實(shí)戰(zhàn)演練08 立體幾何二面角的問(wèn)題（5大?？键c(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)實(shí)戰(zhàn)演練08立體幾何二面角的問(wèn)題①定義法②三垂線定理③向量法④折疊背景下的二面角問(wèn)題⑤二面角中的探索性、開放性問(wèn)題一、二面角定義1、二面角的定義①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個(gè)二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).3、二面角的平面角①自然語(yǔ)言在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.4、二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.二、三垂線法1、方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角2、具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。三、射影面積法1、方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。2、以多邊形為三角形為例證明，其它情形可自證。ABDCABDC證明：如圖，平面內(nèi)的△ABC在平面的射影為△，作于D，連結(jié)AD.于，，在內(nèi)的射影為.又，（三垂線定理的逆定理）.為二面角—BC—的平面角.設(shè)△ABC和△的面積分別為S和，，則..2.點(diǎn)在平面內(nèi)射影位置的確定立體幾何中經(jīng)常遇到由一個(gè)點(diǎn)向一個(gè)平面作垂線的問(wèn)題，垂線的位置由這個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位置來(lái)確定，因此確定這個(gè)點(diǎn)的射影位置是解題的關(guān)鍵.一般來(lái)說(shuō)，可以直接過(guò)這個(gè)點(diǎn)作平面的垂線，然后通過(guò)證明或計(jì)算說(shuō)明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結(jié)論進(jìn)行確定.(1)如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上.(2)經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線與這個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在直線.四、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；①定義法一、解答題1．（23-24高一下·甘肅白銀·期末）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，底面，，，且，.(1)證明：平面平面.(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）只需根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)一步結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；（2）首先說(shuō)明是二面角的平面角，進(jìn)一步結(jié)合解三角形知識(shí)即可求解.【詳解】（1）由于底面是直角梯形且，所以由得，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，而，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以是二面角的平面?由得，而，即，所以在梯形中，由可得，所以在直角中，，而，所以，即二面角的大小為.2．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理即可得證；（2）設(shè)，首先證明即為二面角的平面角，再由解三角形的知識(shí)求解即可得答案.【詳解】（1）在正方體，且，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面,∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，設(shè)，連接，∴，，∵中，，∴為等腰三角形，∴，∴即為二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值為.

3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古興安盟·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且.(1)求直線與平面所成角的余弦值；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可證得平面，所以為直線與平面所成的角，然后在中求解即可；（2）連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則可得是二面角的平面角，然后在中求解即可.【詳解】（1）在正方形中，有，因?yàn)槠矫婷?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，在中，，在中，，，所以直線與平面所成角的余弦值為；（2）連接交于點(diǎn)，在正方形中，有，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，則是二面角的平面角，在中，，則，同理可求得，在中，，，因?yàn)椋?，則二面角的大小為.4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由線面垂直得到，由三線合一得到，從而得到線面垂直，證明出四邊形為平行四邊形，得到，證明出結(jié)論；（2）作出輔助線，證明出為二面角的平面角，結(jié)合（1）得到，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的余弦值，進(jìn)而得到線面角的正弦值.【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∵平面，，，為的中點(diǎn)，，∵，平面，故平面，由，分別為，的中點(diǎn)，得且，從而，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結(jié)，由，，得，由，，得≌，由，得，因此為二面角的平面角，由（1）得平面，平面，所以，由，，，得，故，由余弦定理得，，所以.5．（23-24高一下·廣西北海·期末）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，從而得，接著進(jìn)一步可證平面，再根據(jù)面面垂直判定定理即可得證.（2）過(guò)作的垂線，垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為，連接，接著證明平面即可得到為二面角的平面角，根據(jù)已知條件求出的余弦值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，所以，所以，又、平面，所以平面，又平面，所以因?yàn)槭堑冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫妫谥?，過(guò)作的垂線，垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為，連接，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，又平面平面，所以，在中，，又，所以，解得，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角常用方法有（1）定義法：在棱上取點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別在二面角兩半平面內(nèi)引出兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.（2）垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，交線所成的角即為二面角的平面角.②三垂線定理一、解答題1．（23-24高一下·廣西南寧·期末）如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．

(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理證得，再根據(jù)，即可證出.（2）取的中點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，由幾何關(guān)系證明為二面角的平面角，再由勾股定理和等面積求出即可求出結(jié)果.【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)，平面，平面，平面，平面，.（2）

根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，且，又平面，平面，平面，而平面，，又，平面，所以平面，平面，，即為二面角的平面角，所以在中，，則，由等面積可得，所以，則，即二面角的余弦值為.2．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，在三棱柱中，面為正方形，面為菱形，，平面平面.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得證.（2）過(guò)作于，過(guò)作于，連接，利用線面垂直的性質(zhì)定理得出為二面角的平面角，在中直接求解即可.【詳解】（1）由菱形可得，平面平面，平面平面，又正方形中，平面，又平面，，，平面，平面.（2）過(guò)作于，則平面.過(guò)作于，連接，因平面，則，又平面，，故平面，又平面，所以，故為二面角的平面角，在中，設(shè)，，，，，，.即二面角的余弦值為.3．（23-24高一下·四川涼山·期末）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的菱形，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連結(jié)，先證明平面，進(jìn)而證明平面平面；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可證明平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可證明平面，從而得到即為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑危詾榈闹悬c(diǎn)，，又，所以，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在平面中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，在中，因?yàn)椋?，因?yàn)樗?，在中，，又平面，平面，所以，所以，所以二面角的正切值?③向量法一、解答題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．(1)求證：平面平面AEF；(2)當(dāng)，，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明即可；（2）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值.【詳解】（1）為長(zhǎng)方體

平面平面∴

又，且，平面，平面平面AEF

平面平面（2）依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為．則，即令，則．．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為2．（23-24高三上·廣東江門·開學(xué)考試）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，.(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得線線垂直，即可求證線面垂直，進(jìn)而可求解線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接為等腰三角形，.，.，平面平面，平面，所以.（2），.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為2軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.設(shè)平面的法向量n=x,y,z，，令平面的法向量為.，設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.3．（2024·河南·二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，為的中點(diǎn)，且.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，則可證得四邊形是平行四邊形，得，而，可得，再由為等邊三角形，，從而可證得平面，得，再結(jié)合證得為等邊三角形，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，故，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫妫矫?，所以，所以為等腰三角形，又，所以為等邊三角形，所?（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示則，所以設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，令，則，由，令，則，所以，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值為.4．（2024·四川樂(lè)山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線面垂直得出面面垂直，再應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直；（2）根據(jù)線面垂直建系，應(yīng)用空間向量法求出二面角的余弦，最后應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系得出正弦.【詳解】（1）連結(jié)，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，．，．點(diǎn)為線段中點(diǎn)，．為菱形，平面，平面又平面，平面平面，在平面上的射影為，為直線與平面所成的角，即．在中，，．則．又平面平面，平面．（2）由（1）知平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，則設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則即取，則．即取則．設(shè)二面角大小為，則．，二面角的正弦值為．5．（24-25高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面，，，，.

(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，結(jié)合空間向量夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）底面平面，，，又平面，平面；（2）令，取的中點(diǎn)，由，，則，又，故三角形是正三角形，，又底面平面，在中，，所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，即，所以，即二面角的余弦值為.6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖,在三棱臺(tái)中,和都為等邊三角形,且邊長(zhǎng)分別為2和4，G為線段AC的中點(diǎn),H為線段BC上的點(diǎn),平面.(1)求證:點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行即可得證；（2）空間向量法求二面角余弦值.【詳解】（1）連接，設(shè)連接，三棱臺(tái)，則，又∴四邊形為平行四邊形，則

又平面，平面，平面平面∴，∵四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）且都在面，則面，又為等邊三角形，則，又（1）知，則面，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量，則，令解得，

設(shè)平面的法向量，則，令，解得，

設(shè)二面角的平面角為，

，

又因?yàn)闉殇J角，所以.④折疊背景下的二面角問(wèn)題一、解答題1．（23-24高三上·福建福州·期中）在圖1中，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，．

(1)證明：平面ABC．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）用勾股定理逆定理證明后由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.【詳解】（1）由題意，又，，，而，所以，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面；?）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，顯然是平面的一個(gè)法向量，，所以二面角的余弦值為.

2．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可.（2）找到對(duì)應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，，所以所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，的中點(diǎn)分別為，，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）連接，，且延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設(shè)，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊中，是邊上的高，，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，如圖2.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）先證得平面，得到，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)榉謩e是和邊的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：邊長(zhǎng)為4的等邊中，是邊上的高，即，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫妫傻闷矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，則二面角的余弦值為.4．（22-23高一下·江西宜春·期末）如圖（1），六邊形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿進(jìn)行翻折，得到的圖形如圖（2）所示，且.

(1)求證：平面.(2)求二面角的余弦值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可證明，，然后證明平面ADEF即可；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得就是二面角的平面角，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，

則，可得，連接AC，則，因?yàn)?，可得，由，可得，且，平面，所以平?（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，且，，CE,CD?平面，可得平面，且平面，可得，又，可知就是二面角的平面角，在，可得，所以二面角的余弦值為.5．（23-24高三上·河北·期末）如圖1，已知正三角形邊長(zhǎng)為4，其中，現(xiàn)沿著翻折，將點(diǎn)翻折到點(diǎn)處，使得平面平面為中點(diǎn)，如圖2.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)O為BC的中點(diǎn)，結(jié)合圖形翻折的性質(zhì)推出平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)線段長(zhǎng)，即可求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間角的向量求法，即可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接與，正三角形中，，所以，則四邊形為等腰梯形，故；由翻折性質(zhì)可得，,則≌，是的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面平面，平面平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正的邊長(zhǎng)為，則為正三角形，邊長(zhǎng)為3，則，，連接，在中，由勾股定理得，，則，，異面直線所成角的取值范圍為，異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）得，，，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為.6．（23-24高三上·廣東汕頭·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，將沿翻折至，得四棱錐，設(shè)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)Q，可得四邊形為平行四邊形，則，再由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)Q，連接,則有，且，又、分別為邊、的中點(diǎn)，則，且，故，且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．.（2）取中點(diǎn)O，中點(diǎn)G，連接，在中，易得，所以，則，又平面平面，且交線為，平面，所以平面，則兩兩垂直，故以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，則，，，，由為中點(diǎn)，故，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，故，易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．⑤二面角中的探索性問(wèn)題一、解答題1．（24-25高三上·江西·開學(xué)考試）已知四棱錐分別為的中點(diǎn)，平面.(1)若，證明：平面；(2)若，二面角的大小為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得，且，即可得到，再由線面平行的判定定理，即可證明；（2）方法一：作交，連接，由二面角的定義可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入計(jì)算，即可求解；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，又，且，，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，與共面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）法1：如圖，作交于，連接.由得與全等，所以，所以與全等，所以，且，是二面角的平面角，，又因?yàn)?，所以，所以，在中，，由，解得，所以，所?法2：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，所以，，，設(shè)面的法向量為，由，令，可得，設(shè)面的法向量為，由，令，可得.設(shè)二面角的大小為，則，所以，.2．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

(1)證明：平面.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在實(shí)數(shù)，理由見解析【分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到，再由勾股定理逆定理得到，從而得到線面垂直；（2）作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由二面角的余弦值得到方程，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)?，，平面，且，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，平面，且，所以平?（2）取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以為等邊三角形，故⊥，又平面，平面，所以，，故，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則A0,0,0，，，，故，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)面與面所成的銳二面角為，則，整理得，解得或（舍去）.故存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）先求得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來(lái)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度.【詳解】（1）依題意，所以，所以，所以，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面.（2）由（1）可知兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，平面的法向量為，設(shè)平面FAC的法向量為，則，故可設(shè)，依題意，二面角的大小為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知平行四邊形如圖甲，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且，連接得三棱錐，如圖乙.(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、P0,0,1、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，取，則，，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且.5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面