2020-2021北京初中數(shù)學(xué)期末匯編：二次函數(shù)綜合題

2020-2021北京初中數(shù)學(xué)期末匯編：二次函數(shù)綜合題

解答題(共7小題)

1.已知二次函數(shù)產(chǎn)-x2+bx+c和一次函數(shù)y^mx+n的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),且二次函數(shù)產(chǎn)-x2+bx+c的圖

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(0,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-1).

(1)分別求〃?、"和b、c的值；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù))=-N+Zzr+c的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在x軸上方，寫出△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)

x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值.

2.(2020秋?順義區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-2mx+m2

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含，"的式子表示)；

(2)過(guò)點(diǎn)4(0,1)作y軸的垂線/，點(diǎn)8在直線/上且橫坐標(biāo)是2/n+l.

①若比的值等于1時(shí)，求拋物線與線段AB的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若拋物線與線段4B只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出〃?的取值范圍.

3.(2020秋?北京期末)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線＞=2^+m+”經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(0,-2),B(3,4).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)線段。8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到線段OC,點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線在A,8之間的部分為

圖象W(包含A,B兩點(diǎn)).結(jié)合函數(shù)圖象，

①若直線CQ與圖象W有公共點(diǎn)，求SACMD的最大值；

②若直線CD與圖象W沒(méi)有公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)。縱坐標(biāo)t的取值范圍.

5-

4~

3-

2-

1-

--------------------

-5-4-3-2-1012345*

-1

-3

-4

-5

4.(2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線y=ar2+%x(“#))過(guò)點(diǎn)(%0).

(1)用含。的代數(shù)式表示歷

(2)已知點(diǎn)A(0,a),將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)B,再將點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,

求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含。的代數(shù)式表示)；

(3)在(2)的條件下，若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)，求“的取值范圍.

5.(2020秋?石景山區(qū)期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)和圖形W,給出如下定義：

過(guò)點(diǎn)尸作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M,N,若圖形卬中的任意一點(diǎn)。(a,8)滿足且后，則稱四邊

形PMON是圖形W的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn).例：已知A(l,2),B(3,1),則點(diǎn)P(5,

4)為線段A8的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)C(2,3),

①在Pi(1,3),P2(3,3),P3(4,4)中，是△ABC的覆蓋特征點(diǎn)的為；

②若在一次函數(shù)〉=加計(jì)5(，/0)的圖象上存在△A8C的覆蓋的特征點(diǎn)，求〃?的取值范圍.

(2)以點(diǎn)。(2,4)為圓心，半徑為1作圓，在拋物線丫=以2-5ar+4(在0)上存在。。的覆蓋的特征點(diǎn)，直

接寫出a的取值范圍__________.

6.(2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,3m),P(0,2m),Q(0,m)(〃苗))，將

點(diǎn)A繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)將點(diǎn)。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)N,連接MN,稱線段MN為點(diǎn)

A的伴隨線段.

(1)如圖1,若〃7=1,則點(diǎn)ALN的坐標(biāo)分別為,；

(2)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(-1,力，C(1,Z),D(0,r+1),將此圖象在8,C之間的部分與線段8c

所組成的封閉圖形記作圖形G(包含B,C兩點(diǎn)).

①當(dāng)f=2時(shí)，是否存在〃?，使得點(diǎn)用在圖形G內(nèi)部(包括邊界)？若存在，求出”的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

②若存在點(diǎn)A,使得其伴隨線段MN上的所有點(diǎn)都在圖形G內(nèi)(包括邊界)，請(qǐng)直接寫出f的取值范圍.

7.閱讀材料：若拋物線L的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線乙2的頂點(diǎn)8也在拋物線心上（點(diǎn)A與點(diǎn)5不重合）,

我們稱這樣的兩條拋物線L、心互為“友好”拋物線，如圖L

解決問(wèn)題：如圖2,已知拋物線心：y=2%2-8x+4與），軸交于點(diǎn)C

（1）若點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物線心的對(duì)稱軸對(duì)稱，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）求出以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的小的“友好”拋物線小的解析式；

（3）直接寫出心與〃中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量x的取值范圍.

2020-2021北京初中數(shù)學(xué)期末匯編：二次函數(shù)綜合題

參考答案與試題解析

解答題(共7小題)

1.已知二次函數(shù)y=-N+fev+c和一次函數(shù)y=?jx+〃的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),且二次函數(shù)y=-爐+云的圖

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(0,3),一次函數(shù)丫=加葉〃的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-1).

(1)分別求機(jī)、”和b、c的值；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)丫=-/+fec+c的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在x軸上方，寫出△ACP的面積S關(guān)于點(diǎn)尸的橫

坐標(biāo)

x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值.

【分析】(1)把直線和曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)代入得到方程組，求解即可得到答案；

(2)分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在y軸左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PO〃y軸交AC于點(diǎn)。，②當(dāng)點(diǎn)P在)'軸右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P

作尸?！▂軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,分別根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)系式，利用函數(shù)式表示三角形B4C的面積，

配方可得答案.

【解答】解：(1)?.,二次函數(shù)y=-r+^x+c和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),一次函數(shù)產(chǎn)小+〃

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-1),

.f-3m+n=0

ln=-l

，1

.1m-萬(wàn)，

n=-l

???二次函數(shù)y=-N+bx+c和一次函數(shù)y=/nx+〃的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)

點(diǎn)、B(0,3),

?f-9-3b+c=0

"lc=3

.?.片2

1c=3

(2)由(1)知一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式分別為：1與>=-/-您+3,

3

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD//y軸交AC于點(diǎn)。，則SA/MC=￡XP￡>X|-3|=-|PZ),

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD//y軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

貝IS△小c=LxP￡>xk+3-x\=^-PD,

22

???點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)P（x,-N-2X+3）,則￡>（x,」-1）,

3

PD=-x2-2x+3弓戈+1=-I?x+4,

△陽(yáng)。=旦「。='（/金》-4）=衛(wèi)（x+5）2+1^2，

2232624

即當(dāng)x=3■時(shí)，SAMC最大=&.

624

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及一次函數(shù)、圖形面積的計(jì)算等，掌握其性質(zhì)及運(yùn)算是解決此題關(guān)

鍵，

2.（2020秋?順義區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，已知拋物線y=/-23+?。ㄕ?）.

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含，*的式子表示）；

（2）過(guò)點(diǎn)A（0,1）作y軸的垂線/，點(diǎn)8在直線/上且橫坐標(biāo)是2〃?+l.

①若根的值等于1時(shí)，求拋物線與線段AB的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若拋物線與線段A8只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

【分析】（1）將拋物線的解析式配方成頂點(diǎn)式，可以寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①畫出函數(shù)圖像，利用圖像法解決問(wèn)題.

②求出拋物線經(jīng)過(guò)A,B時(shí)，，"的值，利用圖像法可得結(jié)論.

【解答】解：(1)y=xi-2mx+m2=(x-m)2,

:.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0).

(2)①由題意，拋物線的解析式為y=(x-1)2,A(0,1),B(3,1),

觀察圖像可知，拋物線與線段A8的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

②由①可知，機(jī)=1時(shí)，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)B(2粗+1,1)時(shí)，1=(/n+1)2,

解得m=0或-2(舍棄)，

觀察圖像可知滿足條件的m的值為0<m<l.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)

尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.(2020秋?北京期末)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線>=2%2+加%+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(0,-2),B(3,4).

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)線段OB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。得到線段OC,點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線在A,B之間的部分為

圖象卬(包含A,B兩點(diǎn)).結(jié)合函數(shù)圖象，

①若直線C。與圖象W有公共點(diǎn)，求SACMD的最大值；

②若直線CQ與圖象W沒(méi)有公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

12345x

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可得結(jié)論.

(2)①當(dāng)點(diǎn)。落在直線BC上時(shí)，△口?〃的面積最大.

②利用圖象法法，可得結(jié)論.

【解答】(1)?.5=2^+見(jiàn)+”經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-2),B(3,4).

代入，得:n=-2

18+3m+n=4

1-Jn=-2

lm=-4

拋物線的表達(dá)式是y=2r2-4x-2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是M(1,-4).

(2)①由題意可知C(-3,-4)

二次函數(shù)y=2x2-4x-2的最小值是-4,

連接8C,直線8C的解析式是

y3

當(dāng)x=l時(shí)，丫

y3

當(dāng)點(diǎn)。在BC上時(shí)，（1,-1）,

3

?.?直線CC與圖象卬有公共點(diǎn)，

...點(diǎn)。在線段0M上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)D與。，重合時(shí)，△OCM的面積最大,

...SMMO的最大值是』X

233

②由題意，直線BC交對(duì)稱軸x=l于（1,2），C（-3,-4）.

3

若直線8與圖象W沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線與線段沒(méi)有交點(diǎn),

所以點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍是-4或f>l.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，

屬于中考常壓軸題.

4.（2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系尤。），中，拋物線丫=〃小+法（”#））過(guò)點(diǎn)（%0）.

（1）用含。的代數(shù)式表示歷

（2）已知點(diǎn)A（0,?）,將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)8,再將點(diǎn)8向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,

求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含。的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

【分析】(1)將(4,0)代入即可得答案,

(2)y軸上的點(diǎn)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到x軸，向右平移則橫坐標(biāo)加2即可求出B的坐標(biāo),

(3)根據(jù)圖形列出不等式可得a的范圍；

【解答】解：(1)???拋物線>=以2+法過(guò)點(diǎn)(4,0),

：.0=164+44

:.b=-4a.

(2)?.?點(diǎn)A(0,a)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)B,

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0),

?.?點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a+2,0).

(3)(i)當(dāng)a>0時(shí)，

拋物線y=a/-4ar開(kāi)口向上，與x軸交于兩點(diǎn)(0,0),(4,0).

若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)(如答圖1),只需滿足：;，解得：a>2；

la+2>4

(ii)當(dāng)aVO時(shí),

拋物線)，=G2-4or開(kāi)口向下，與x軸交于兩點(diǎn)(0,0),(4,0),

若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)(如答圖2),只需滿足：二，解得：aS-2；

.a+2<0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)解析式，點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、平移與坐標(biāo)以及線段與拋物線的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，畫出圖形便可

以分析得到答案.

5.(2020秋?石景山區(qū)期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xO.y中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)和圖形W,給出如下定義：

過(guò)點(diǎn)尸作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N,若圖形W中的任意一點(diǎn)。(a,6)滿足且/y,則稱四邊

形PMON是圖形W的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn).例：已知A(l,2),B(3,1),則點(diǎn)尸(5,

4)為線段AB的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)C(2,3),

①在Pi(I,3),P2(3,3),P3(4,4)中，是△ABC的覆蓋特征點(diǎn)的為生，尸3;

②若在一次函數(shù)y=mx+5(,/0)的圖象上存在△A8C的覆蓋的特征點(diǎn)，求加的取值范圍.

(2)以點(diǎn)。(2,4)為圓心，半徑為1作圓，在拋物線y=〃x2-5ar+4(存0)上存在0。的覆蓋的特征點(diǎn)，直

接寫出a的取值范圍〃>0或？.

【分析】(1)①畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)的定義判斷即可.

②分兩種情形：m>0,機(jī)<0分別求解即可.

（2）觀察圖象可知，當(dāng)。>0時(shí)，拋物線上存在。。的覆蓋的特征點(diǎn)，當(dāng)〃<0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)（0,4）,對(duì)稱軸

x=5,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（2,5）或（3,5）時(shí)，拋物線滿足條件，求出“的值，可得結(jié)論.

2

觀察圖象可知,生，P3是AABC的覆蓋特征點(diǎn).

故答案為：P],尸3.

當(dāng)機(jī)V0時(shí)，由題意得：當(dāng)應(yīng)3且龍3時(shí)，點(diǎn)P（x,y）為△ABC的覆蓋的特征點(diǎn)（圖中的陰影部分）.

又?.,點(diǎn)尸在一次函數(shù)y=/nr+5（m/0）的圖象上，

當(dāng)直線y=〃?x+5（機(jī)加）過(guò)點(diǎn)K（3,3）時(shí)，解得：皿=工，

3

???結(jié)合函數(shù)圖象可知V<m<0，

綜上所述："且m?^0.

(2)如圖3中,

觀察圖象可知，當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線上存在OQ的覆蓋的特征點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)(0,4),對(duì)稱軸x=$,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)(2,5)或(3,5)時(shí)，拋物線滿足條件，

2

：.5=4a-10a+4,

解得q=-1,

6

觀察圖象可知，當(dāng)把時(shí)，拋物線上存在。。的覆蓋的特征點(diǎn)，

6

綜上所述，滿足條件的。的取值范圍為：。＞0或

6

故答案為：。＞0或

6

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)P為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

6.(2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)A(0,3m),P(0,2m),Q(0,而(w/0),將

點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)“，將點(diǎn)。繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)M連接MN,稱線段MN為點(diǎn)

A的伴隨線段.

(1)如圖1,若,"=1,則點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(1,2),(7,1)；

(2)己知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(-1,/),C(1,/),D(0,r+1),將此圖象在B,C之間的部分與線段BC

所組成的封閉圖形記作圖形G(包含8,C兩點(diǎn)).

①當(dāng)，=2時(shí)?，是否存在〃?，使得點(diǎn)M在圖形G內(nèi)部(包括邊界)？若存在，求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

②若存在點(diǎn)A,使得其伴隨線段MN上的所有點(diǎn)都在圖形G內(nèi)(包括邊界)，請(qǐng)直接寫出r的取值范圍.

圖1備用圖

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的特征在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo):

(2)由(1)得點(diǎn)M在直線y=2x上運(yùn)動(dòng)，可求出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)8、C、。的拋物線的解析式為＞=-x2+t+\,再由y

=2%和y=-/+f+l聯(lián)立方程組，解方程組求出符合題意的根的值；

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，字母機(jī)、f表示相同的單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A/(祖，2m)即M(f,2r),由點(diǎn)M(f,2f)

在直線y=-r+f+l的圖象上求出，的一個(gè)特殊值，再結(jié)合函數(shù)圖象確定/的取值范圍.

【解答】解：(1)根據(jù)題中條件，A(0,3m),P(0,2zn),Q(0,m),

由旋轉(zhuǎn)得M(m,2m),N(-m,m),

.?.當(dāng)m=l時(shí),M(1,2),N(-1,1),如圖1.

故答案為：M(1,2),N(-1,1).

(2)存在.

過(guò)B(-1,/)、C(1,D(0,/+1)三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)為。(0,什1),

設(shè)該拋物線為y=kx1+t+\,則k+t+\=t,

解得k--1,

.?.y=-N+.+i,

當(dāng)t=2時(shí)，y=~/+3；

如圖2,點(diǎn)M（相，2m）在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)該直線為則ma=2m,

解得〃=2,

**?y=2.xi

由（y=-x2+3,得卜=1或卜=-3（不符合題意，舍去）,

y=2xIy=2ly=_6

???點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，即M（l,2）,

**?m=t.

.?.點(diǎn)N在直線BC上運(yùn)動(dòng).

由M（r,2力在直線y=-N+f+1上，

得2t—-P+f+1,

解得或弋二^Ill（不符合題意，舍去）

T2x2

如圖3,當(dāng)0＜也近二時(shí)，線段MN上的所有點(diǎn)都在圖形G內(nèi)部（包括邊界）;

如圖4,當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)M在直線BC的下方,不符合題意，舍去.

綜上所述，0〈心匠1,

2

故答案為：0〈心得1.