53模擬試卷初中數(shù)學(xué)九年級下冊28.2.1解直角三角形

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1解直角三角形1.(2022黑龍江大慶讓胡路期末)在Rt△ABC中,有下列情況,則直角三角形可解的是()A.已知BC=6,∠C=90°B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5C.已知∠C=90°,∠A=∠BD.已知∠C=∠B=45°2.(2023上海嘉定期末)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,那么AB的長為(M9228004)()A.5sinAB.5cosAC.53.【一題多變·涉及直角三角形斜邊上中線的問題】(2023廣東汕頭澄海模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,sinB=35,若D為AB的中點(diǎn),則CD的長為.[變式·變結(jié)論為條件]如上圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),若CD=10,cosB=45,則AC的長為.4.【設(shè)參法】(2021廣東深圳光明模擬)如圖,在△ABC中,∠C=90°,D是AC邊上一點(diǎn),且AD=BD=5,tan∠CBD=34,則線段AB的長度是5.【教材變式·P77習(xí)題T1】在Rt△ABC中,∠C=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形.(M9228004)(1)c=10,∠B=30°;(2)b=9,c=63;(3)a=6,∠B=30°.知識點(diǎn)2解直角三角形在幾何圖形中的應(yīng)用6.【一題多變·“背靠背”型】(2022云南紅河州二模)如圖,在△ABC中,cosB=45,tanC=3A.3B.4C.3[變式·改為求面積]如圖,△ABC中,cosB=35,sinC=22,AB=5,則△ABC的面積是7.(2023山西太原二模)如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=43,點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),點(diǎn)F在BC的延長線上,BC=2CF.若四邊形DCFE是平行四邊形,連接BD,AE,BE,則圖中陰影部分的面積為(M9228004)()A.24B.12C.8D.68.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,sin∠ABC=35.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C',使點(diǎn)C'落在邊AB上,連接BB',則tan∠BB'C'的值為,四邊形ACBB'的周長為9.(2023江蘇常州二模)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=43,BC=3,則AD的長是10.【方程思想】(2022四川涼山州中考)如圖,☉O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H,若cos∠CDB=45,BD=5,則☉O的半徑為能力提升全練11.(2022陜西中考,5,★☆☆)如圖,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,則邊AB的長為(M9228004)()A.3212.(2021浙江麗水中考,7,★★☆)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥OA于點(diǎn)E,連接OC,OD.若☉O的半徑為m,∠AOD=α,則下列結(jié)論成立的是()A.OE=m·tanαB.CD=2m·sinαC.AE=m·cosαD.S△COD=12m2·13.(2023陜西渭南臨渭一模,6,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn),過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)E,BC=6,sinA=35,則DE的長為(M9228004)A.4B.15(2022四川樂山中考,9,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),連接BD.若tanA=12,tan∠ABD=1A.25B.3C.(2023安徽合肥肥東模擬,10,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠C=90°,E為邊BC上的點(diǎn),△ADE為等邊三角形,BE=8,CE=2,則tan∠AEB的值為(M9228004)()A.316.【新考法】(2023湖北武漢中考,13,★☆☆)將45°的∠AOB按如圖所示的方式放置在一把刻度尺上,頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合,OA與尺下沿重合,OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm.若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上,則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)是cm(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).

17.【方程思想】(2023黑龍江哈爾濱香坊期末,20,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在AD邊上,點(diǎn)F在BC邊上,且BF=DE,連接EF交對角線BD于點(diǎn)O.已知BD=10,tan∠CBD=34,連接CE,若CE=CF,則EF的長為18.【等角轉(zhuǎn)化法】(2020四川南充中考,16,★★☆)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△EDC,點(diǎn)E在☉O上,已知AE=2,tanD=3,則AB=.

(2023浙江杭州西湖二模,19,★★☆)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE為AC邊上的中線.(1)若∠EDA=3∠BAD,求∠C的度數(shù);(2)若tan∠EDA=4,AB=5,求點(diǎn)A到BC的距離.素養(yǎng)探究全練【推理能力】【胡不歸模型】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,sinA=45,BD⊥AC交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)P為線段BD上的動點(diǎn),則PC+35PB的最小值為【推理能力】【新考向·尺規(guī)作圖綜合題】(2022福建中考)如圖,BD是矩形ABCD的對角線.(M9228004)(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);(2)在(1)的條件下,設(shè)BD與☉A相切于點(diǎn)E,CF⊥BD,垂足為F.若直線CF與☉A相切于點(diǎn)G,求tan∠ADB的值.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B∵選項(xiàng)C、D缺少邊的條件,選項(xiàng)A缺少銳角的條件或另一邊的條件,∴不能解直角三角形;選項(xiàng)B中,由sinA和BC可求出AB,由∠B=90°-∠A可求出∠B,由勾股定理可求出AC.故選B.2.D∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,∴cosA=ACAB3.5解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,sinB=35,∴35=6AB,∴[變式]12解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),CD=10,∴AB=2CD=20.∵cosB=454.45解析在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBC=34,設(shè)DC=3x(x>0),BC=4x,由勾股定理得BD=5x=5,∴x=1,∴DC=3,BC=4.在Rt△ACB中,AC=AD+DC=5+3=8,BC=4,5.解析(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,c=10,∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°,b=12∴a=c2(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,b=9,c=63,∴a=c2∵sinA=ac∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.(3)∠A=90°-∠B=90°-30°=60°.∵tanB=ba,∴b=a·tanB=6×3∵cosB=ac6.D如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,則∠ADB=∠ADC=90°,∵cosB=BDAB=45,AB=5,∴BD=4,∴AD=A[變式]14解析如圖,作AH⊥BC于H.在Rt△ABH中,cosB=35,AB=5,∴BH=AB·cosB=5×35=3,∴AH=AB2-BH2=4.在Rt△ACH中,∵sinC=22,∴∠C=45°,∴CH=AH=4,7.B如圖,過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,在Rt△ABH中,AH=AB·sin∠ABH=8×sin60°=43,∵BC=2CF,BC=43,∴CF=23,∵四邊形DCFE是平行四邊形,∴DE=CF=23,∴S陰影=S△ADE+S△8.1解析∵∠C=90°,AC=6,sin∠ABC=35,∴AB=ACsin∠ABC=6÷35=10,∴BC=AB2-AC2=1029.6解析如圖,延長AB、DC相交于點(diǎn)E,在△ADE中,∵∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°.在Rt△BEC中,∵∠BCE=90°,∠E=30°,BC=3,∴BE=2BC=23,∴AE=AB+BE=43+23=63.在Rt△ADE中,10.25解析如圖,連接OD,∵AB是☉O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H,∴AB⊥CD,∴∠OHD=∠BHD=90°.∵cos∠CDB=DHBD=45,BD=5,∴DH=4,∴BH=3.設(shè)OH=x,則OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理,得x2+42=(x+3)能力提升全練11.D∵2CD=6,∴CD=3.∵tanC=2,∴ADCD=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,由勾股定理得,AB=A12.B∵AB是☉O的直徑,CD⊥OA,∴CD=2DE.∵☉O的半徑為m,∠AOD=α,∴OE=OD·cosα=m·cosα,故選項(xiàng)A不成立;DE=OD·sinα=m·sinα,∴CD=2DE=2m·sinα,故選項(xiàng)B成立;AE=OA-OE=m-m·cosα,故選項(xiàng)C不成立;S△COD=12CD·OE=12×2m·sinα·m·cosα=m213.C在Rt△ABC中,∵sinA=BCAB=35,BC=6,∴AB=10.∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=12AB=5.在Rt△ADE中,sinA=DEAE=35,設(shè)DE=3x(x>0),則AE=5x.∵AE2=DE2+AD2,∴14.C如圖,過D點(diǎn)作DE⊥AB于E,∵tanA=DEAE=12,tan∠ABD=DEBE=13,∴∴AB=15.C如圖,作EF⊥AB于點(diǎn)F,AH⊥BE于點(diǎn)H.∵∠B=60°,BE=8,∴∠BEF=90°-∠B=30°,BF=12BE=4.∵△∴∠AED=60°,AE=DE.∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∠DEC+∠AED+∠AEB=180°,∴∠BAE=∠DEC.在△AEF與△EDC中,∠EAF=∠DEC,∴AF=EC=2,∴AB=AF+BF=2+4=6.∵∠AHB=90°,∠BAH=90°-∠B=30°,∴BH=12AB=3,AH=3BH=33,∴HE=BE-BH=8-3=5,∴16.2.7解析如圖,過點(diǎn)B作BD⊥OA于D,過點(diǎn)C作CE⊥OA于E,在△BOD中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴CE=BD=OD=2cm,在△OCE中,∠COE=37°,∠CEO=90°,∴tan37°=CEOE≈0.75,∴OE≈17.15解析如圖,過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠EDC=∠DCH=∠EHC=90°,∴四邊形EHCD是矩形,∴ED=CH,CD=EH,∵BD=10,tan∠CBD=CDCB=3設(shè)BF=ED=CH=x,則有CF=CE=8-x,∵EC2=DE2+CD2,∴(8-x)2=x2+62,解得x=7∴EF=18.10解析如圖,過C作CH⊥AE于點(diǎn)H,∵∠D=∠ABC=∠AEC,∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3,又∵CE=AC,AE=2,∴HE=12∴CH=3.由勾股定理得AC=CE=10,又∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3,∴BC=103,由勾股定理得AB=A方法解讀等角轉(zhuǎn)化法:在與銳角三角函數(shù)相關(guān)的題中,可通過“平行線等角轉(zhuǎn)換”“等腰三角形等角轉(zhuǎn)換”“全等三角形等角轉(zhuǎn)換”“相似三角形等角轉(zhuǎn)換”“平行四邊形等角轉(zhuǎn)換”“同弧所對圓周角等角轉(zhuǎn)換”等,將已知或所求角的銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為其等角的銳角三角函數(shù).19.解析(1)∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°=∠B+∠BAD,∴∠BAD=∠C,∵DE為Rt△ADC的斜邊AC上的中線,∴AE=DE=CE,∴∠EAD=∠EDA.∵∠EDA=3∠BAD,∴∠EAD=3∠BAD.∵∠BAC=90°,∴3∠BAD+∠BAD=90°,∴∠BAD=22.5°,∴∠C=22.5°.(2)由(1)可知∠EAD=∠EDA,∴tan∠EDA=tan∠EAD=CDAD設(shè)AD=x,則CD=4x,∵∠BAC=∠ADC=90°,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∴ADAB=CD∴AC=20,∴BC=AB∴AD=AB×即點(diǎn)A到BC的距離為2017素養(yǎng)探究全練20.16解析如圖,作PE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F.∵BD⊥AC交AC于點(diǎn)D,AB=5,sinA=45,∴BD=AB·sinA=5×4∴sin∠ABD=ADAB=35.在Rt△BEP中,PE=PB·sin∠PBE=35PB,∴PC+35PB=PC+PE,∵當(dāng)C、P、E在同一條直線上時(shí),PC+PE的值最小,且為CF的長,∴PC+35模型解讀胡不歸模型:如圖,動點(diǎn)P在定直線上,求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)問題(A、B為定點(diǎn),B在定直線MN上),構(gòu)造射線BQ,使得sin∠QBN=k,作PC⊥BQ于C,可得PC=kPB,將問題轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值.21.解析(1)根據(jù)題意作圖如下:(2)如圖,連接AG,設(shè)∠ADB=α,☉A的半徑為r,∵BD與☉A相切于點(diǎn)E,直線CF與☉A相切于點(diǎn)G,∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四邊形AEFG是矩形.又AE=AG=r,∴四邊形AEFG是正方形,∴E