專題12 解三角形（4大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．三、實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解三角形常用結(jié)論】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圓的半徑．【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理可得：，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，則．故選：B．2．（2024·河南·三模）在中，，且交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，再利用余弦定理求出及即可得解.【詳解】由，得，而為銳角，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：B

3．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值．【詳解】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，則，故，又，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可知，，故的最大值為．故選：A．4．（2024·山西太原·三模）已知中，是的中點(diǎn)，且，則面積的最大值（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用中線得到，結(jié)合不等式得出，進(jìn)而得到面積的最大值.【詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)槭侵芯€，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；面積為.故選：A5．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】由正弦定理得，再通過兩角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?所以，顯然必為正（否則和都為負(fù)，就兩個(gè)鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).所以.故選：B.二、多選題6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，，，則（

）A．B．的外接圓面積為C．若，，則D．若，，則【答案】BCD【分析】本題考查了向量的數(shù)量積、利用正余弦定理解三角形和三角恒等變換，是中檔題.先由向量的數(shù)量積、正弦定理和三角恒等變換得，則，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，依題意，，則，由正弦定理，，因?yàn)?，且，故，故，因?yàn)?，故，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知，，故其外接圓面積為，故B正確；對于C、D選項(xiàng)，因?yàn)?，記，所以，，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由余弦定理，，故，解得，因?yàn)?，則，，故C、D正確；故選：BCD.7．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】通過正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理即可判斷B；通過余弦定理及可得或，即可判斷C；通過求的取值范圍，并將即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以由及正弦定理得，，由誘導(dǎo)公式得，，因?yàn)椋?，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正確；對于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，兩邊平方得，由余弦定理得，由兩式消得，，解得或，由解得，由解?故為直角三角形，故C正確；對于D，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.8．（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則【答案】BCD【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化簡得，即可判斷A；將代入化簡成，由基本不等式可得它的最小值，即可判斷B；由正弦定理邊化角可得，再由的范圍可得的范圍，即可判斷C；由正弦定理求出，再由余弦定理可得，即可判斷D.【詳解】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)B正確；在中，，由正弦定理，，若為銳角三角形，又，則，故，所以，所以，則，所以，故選項(xiàng)C正確；在中，由正弦定理，又，，，得，則由余弦定理，，得，整理得，解得，或，當(dāng)時(shí)，有，又，所以，因?yàn)?，則不成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題9．（2024·新疆·三模）在中，，.則.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理可得，再由誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式求解.【詳解】由正弦定理，，所以由可得，所以，所以，所以.故答案為：10．（2024·江西南昌·三模）在中，，則.【答案】1【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換以及正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】在中，，利用正弦定理：，所以，整理得，所以或，由于，所以，故，由于，所以，.故答案為：1.11．（2024·重慶九龍坡·三模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則；的最大值為.【答案】/【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合誘導(dǎo)公式求解角C；利用余弦定理結(jié)合基本不等式求面積最大值即可.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理知，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以；由已知及余弦定理得：，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，則面積的最大值為.故答案為：；12．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點(diǎn)，，，，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，則，在中，運(yùn)用余弦定理可得，再由，，得，代入根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)，則，在中，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)取最小值，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的余弦定理，二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于表示的長，求得何時(shí)取得最小值，屬于中檔題.13．（2024·湖南邵陽·三模）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，則；若，，，，則的取值范圍是．【答案】//【分析】第一空是由正弦定理角化邊，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的線性運(yùn)算，再計(jì)算數(shù)量積，從而求出取值范圍.【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．，，由余弦定理得，，與的夾角的余弦值為．又，，且，，，，故答案為：，四、解答題14．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．【答案】(1)(2)或【分析】（1）代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；（2）先確定長度，再確定，即可判斷三角形形狀，確定面積．【詳解】（1），由正弦定理可得，，，，，；（2）設(shè)，，，或4，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)三角形為正三角形，當(dāng)時(shí)，，，滿足，此時(shí)三角形為直角三角形，．15．（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．(1)求角的大??；(2)若，邊上的高為，求三角形的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，為的?nèi)角，所以，因?yàn)椋钥苫癁椋?，即，即，因?yàn)?，解得：，即．?）由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16．（2024·天津?yàn)I海新·三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，．(1)求角的大小：(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合已知即可求出B的大??；（2）利用余弦定理即可求出b的值；（3）根據(jù)求出sinA，cosA，從而可求sin2A、cos2A，再根據(jù)正弦的差角公式即可計(jì)算．【詳解】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因?yàn)椋傻?；?）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因?yàn)?，所以，故為銳角，故，因此，．所以，．17．（2024·天津河西·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮亩x域和最小正周期；（ⅱ）求的值．【答案】(1)2(2)（i），；（ii）7【分析】（1）由題意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；（2）（i）根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及兩角差的正切公式求解，即得答案.【詳解】（1）由題意知，則，則，又，故，則可得，即，即，即，故；（2）（i）由于,令，則，故的定義域?yàn)?，最小正周期為；（ii），故.18．（2024·上?！と＃┮阎膬?nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理即可得；（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得取值范圍，再由三角形的面積公式可求出面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理得，因?yàn)椋?，?（2）由（1）可知，所以或.在中，由余弦定理得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故的面積.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故的面積.綜上所述，的面積最大值為.19．（2024·湖南衡陽·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求A；(2)如圖所示，D為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個(gè)四邊形ABDC，且，若，求AD的最大值．【答案】(1).(2)4【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）方法一：根據(jù)題意，分別在與中由正弦定理化簡，即可得到，從而得到結(jié)果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）方法一：設(shè)，則：在中，，①，在中，，②：，所以，所以，所以AD的最大值是4解法二：在中，由余弦定理得，=，因?yàn)?，所以四邊形存在一個(gè)外接圓，所以圓的直徑為因?yàn)?，即，?dāng)AD為圓O直徑時(shí)取等號(hào)，故的最大值為4.20．（2024·四川攀枝花·三模）請?jiān)冖?，②，③三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，所對的邊分別是，已知_____．(1)求角；(2)若，點(diǎn)在邊上，為的平分線，求邊長的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）選①，由余弦定理可得的值，再由角的范圍，得到角的大小即可；選②，由正弦定理及輔助角公式，可得的值，再由角的范圍，得到角的大小即可；選③，由三角形內(nèi)角和定理及半角公式得到角的大小即可；（2）由角平分線的性質(zhì)結(jié)合等面積法列出方程，得到的值即可．【詳解】（1）選①，因?yàn)椋瑒t由余弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，可得，因?yàn)?，所以；選②，，所以，整理可得：，因?yàn)椋?，因?yàn)?，可得；選③，，可得，可得，因?yàn)椋?，可得；?）在中，，可得，記為①，又，記為②，由①②可得，解得或（舍去），所以邊長．21．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，從而可得，再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理代入計(jì)算，即可得到，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，則，所以，所以，且，由正弦定理可得，則，所以，則.（2）因?yàn)?，由余弦定理可得，又，則，即，所以，化簡可得，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故即可，所以的最小值為.22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______．(1)求角的大?。?2)已知，是邊的中點(diǎn)，且，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；若選②，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式求出，即可得解；若選③，利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；（2）首先求出，由中線的性質(zhì)得到，由面積公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】（1）方案一：選條件①．因?yàn)?/p>