專題06 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式（4大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．三、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；四、極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】1、恒成立和有解問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．一、單選題1．（2024·河北保定·三模）曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線的切線方程，結(jié)合三角形面積公式計算即可.【詳解】由，得，則，，所以曲線在點處的切線方程為.令，得，令，得，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故選：C2．（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)則在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求出，再根據(jù)點斜式得出直線方程.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以，．則所求的切線方程為，即．故選：B.3．（2024·河北保定·三模）已知二次函數(shù)（且）的圖象與曲線交于點P，與x軸交于點A（異于點O），若曲線在點P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解直線l的斜率，即可根據(jù)垂直關(guān)系得，結(jié)合，即可求解.【詳解】易知，設(shè)，聯(lián)立與可得，故，由得，所以，，因為，所以，即，又，所以.故選：B.4．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實數(shù)（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)切線的斜率的幾何意義可知，求出切點，代入切線即可求出.【詳解】設(shè)切點為因為切線，所以，解得（舍去）代入曲線得，所以切點為代入切線方程可得，解得.故選：D.5．（2024·湖南長沙·二模）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用已知條件求出切點的橫坐標(biāo)，從而得到，利用基本不等式即可求解.【詳解】由于直線與曲線相切，設(shè)切點為，且，所以，則切點的橫坐標(biāo)，則，即.又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為1.故選：D6．（2024·貴州黔東南·二模）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，于是結(jié)合基本不等式可得的最大值.【詳解】由題，構(gòu)造函數(shù)，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.所以的最大值為0.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.7．（2024·福建泉州·二模）在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個極值點，若，則t的值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用韋達定理求得，并根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，代入條件等式，即可求解.【詳解】，所以是方程的兩個實數(shù)根，則，，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，且所以，即，得.故選：C8．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B．． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡得到，從而得到，根據(jù)函數(shù)極大值點的個數(shù)得到方程，求出答案.【詳解】，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，故，解得.故選：D9．（2024·遼寧·二模）已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】由已知得出，結(jié)合得出，根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】由得，，所以，即，因為，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：當(dāng)時，有；即且，兩式相乘，進而得出最小值．10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，，可得；令，則，，構(gòu)建，則，可知在上遞減，則，即；綜上所述：.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而可得.11．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令，利用導(dǎo)數(shù)及題干所給條件求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性，可得，對其進行比較即可判斷各選項.【詳解】令，則，函數(shù)滿足，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時在上單調(diào)遞減，又由，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，從而，對于A，，，，A錯誤；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，，，D錯誤.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可.二、多選題12．（2024·河北衡水·三模）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．過點能作兩條不同直線與相切 D．函數(shù)有5個零點【答案】AD【分析】求得，根據(jù)，可判定A正確；由，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯誤；設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，求得切線方程，列出方程求得的值，可判定C錯誤；令，作出函數(shù)的圖象，得到，進而的函數(shù)零點的個數(shù)，可判定以D正確．【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的一個極值點，可得，解得，經(jīng)檢驗適合題意，所以A正確；對于B中，由，令，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯誤；對于C中，設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，則該切線方程為，由于切點滿足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，故有5個零點，所以D正確．故選：AD．13．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，求得，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為既有極小值又有極大值，可得方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則滿足，可得，所以，，，例如：時，滿足上式，此時不成立．故選：ABC.14．（2024·山西太原·三模）已知是函數(shù)的極值點，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的對稱中心為 B．C． D．【答案】AC【分析】利用，可判斷A；令，解得，代入可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性并求出極值點，結(jié)合圖像分情況由解出，可得可判斷C；利用C選項，若，，得出可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以的對稱中心為，故A

正確；對于B，，令，解得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，當(dāng)時，，因為，所以，可得，故B錯誤；對于C，令，解得，當(dāng)或時，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在時有極大值，在時有極小值，如下圖，當(dāng)時，若，則，可得，即，解得，所以；當(dāng)時，如下圖，若，則，可得，即，解得，所以；綜上所述，，故C正確；對于D，由C選項可知，若，，所以，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點.15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱． B．的圖象關(guān)于點對稱．C． D．【答案】BD【分析】對于A，直接得到即可判斷；對于B，由為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)可得即可判斷；對于D，求出的周期為，再根據(jù)即可判斷；對于C，由題意舉出反例即可淘汰.【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A錯誤；對于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯誤；故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項C，通過舉反例的形式淘汰答案，不妨設(shè)，所以，所以周期為，且，所以.三、填空題16．（2024·上?！と＃┰O(shè)曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.【答案】2【分析】根據(jù)兩曲線在有公切線，則是公共點，該點處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出的值，則答案可求.【詳解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案為：217．（2024·上?！と＃┤艉瘮?shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值點在內(nèi)，再結(jié)合即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極小值，因為函數(shù)在上存在最小值，又，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.18．（2024·上海閔行·三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若，則的最小值為.【答案】【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，可化為，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，（）所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：19．（2024·廣東·三模）設(shè)實數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為.【答案】/【分析】令，根據(jù)分母最大分子最小時分式的值最小可得，結(jié)合基本不等式和計算即可．【詳解】因為，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，即的最小值為.故答案為：.20．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是．【答案】【分析】由題意可借助、表示出，從而消去，再計算化簡后結(jié)合基本不等式計算即可得.【詳解】由，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.21．（2024·河北·三模）已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將原不等式變形為，設(shè)，通過求導(dǎo)求的最小值，然后解不等式即可.【詳解】因為，，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故答案為：.22．（2024·福建南平·二模）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恰有兩個極值點，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得，利用正弦型函數(shù)的極值點可得.【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，，，即，，，即，又在區(qū)間上恰有兩個極值點，可得，即.綜上，.故答案為：.23．（2024·云南昆明·三模）過點可以向曲線作條切線，寫出滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，代入點，通過構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性和極值，對的取值范圍進行討論，得到解的個數(shù)，可得對應(yīng)的切線條數(shù).【詳解】，，設(shè)所求切線的切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，得切線方程為，由切線過點，有，化簡得，設(shè)，則，，解得或；，解得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值，極小值，且或時，時，，的函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)時，無解，；當(dāng)或時，有一個解，；當(dāng)或時，有兩個解，；當(dāng)時，有三個解，.故答案為：（答案不唯一）24．（2024·河北滄州·三模）若不等式，對于恒成立，則