第一章 空間向量與立體幾何測試卷-2021-2022學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊（ 含答案）

第一章空間向量與立體幾何創(chuàng)新測試卷

一.選擇題（共8小題）

1.已知數(shù)組d=（x,1,1）,6=（-2,2,y）,ab=O,則2x—y=（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.如圖所示，在平行六面體488-A片GA中，設(shè)麗=2,AB=bfAD=cfN是BC

的中點，則碩等于（）

-1--1-1

A.~u+/?+—cB.—a+b+cC.—u—/?+—cD.u—b+-c

222

3.在長方體ABC。-AgGA中，可以作為空間向量一個基底的是（）

A.ABtAC,ADB.AB,AA），ABi

C.而，和，卵D.宿，/，CCX

4.如圖，在長方體4BCO-ABCR中，Q是線段。用上一點，且8P=20P,若

AP=xAB+yAD+zAA,,則“+y+z=（）

333

5.已知動點P在正方體A8CZ）-A￡G〃的對角線8〃（不含端點）上.設(shè)第=4,若ZAPC

為鈍角，則實數(shù)％的取值范圍為（）

D.g，1)

6.如圖，在正方體A8CO-A5GA中，E,尸分別是上底棱的中點，與平面5AM所

C.60°D.90°

7,設(shè)向量日=（a,40）,爐=（c,d/），其中/+y=/+/=],則下列判斷錯誤的是（）

A.向量/與z軸正方向的夾角為定值（與c,[之值無關(guān)）

B.五?爐的最大值為近

C.〃與戶的夾角的最大值為亞

4

D.ad+6c的最大值為1

8.PZ）垂直于正方形ABC。所在平面，AB=2,E為尸8的中點，cos<DP,AE>=—

若以如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則七點坐標(biāo)為（）

二.多選題（共4小題）

9.已知直線4、4的方向向量分別是通=（2,4,外，麗=（2,y,2）,若|而|=6且4口，

則x+y的值可以是（）

A.-3B.-1C.1D.3

10.已知棱長為1的正方體ABCD-AgGA,E,尸分別是棱AD,CD上的動點，滿足

AE=DF,貝I"）

A.四棱錐旦-BE。尸的體積為定值

B.四面體表面積為定值

C.異面直線3/和A”所成角為90°

D.二面角"-E產(chǎn)-媯始終小于60。

11.如圖，在正方體A8CZ）-A8CA中，點尸在線段BQ運動，則（）

A.三棱錐P-AG。的體積為定值

B.異面直線AP與所成的角的取值范圍為[45。，90°]

c.直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

D.過尸作直線貝IJ/J.OP

12.如圖，以等腰直角三角形斜邊8C上的高4）為折痕，把和&4CD折成互相垂直

的兩個平面后，某學(xué)生得出如下四個結(jié)論，其中正確的是（）

A.ABLAC

B.AB1DC

C.BDA.AC

D.平面4X7的法向量和平面ABC的法向量互相垂宜

三.填空題（共4小題）

13.設(shè)空間向量1=（一1,2,加），6=（2,〃，-4）,若?！?,則|G-E|=.

14.已知平面a的一個法向量為6=（1,1,1）,原點0（0,0,0）在平面。內(nèi)，則點P（4,

5,3）到a的距離為一.

nP

15.動點P在正方體48CO-A4GA的對角線BR上，記一」=2,當(dāng)NAPC為鈍角時，2

D、B

的取值范圍是.

16.如圖，正方體AB8-A與CQ中，Me/V"NwAB,ZC,A/N=90°,B、N=2MN,

貝ljNMNB]=.

四.解答題（共6小題）

17.設(shè)空間兩個單位向量函=（利，〃，0）,礪=（0,〃，p）與向量能=（1,1,1）的夾

角都等于王，求cosNAOB的值.

4

18.已知平行六面體，AB=AD=AA}=\tZBAD=ZBAAi=ZDAA,=60°,求

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱Q4_L底面ABC。，AB=6

BC=\,PA=2,E為叨的中點.

（1）求cos〈而，麗〉的值；

（2）在側(cè)面RW內(nèi)找一點N,使NEJ■平面%C,并求出N到AB和AP的距離.

20.如圖，BC=2,原點。是5c的中點，點A的坐標(biāo)為（日，T，0），點。在平面J。

上，KZBZX;=90p,NDCB=30°.

（1）求向量詼的坐標(biāo).

（2）求而與配的夾角的余弦值.

21.如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為A4BC的重心，點”在PG上，且PM=3MG,

過點M任意作一個平面分別交線段處,PB,PC于點D,E,F,^PD=mPAtPE=nPS,

PF=tPC,求證：,+1+1為定值，并求出該定值.

22.已知AABC為等腰直角三角形，NB4C=90。，AC=2,將AAQ沿底邊上的高線4)折

起到△回￡＞位置，使如圖所示，分別取&C,AC的中點E,F.

B'

(1)求二面角石一￡力一夕的余弦值；

(2)判斷在線段4&上是否存在一點M,使EMJ_平面B'DF?若存在，求出點M的位置,

若不存在，說明理由.

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.已知數(shù)組d=(x,1,1)?b=(-2,2,y)?ab=0f則2x—y=()

A.1B.-1C.2D.-2

解：?/a=(xf1,1)?b=(-2?2,y),ab=O,

ab=-2x+2+y=0.

解得2x-y=2.

故選：C.

2.如圖所示，在平行六面體ABCD—A4GA中，設(shè)羽=值，AB=b,AD=c,N是BC

的中點，則等丁()

一1

B--a-i-b+cC.-a-b+—cD.a-b+—c

22

解：?.?六面體ABCD-ASGA為平行六面體,

/.AD=BC=c，

又?.?麗=",AB=b.AD=c,N是bC的中點,

麗=，,

2

=AiA+AB+BN=-a+h+^c.

故選：A.

3.在長方體ABC。-A4G。中，可以作為空間向量一個基底的是()

A.而，AC,ADB.而，麗，麗

C.也，,印D.AC[,AtC?CC1

解：在長方體ABC。-A4GA中，向量麗，AC,而是共面向量，不能作為基底，故選

項A錯誤；

向量由，麗，畫是共面向量，不能作為基底，故選項5錯誤；

向量取\而，時不是共面向量，能作為基底，故選項C正確；

向量福，即，忑是共面向量，不能作為基底，故選項。錯誤.

故選：C.

4.如圖，在長方體ABCO-ABCQ中，。是線段。乃上一點，且BP=2RP,若

AP=xAB+yAD+z,則x+y+z=()

4

3

解：：BP=2D、P,

..B戶=2PD；,

即AP-AB=2(AD^-AP)=2而;-2AP,

即3而=而+2函，

_i_2.i_2.2.

^AP=-AB+-AS=-AB+-AD+-X\,

33333

所以X=1,y=~?Z=2,所以x+y+z=9.

3333

故選：A.

5.己知動點尸在正方體ABC。-ABC.的對角線(不含端點)上.設(shè)絲=4,若NAPC

為鈍角，則實數(shù)4的取值范圍為()

A.(。，：)B.(0,i)C.(-j,1)D.(i,1)

解：由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一qz,

設(shè)正方體ABC。-A4GA的棱長為1,

則有4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),0(0,0,1)

.?.印=(1,1,-1),設(shè)印=[4,A,-2),

二.用=西+麗=(-4,-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,一丸，2-1),

定=西+麻=(一2，-2,2)-(0,1,-1)=(-2,1-2,4-1),

由圖知ZAPC不是平角，??.ZAPC為鈍角等價于cosZAPC<0,

:.PAPC<0,

(1-Z)(-Z)+(-2)(1-1)+(2-I)2=a-1)(32-l)<0,

解得Jv/lvl

3

.?.%的取值范圍是(；，

I)

故選：C.

z

6.如圖，在正方體ABC。-A4GA中，E,尸分別是上底棱的中點，4幽與平面42反所

解：以A為坐標(biāo)原點，RA，DC，RD為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(l,0,1),用(1,1,0),R(0,0,0),E嗎,1),

n?DlBi=x+y=0

設(shè)平面的法向量為"=則6

(x,y.z),H?D、E=^y+z=0可取E=(l,-1,

又鬲=(0,1,T),

設(shè)AB】與平面與D,EF所成的角為9,則sin0=|cos<n,^*>|=—

故A4與平面與〃E尸所成的角為：.

故選：B.

7.設(shè)向量"=3,仇0)尸=(G4,1),其中/+從=/+/=],則下列判斷錯誤的是()

A.向量/與z軸正方向的夾角為定值(與c,d之值無關(guān))

B.五?爐的最大值為近

C.日與/的夾角的最大值為包

4

D.ad+bc的最大值為1

解：由向量比=(。也0),U=(c,d,l),其中片+從=/+才=],知:

在A中，設(shè)z軸正方向的方向向量N=(0,0,r),

向量D與z軸正方向的夾角的余弦值：

cosa=-2=——,1-=—,:.a=45°,

l2klvl2

.??向量/與z軸正方向的夾角為定值45。(與c,d之值無關(guān))，故A正確;

a2+c2及+d2a2+b2+c2+d2

在B中,u-v=ac+bd,.------1------=-------------

222

且僅當(dāng)a=c,Z>=d時取等號，因此以/的最大值為1,故5錯誤;

在C中,由8可得：|小刃”1,..-1釉41,

M?vac+bd1\[1

2222

IwI-Iv|Ja+b-\]c+J+11x&2

.??日與D的夾角的最大值為四，故C正確:

4

a2+d2爐+da1+Z>2+c2+t/2

在。中,ad+bc,、----------1---------=--------------------

222

.,.〃/+稅的最大值為1.故。正確.

故選：B.

—,^3

8.PD垂直于正方形AB8所在平面，AB=2E為尸8的中點,cos<DP,AE>=——，

t3

若以如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則上點坐標(biāo)為（)

1)C.。，1,1)D.

解：設(shè)P(0,0,t),(t>0),D(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),E(1,1,今

DP=(0,0,f),AE=(-1,1,-).

二DP.AE=—,\DP\=t,|福=/+1.

2

,:cos<DP，AE>=—,

3

—=■=￡解得,=2.

E3

/.E(1,1,1).

故選：c.

二.多選題（共4小題）

9.已知直線4、4的方向向量分別是而=（2,4,x),CD=(2,yt2),若|確=6且4乜,

則x+y的值可以是（）

A.-3B.-1C.1D.3

解：???直線'、4的方向向量分別是通=（2,4,x),CD=(2,y,2),|而|=6且4_L，2,

.〃+16+Y=6,解得.x2=16

4+4y+2x=0x+2y+2=0

P=4或匕T

[y=-3b?=1

x+y=1或x+y=-3.

故選：AC.

10.已知棱長為1的正方體ABCD-AgGA,E,尸分別是棱AD,CD上的動點，滿足

AE=DF,貝lj()

A.四棱錐4-BEO產(chǎn)的體積為定值

B.四面體石尸表面積為定值

C.異面直線與E和4戶所成角為90°

D.二面角〃-EF-用始線小于60。

解：對于A,因為四邊形BEDF的面積為

S=SABCD-S^BE-S^CF=\~AE-^FC=\-^(AE^BF)=\-^=^(定值).

???四棱錐媯-8EO尸的體積為定值，故正確；

對于B,過。作ZW_1_所，連接D{H,則DtH1EF,設(shè)AE=OF=x,則DH=/*幻

次+(1一處2

:.D】H=dDH?+1,

SDEF=；EFDM=^X2+(\-X)2+X\\-X)2=gj[KDF=1[1-^(1-x)],

：.四面體D[DEF表面積為S=^xx1+i(1-x)x1+i[1-x(l-x)]+--^)=1?四面體

自力石尸表面積為定值，故正確.

對于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=則現(xiàn)1一不，0,0),尸(0,x,0),5,(1,

1,1),A(1,0,0),

則解=(一乂一1,一1),AF=(-l,x,0),

BpE-AF=x-x+0=0,.?.異面直線與石和AF所成角為90。，故正確；

對于。，當(dāng)4七=。尸=3時，可得二面角〃一七r一。就是NO”.,二面角g-瓦'一8就

是NBHBi,

貝han4DHD、=272,tanNbHb、=手，

)A2、5

2,2xR/z

tan(ZD//D,+NBHBJ=--------=--,

5

"2員比

3

此時二面角A-E尸-線的正切值為罕＞G，故錯.

故選：ABC.

11.如圖，在正方體ABCO-A8sA中，點尸在線段反。運動，則（）

A.三棱錐尸-AC。的體積為定值

B.異面直線AP與4。所成的角的取值范圍為[45。，90°]

C.直線GP與平面AGO所成.角的正弦值的最大值為當(dāng)

D.過戶作直線則/_L￡>P

解：在A中，?:ADHB\C，AOu平面AC。，用。0平面AG。,

.?.80〃平面AG。,

?/點P在線段反。上運動，」.P到平面ACQ的距離為定值，

又△AG。的面積是定值，，三楂錐P-4G。的體積為定值，故A正確；

在8中，異面直線”與4。所成角的取值范圍是[60。，90°],故8錯誤；

在C中，以。為原點，D4為尤軸，0c為)，軸，為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體—中棱長為1，P(a，1，a),則￡>(0,0,0),A,(l,0,1),C,(0,

1,1),璃=(1,0,1),西=(0,1,1),于=(〃，0,a-1),

設(shè)平面AC。的法向量3=(x,y,z),卜匕=x+z=o,

w-DC,=y+z=0

取x=i,得萬=(i,1,-1)：直線C/與平面4G。所成角的正弦值為：

I麗”1________1______1

I||萬|yja2+(a—I)2>>/5^2(a——)2+—

.?.當(dāng)a=g時，直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為半，故c正確.

在。中，過戶作直線〃/AA，則///8G，-DP1BC,,:.l±DP,故正確.

12.如圖，以等腰直角三角形斜邊AC上的高4)為折痕，把八針。和A4CO折成互相垂直

的兩個平面后，某學(xué)生得出如下四個結(jié)論，其中正確的是()

BDB

A.ABLAC

B.ABIDC

C.BDLAC

D.平面ADC的法向量和平面回。的法向量互相垂直

解：以。為坐標(biāo)原點，DB,DC，A4所在直線分別為x軸，y軸，？軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

設(shè)折疊前的等腰直角三角形ABC的斜邊BC=2,

則0(0,0,0),B(\,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),

則4月=(1,0,7),AC=(0,l,-l),DC=(0,1,0),BD=(-1,0,0),

從而有福?而=0+0+1=1,故A錯誤；

ABDC=0,故3正確；

fiDAC=0,故C正確；

易知平面ADC的一個法向量為BD=(-1,0,0),

、幾丁示4人Y百二口門」通.6=0

設(shè)平面ABC的一個法向量為無=(x,y,z),則彳__?

ACn=0

即尸令尸1，

則x=l,z=l,故萬=(1』,1),BDn=-\,故。錯誤.

故選：BC.

三.填空題(共4小題)

13.設(shè)空間向量4=(一1,2,機(jī))，5=(2,n,-4),若d/區(qū)，貝1」修-5|=.

解：因為空間向量萬=(一1，2,w),6=(2,n,-4),且?！?,

所以萬=4萬，

即(2,n,-4)=2(-1,2,⑼，

2=-A

可得-〃=24,解得/n=2,n=-41

-4=A/??

所以。=(一1,2,2),6=(2,-4,-4),

貝！J2一5=(-3,6,6),

所以Id-昨J(-3尸+62+62=9.

故答案為：9.

14.己知平面a的一個法向量為萬=(1,1,1),原點0(0,0,0)在平面a內(nèi)，則點P(4,

5,3)到。的距離為一.

解：?.?平面a的一個法向量為萬=(1,1,1),

原點。(0,0,0)在平面a內(nèi)，點P(4,5,3),

OP=(4,5,3),

.?.點P(4,5,3)到a的距離為：

人處包=平=48.

I川不

故答案為：4石.

nP

15.動點尸在正方體A8CO-A86A的對角線BQ上，記:后二久，當(dāng)NAPC為鈍角時，A

的取值范圍是.

解：由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-D，z,

則有A(l,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),D1(o,0,1)

.?.印=(1,1,-1),.?.即=(/l,A,-Z),

而=西+取=(一2，-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1),

定=西+配=(一；I,-2,2)-(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1),

顯然NAPC不是平角，所以NAPC為鈍角等價于cosNAPC<0,

AE4.PC<0,/.(1-2)(-2)+(-2)(1-2)+(2-1)2=(2-1)(32-1)<0,得,<九<1

3

因此，2的取值范圍是(；，1)

故答案為：g,1)

16.如圖，正方體ABCO—ASGR中，NGAB,(MN=90。,B、N=2MN,

則/MNBi=.

I、、

解：以0為原點，為上軸，QC為），軸，?？跒閦軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)M(1,0,b),N(1,a,0),A(1,0,0),8(1,1,0),

國(1,1,1),G(0,1,1),

CXM-(1,-1,/?—1),MN=(0?a,-h),B1N=(0,a—\>-1)?

?.?NGAfN=90。，B、N=2MN,

C[A/?MM=-a+b(l-b)=0f:.a=b(\—b)?

a2-a+b

/.cosNMNB1

|NA/h|N瓦|2(cr+tr)

b2(\-b2)+b2_1

2[b\\-b2)+b2]~2

NMN4=60°.

故答案為：60°.

X

四.解答題（共6小題）

17.設(shè)空間兩個單位向量次=（〃?，〃，0）,OB=（0,n,p）與向量方=（1,1,1）的夾

角都等于工，求cosNAOB的值.

4

解：...兩個單位向量礪=（加，n,0）,05=（0,〃，p）與向量詼=（1,L1）的夾角都

等于工，

4

；.乙\OC=NBOC=Z,|OC|=V3，|兩=|函=1,

4

OC.OA=|OCH5A|<OS-=>/3X1X^=^,

422

2

,/OC?OA=m+nfOA=m4-z?=1,

2+G2-x/3

?瓜2tn=-------i-n

"+〃=彳，解得，3或.4

)2—5/322+6

m2+n2=1n~=--------n~=--------

44

()A?()B=/J,

礪廊

cosZ.AOB=

\OA\^OB\

cosZAOB=轉(zhuǎn)或cos/AOB=-—.

44

18.已知平行六面體，AB=AD=AAi=\fZBAD=ZBAAi==60°,求|宿

解：vAC,=AB+AD+AA^

/.ACt=AB+AD+A4,4-2AB.AD+2AB-A4,+2AD.A4,

=l+l+l+2xlxlcos60°x3

=6?

/.l宿i=B

19.如圖，在四棱錐P-A4a）中.底面A8CD為矩形，側(cè)棱Q4_L底面AACD,AB=6

BC=1,PA=2,E為PZ)的中點.

(1)求COS〈前，麗〉的值；

(2)在側(cè)面P48內(nèi)找一點N,使NE_L平面F4C,并求出N到4?和AP的距離.

解：(1)在四棱錐f-"6中，底面為矩形

側(cè)棱%_L底面ABC￡＞，AB=6,BC=\,PA=2,E為尸。的中點.

以A為原點，為x軸，AO為)，軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),C(招,1,0),尸(0,0,2),B(60,0),

4C=(^J,0),麗=(6,0,-2),

(2)設(shè)在側(cè)面丹記內(nèi)找一點N(a,0,c),使NE_L平面R4C,

0(0,1,0),E(0,-,1),NE=(-a-，1-c),

2f2

Q=(0,0,2),恁=(瘋1,0),

福?衣=2(l-c)=0/

.?.N到/W的距離為1,N到AP的距離為更

p

20.如圖，BC=2,原點。是8c的中點，點A的坐標(biāo)為（也，0）,點。在平面）Oz

22

上，且ZBDC=90°,ZDCB=30°.

（1）求向量①的坐標(biāo).

（2）求而與死的夾角的余弦值.

解：(1)過及作。EJ_4c于E,則OE=CO-sin3(T=@,

2

OE=OB-BDcos600=\--=-

22

.?.￡)的坐標(biāo)為0(0,,

22

3

又1,0),/.CD=(0,

22

（2）依題設(shè)有A點坐標(biāo)為0),

2

.?.標(biāo)=(—當(dāng)一4),BC=(0,2,0),

則而與血的夾角的余弦值:

8S＜而同以二典

\AD\'\BC\5

X

21.如圖，在三棱錐P—ABC中，點G為A4BC的重心，點、M在PG上,且PM=3A/G,

過點M任意作一個平面分別交線段PA,PB,PC于點E,F^PD=mPAtPE=nPB,

PF=tPc,求證："!■+_!_+!為定值，并求出該定值.

mnt

證工明：如圖示：

連接AG并延長交8C于點H,

由題意可令(萬，萬，京)為空間的一個基底，

.3_3—..Q32-

^tLPM=-PG=-(PA+AG)=-PA+-