)，分析了消費(fèi)者的選擇，給出了今天稱謂的?？怂剐枨蟾拍?。一、支出約束現(xiàn)在，我們按照支出最小化的思路，來分析一下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。假定消費(fèi)者目前面臨著一種可以選擇的消費(fèi)方案為x

X

，商品的價(jià)格體系為p。這樣，消費(fèi)方案x

的支出便為px。消費(fèi)者是否要選定x作為消費(fèi)行動呢？這取決于是否還有其他不比x差的可行消費(fèi)方案y能使支出(py)變得更少。如果這樣的方案y

存在，那么消費(fèi)者不會選擇x。至于是否選擇y

作為行動方案，則又取決于是否存在不比x差而支出比y還少的其他可行消費(fèi)方案z。這種選擇過程要一直進(jìn)行下去，直至選不出其他不比x

差而支出能進(jìn)一步減少的可行方案。可以看出，每次選擇都在集合E(x)={y

X

:y

x}中進(jìn)行。該集合E(x)就稱為消費(fèi)者在方案x處的支出集合，條件“y

E(x)”叫做x

處的支出約束。xE(x)支出集合X其中u

:X

R

為消費(fèi)者的效用函數(shù)。顯然，e(p,x)

e?(p,u(x))。(一)支出函數(shù)

X

,

e(

p,

x)

min{pz

:

z

E(x)}

(

p,

x)

R

支出函數(shù)e(p,x)正表達(dá)了支出最小化的 意義：與x

相比，在不降低生活水平的 條件下，尋求支出最小化。及任何x,y

X

，只要x

~

y，就有e(p,x)=e(p,y)。及任何x

X

，e(p,x)+e(q,x)

e(p+q,x)。，x

X

及任何實(shí)數(shù)t

>0，都有e(t

p,x)=te(p,y)。對任何x

X

，e(p,x)都是價(jià)格p

的凹函數(shù)。效用水平支出函數(shù)：

支出函數(shù)

e

:

R

X

RE(x)xpz

e(p,

x)

X

,

e(p,x)

I

(p)。(

p,

x)

R

對任何對任何p

R對任何p,q

R對任何p

R

e?

:

R

R

R

(

p,U

)

R

R,

e?(

p,U

)

min{

pz

:

(z

X

)

(u(z)

U

)}

當(dāng)e(p,x)=I(p)時(shí)，支出達(dá)到消費(fèi)集合上的最小支出，再也沒有變小的余地。此時(shí)，便可能出現(xiàn)這樣的情況：存在x,y

X

使得x

y但e(p,x)=e(p,y)。這意味著E(x)中的最小支出點(diǎn)x*(即px*=e(p,x))和E(y)中的最小支出點(diǎn)y*都在

X上，如下圖所示。在點(diǎn)x處，本來x*是最優(yōu)選擇，但它位于消費(fèi)集合邊界，失去了“最優(yōu)”意義：同(二)最低支出限制樣支出下，還有更優(yōu)的消費(fèi)方案y*。鑒于這個原因，通?？紤]支出最小化問題時(shí)，總是要求e(p,x)>I(p)。這個條件叫做最低支出限制，符合該條件的消費(fèi)方案的全體是集合X

(p)

{x

X

:e(p,x)

I

(p)}。定理

對于理性消費(fèi)者(X,

)

來說，在任何價(jià)格p>>

0

下，對任何x,

y

X(

p)，都有(x

y)

(e(p,

x)

e(p,

y))這就是支出函數(shù)的效用性質(zhì)。x

y

x無差異曲線px

I(p)

py

e(p,

x)

I(p)

e(p,

y)pyx

y

X在既定的價(jià)格體系p下，對于x

X

，支出集合E(x)中的最小支出點(diǎn)x*(即x*

E(x)且px*=e(p,x))所代表的消費(fèi)方案，就叫做價(jià)格體系p

下方案x

處的?？怂剐枨?向量)。用H(p,x)表示價(jià)格下方案x

處的希克斯需求向量的全體，稱為價(jià)格p

下方案x

處(或效用水平[x]上)的希克斯需求集合，即H(

p,

x)

=

{z

E(x):

(

y

E(x))(

pz

py

)}對任何p>>0及任何x,y

X

，只要x

~

y，就有H(p,x)=H(p,y)。對任何p>>0及任何x

X

，若H(p,x)

，則pH(p,x)=e(p,x)。?？怂剐枨蠓▌t：對任何價(jià)格向量p,q

及任何z

X

，都有(

x

H(

p,

z))(

y

H(

q,

z))((

p

q)(x

y)

0)即希克斯需求與商品價(jià)格之間呈反向變動關(guān)系。證明：注意，x,y

E(z)。x

H(p,z)說明px

py；y

H(q,z)說明qx

qy。因此，px

qx

py

qy，即(p

q)(x

y)

0。二、?？怂剐枨?一)?？怂剐枨蟮拇嬖谛詘p及p>>0意味著集合B

={z

X

:(z

x)

(pz

px)}是非空有界閉集。注意，函數(shù)pz

(z

X

)在E(x)上的最小值與在B

上的最小值一致，且pz為連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)在有界閉集上必有最小值。故?？怂剐枨蟠嬖?。where

H

H(p,

x)H?？怂剐枨蟮拇嬖谛允且粋€基本問題。如果說?？怂剐枨蠹螲(p,x)是空集，那么支出最小化理論便是空談。存在性定理如果消費(fèi)集合X

R

是下有界非空閉子集，并且偏 好關(guān)系

連續(xù)，則對任何價(jià)格向量p?0及任何消費(fèi)方案x

X，都 有H(p,x)

。因此，理性消費(fèi)者的希克斯需求必然存在。證明：X

為下有界非空閉集B(二)?？怂剐枨蟮奈ㄒ恍韵？怂剐枨蟮奈ㄒ恍砸彩且粋€基本問題。如果唯一性成立，則消費(fèi)從支出最小化角度的選擇便是明確的。唯一性定理設(shè)消費(fèi)集合X

是凸集，偏好

連續(xù)且嚴(yán)格凸，則對 于服從最低支出限制的任何價(jià)格向量p

和消費(fèi)方案x

X

，?？?斯需求集合H(p,x)中最多只有一種消費(fèi)方案。反證法：假如存在y

,y

H(p,x),y

y

,如右圖所示,則py

=py

=e(p,x)>I(p),從而存在w

X

滿足pw

<py

。這樣，w

x。

的嚴(yán)格凸性保證了y

x。

的連續(xù)性保證了在連接w

和y

的線段上存在z

滿足：z

~

x且pz

<py=py

。這與y

H(p,x)相矛盾！xy

H(

p,

x)y

H(

p,

x)wzy=–1(

y

+y

)2(三)希克斯需求的保效性保效性定理設(shè)消費(fèi)集合X

是凸集，偏好

連續(xù),則對服從最低支出限制的任何價(jià)格 向量p

和消費(fèi)方案x

X

，?？怂剐枨蠹?H(p,x)中的每種方案都與x無差異。反證法：假如存在y

H(p,x)使y

x。則存在w

X使得pw<py且w

x。x

Xy

H(

p,

x),

y

xz

x,

pz<pypw

xpw<py偏好

的連續(xù)性保證了在連接w和y的線段上，存在一點(diǎn)z

使得z~

x且pz

<py。這與y

H(p,x)相矛盾！

條件分析：p?0的要求在希克斯需求存在性中不可少，最低支 出條件e(p,x)>I(p)在希克斯需求唯一性不可少。這樣，由p?0 和e(p,x)>I(p)確定的價(jià)格-方案組合具有特別重要的意義。鑒于 此，我們用

來專門表示這種價(jià)格-方案組合的全體，即

=

{(

p,

x)

R

X

:

(

p

?

0)

(e(

p,

x)>

I(

p))}三、?？怂剐枨笥成湎？怂剐枨蟮拇嬖谛院臀ㄒ恍员砻?，在假設(shè)HC

和偏好關(guān)系連續(xù)、嚴(yán)格凸的條件下，?？怂剐枨蟠_定了一個映射h:

X

如下：(

(

p,

x)

)(

H(

p,

x)={h(

p,

x)})即h(p,x)就是H(p,x)中的那

個唯一的方案。稱這個映射h:

X

為消費(fèi)者的希克斯需求映射。該映射的每一個分量函數(shù)hi(p,x)稱為消費(fèi)者的?？怂剐枨蠛瘮?shù)(i

=1,2,

,

)。顯然，?？怂剐枨笥成渚哂邢率鋈龡l性質(zhì)：零階齊次性：對任何(p,x)

及實(shí)數(shù)t

>0，都有h(tp,x)=h(p,x)。效用不變性：對任何(p,x)

，h(p,x)~

x

。反向變動性：對任何(p,x),(q,x)

，(p

q)(h(p,x)

h(q,x))

0。即價(jià)格與需求反向變動。四、效用與支出的對偶出發(fā)來解決。鑒于這個原因，今后我們直接從效用最大化出發(fā)來研究消費(fèi)者需求。凡提到需求，如無特殊說明，均指馬歇爾需求。z從表面上看，效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化問題，支出最小化的?？怂剐枨笠矝]有考慮效用最大化問題。其實(shí)并非如此，效用最大化與支出最小化是相互對偶的問題。對偶定理設(shè)消費(fèi)集合X

是R

的下有界非空凸閉子集，

是無滿足的連續(xù)凸偏好。對任何(p,r)

和(p,x)

，都有：(

z

D(p,r))(z

H(p,z))，即效用最大時(shí)支出也最小；(

z

H(p,x))(z

D(p,e(p,x)))，即支出最小時(shí)效用也最大；如果

還嚴(yán)格凸,

則

(

p,

r)=

h(

p,

(

p,

r))且h(

p,

x)=

(

p,

e(

p,

x))。對偶定理說明，馬歇爾需求與?？怂剐枨笠恢隆＜热蝗绱?，消費(fèi)最優(yōu)化問題就既可以從效用最大化出發(fā)，也可以從支出最小化§3消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡是指消費(fèi)者的效用最大化狀態(tài)。因此，也可以把馬歇爾需求向量x*

D(p,r)叫做消費(fèi)者的均衡向量。問題是：怎樣才能實(shí)現(xiàn)均衡？使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。為此，我們將根據(jù)具體情況，要使用如下一些假設(shè)中的一個或幾個：(X,

)是理性消費(fèi)者，即X

滿足假設(shè)HC，

連續(xù)、凸、無滿足；

的效用函數(shù)u:X

R

滿足假設(shè)HU；消費(fèi)者均衡x*

在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，即x*

D(p,r)

X

。假定價(jià)格體系為p>0，消費(fèi)者收入為r。利用效用函數(shù)u(x)，效用最大化問題可表述為：max

u(x)

s.t.

px

r。在需求服從瓦爾拉定律的情況下，不等式約束“px

r”可用等式約束“px

=r”替代，從而效用最大化問題變得更加明確：max

u

(

x)

s.t.

px

r在需求服從瓦爾拉定律的情況下，效用最大化問題可用拉格朗日乘數(shù)法求解。首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,

)=u(x)+

(r–px)；然后，設(shè)x*

X

是效用最大化問題的解；最后，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在實(shí)數(shù)

使得L(x,

)在(x*,

)處的各個一階偏導(dǎo)數(shù)全為零：

叫做效用最大化邊一、實(shí)現(xiàn)均衡的一階條件

ui

ui

(x*)

pi(i

1,2,

,

)*2

2

p

x*

p

x

r*1

1px*

p

x

px*

r這就是說，消費(fèi)者的均衡向量x*

必然是方程組

u

(x*)

p

的

解。鑒于這個原因，我們把方程組

px*

r

u

(x*)

p際方程或邊際等式(marginalequation)，其中實(shí)數(shù)

叫做拉格朗日乘數(shù)，簡稱拉氏乘數(shù)，u

(x*)

u(x*)

(u1

(x*),

u2

(x*),

,u

(x*))。邊際方程的重要作用在于它表達(dá)了消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的一階條件：不但是必要條件，而且是充分條件。證明：在定理的條件下，效用最大化只能在預(yù)算線上實(shí)現(xiàn)，于是根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可知，存在實(shí)數(shù)

使得u

(x*)=

p

且px*=r?，F(xiàn)在，我們只需證明拉氏乘數(shù)

>0。注意，定理的條件保證了u

(x*)

0。而x*

D(p,r)

X

又保證了u

(x*)

0，這是因?yàn)閷θ魏蝬

X，若x

<x*，則px

px*=r，從而u(x)

u(x*)。由此便可推知u

(x*)

0。結(jié)果u

(x*)>0，故

>0。定理(必要條件)設(shè)理性消費(fèi)者(X,

)的效用函數(shù)u:X

R

在X

內(nèi) 部可微并且(

x

X

)(u

(x)

0)。對任何價(jià)格向量p

>0、收入r

及 消費(fèi)向量x*

X

，若x*

D(p,r)(即x*是消費(fèi)者的均衡)，則存在 實(shí)數(shù)

>0

使u

(x*)=

p

且px*=r，即(x*,

)滿足邊際方程：(一)一階必要條件

ui

ui

(x*)

pi(i

1,2,

,

)*

*

*1

1

2

2

px*

p

x

p

x

p

x

r1.必要條件的序數(shù)效用意義：替代法則邊際替代率：在消費(fèi)方案x

處，商品i

對商品j

的邊際替代率是指 當(dāng)商品i

的消費(fèi)增加一單位時(shí)，在保持效用水平不變的情況下商 品j

的消費(fèi)減少量。即MRSi,j=

(dxj/dxi)=ui

(x)/uj

(x)。市場交換率：商品i

對商品j

的市場替代率是指市場上一個單位的商品i

所能換得的商品

j

的數(shù)量,

即商品i

與商品j

的價(jià)格比

pi

/pj。替代法則：均衡時(shí)，任何兩種商品之間的邊際替代率都等于市場交換率。

j

j*

*

*

u

(x*)

p

ui

(x*)

pi

1

1

2

2

px*

p

x

p

x

p

x

r(i,

j

1,2,

,

)

增加i

的消費(fèi)，減少j的消費(fèi)，方可提高效用。ui

(x)

piu

j

(x)

p

jui

(x)

pi

減少i

的消費(fèi)，增加j

的消費(fèi)，方可提高效用。u

j

(x)

p

j2.必要條件的基數(shù)效用意義：邊際法則如果把邊際方程中的效用函數(shù)理解為基數(shù)效用函數(shù)，則邊際方程蘊(yùn)含著更深刻的意義：邊際效用均等法則。邊際效用均等法則：均衡時(shí)，把一單位貨幣收入不論用于購買 哪一種商品以增加消費(fèi)量，其所增加的效用都是一樣的；拉格 朗日乘數(shù)

就是均衡時(shí)貨幣收入的邊際效用。

p

p

p**2

2*1

121u

(x*)u

(x*)u

(x*)

1

2

px*

p

x

p

x

p

x

r

ui

(x)

u

j

(x)

增加i

的消費(fèi)，減少j

的消費(fèi)，方可提高效用。pi

p

jui

(x)

u

j

(x)

減少i

的消費(fèi)，增加j

的消費(fèi)，方可提高效用。pi

p

j(二)一階充分條件定理(充分條件)設(shè)消費(fèi)集合X

是R

的凸子集，效用函數(shù)u(x)連 續(xù)、擬凹且在X

內(nèi)部連續(xù)可微。則對任何價(jià)格向量p

>0、收入r 及消費(fèi)向量x*

X

，若存在實(shí)數(shù)

>0

使u

(x*)=

p

且px*=r，則

x*

D(p,r)(即x*是消費(fèi)者的均衡)。證明.首先注意，u(x)弱擬凹(連續(xù)+擬凹

弱擬凹)。要證明x*

D(p,r)，就是要證明(

x

X

)((px

r)

(u(x)

u(x*)))。第一步，先證明(

x

X

)((u(x)

u(x*))

(px

r))。為此，任意給定x

X

使得u(x)

u(x*)。u的弱擬凹性保證了對任何t

(0,1)，都有u(tx+(1-t)x*)

u(x*)。于是，lim

u(tx

(1

t)

x*)

u(

x*)

lim

u(

x*

t(

x

x*))

u(

x*)*i

1t

0

t

tt

0

i

ui

(

x*)(

xi

x

)

(

px

px*)

0

既然

>0，因此px

px*=r。第一步的結(jié)論得證。由于p

>0，因此pw

<px*=r。根據(jù)第一步的結(jié)論，便知u(w)<u(x*)<u(x

)。u(x)的連續(xù)性保證了存在t

(0,1)使得u(tw+(1

t)x

)=u(x*)(連續(xù)函數(shù)介值定理)。記z

=tw

+(1

t)x

，則我們有：pz

=

t

pw+(1

t)

px

<

tr+(1

t)

r=r可見，u(z)=u(x*)且pz

<r。再根據(jù)1.充分條件的證明第一步的結(jié)論，可知pz

r，這與pz

<r

相矛盾！矛盾的結(jié)果表明反證法的假定是錯誤的，故只有(

x

X

)((u(x)>u(x*))

(px

>r))成立。這一結(jié)果意味著(

x

X

)((px

r)

(u(x)

u(x*)))，定理得證。第二步，再證明(

x

X

)((u(x)>u(x*))

(px

>r))。用反證法，假定存在x

X使得u(x

)>u(x*)但px

r。從x*

X

知，存在w

X

使w

<<x*。Xx

wzpx

rx

2.充分條件的意義p1

p2

p

那么x*

就是消費(fèi)者在價(jià)格p

和收入r下的均衡。那么x*

就是消費(fèi)者在價(jià)格p

和收入r下的均衡。邊際效用均等法則：如果在x*處，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費(fèi)量，其所增加的效用都是一樣的，即u1

(x*)

u2

(x*)

u

(x*)(i,

j

1,2,

,

)u