2025屆阜陽市高三數(shù)學上學期第一次段考試卷附答案解析

屆阜陽市高三數(shù)學上學期第一次段考試卷

本卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、單選題共8題共40分1、若集合，，則（

）

A．B．[0，1]C．D．2、下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)，又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．3、函數(shù)與的圖象關于直線對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）

A．B．C．D．4、已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，且，都有，，則的解集為（

）

A．B．C．D．5、已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為

A．B．C．D．6、已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）

A．B．1C．2D．97、心形代表浪漫的愛情，人們用它來向所愛之人表達愛意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營造出一個精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為（

）

A．B．C．D．8、已知，則的大小關系為（

）

A．B．C．D．

二、多選題共3題共18分9、下列說法正確的是（

）

A．函數(shù)（且）的圖象恒過定點B．若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象D．的零點所在的一個區(qū)間為10、若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．

A．B．C．D．11、已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（

）

A．B．為偶函數(shù)C．的周期為4D．

三、填空題共3題共15分12、計算：________.

13、已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為______．

14、已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍是______.

四、解答題共5題共77分15、已知集合，且.(1)若“命題，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.

16、已知函數(shù)滿足．(1)求證：是周期函數(shù)(2)若，求的值．(3)若時，，試求，時，函數(shù)的解析式．

17、在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．(1)設從2021年底起經(jīng)過年后新能源汽車保有量為輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從且和且兩種函數(shù)模型中選擇一個最恰當?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關于的函數(shù)關系式；(2)2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：）

18、已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：．

19、設函數(shù)的定義域為.給定閉區(qū)間，若存在，使得對于任意，①均有，則記；②均有，則記.(1)設，求；(2)設.若對于任意，均有，求的取值范圍；(3)已知對于任意?與均存在.證明：“為上的增函數(shù)或減函數(shù)”的充要條件為“對于任意兩個不同的?與中至少一個成立”.

2024-2025學年度北外新華高三年級第一學期第一次段考數(shù)學試卷一、單選題共8題共40分1、若集合，，則（

）

A．B．[0，1]C．D．【答案】D先求得集合，，再求其并集即可．由，得，故，由，得，故，故．故選：D．2、下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)，又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．【答案】C要判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)，只要檢驗f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷即可．A：，f（-x）=-x-為奇函數(shù)，不符合條件；B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），為偶函數(shù)，但是在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上單調(diào)遞增，符合題意；D：y=2|x|-x2滿足f（-x）=f（x），即為偶函數(shù)，但是在（0，+∞）有，不是單調(diào)遞增，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義的簡單應用，屬于基礎試題．3、函數(shù)與的圖象關于直線對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）

A．B．C．D．【答案】B【解析】由條件求得，利用復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減即可得解.【解答】由題意可得函數(shù)，則令，求得，故的定義域為，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減可知，即轉化為求函數(shù)在上的減區(qū)間.所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上的減區(qū)間為，故選：B.4、已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，且，都有，，則的解集為（

）

A．B．C．D．【答案】D根據(jù)給出的條件求出函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性求出上的單調(diào)性以及零點，進而求出的解集.解：由題意在函數(shù)中，，為奇函數(shù)，∴，∵對于任意的，且，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當時，若，則；若，則，此時.故選：D.5、已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為

A．B．C．D．【答案】C利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程.因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點處的切線方程為，故所求的切線方程為.故選：C.6、已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）

A．B．1C．2D．9【答案】D利用基本不等式以及一元二次不等式求解.因為，所以,所以，即所以，解得，當且僅當，解得或時等號成立，所以當時有最大值為9.故選:D.7、心形代表浪漫的愛情，人們用它來向所愛之人表達愛意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營造出一個精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為（

）A．B．C．D．【答案】C根據(jù)奇偶性和最值排除錯誤答案即可.A選項：，故A錯誤；B選項：記，則，故為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；C選項：記，則，故為偶函數(shù)，當時，，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故C正確；D選項：記，則，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意，故D錯誤.故選：C.8、已知，則的大小關系為（

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A．B．C．D．【答案】D，構造函數(shù)，利用作差法比較函數(shù)的大小確定函數(shù)值的大小.構造函數(shù)，令，，則所以在單增，所以，所以，所以，所以.令,，，所以在為減函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：比較幾個數(shù)值的大小可以將這些數(shù)值看作幾個函數(shù)的函數(shù)值，通過比較函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的大小確定函數(shù)值的大小.函數(shù)比較大小可以用導數(shù)研究單調(diào)性來確定，還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小.二、多選題共3題共18分9、下列說法正確的是（

）

A．函數(shù)（且）的圖象恒過定點B．若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象D．的零點所在的一個區(qū)間為【答案】ACD對A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可求解；對B，由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對C，根據(jù)三角函數(shù)的平移原則即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結合零點存在性定理即可判斷.對于A，令，解得，，所以恒過定點，故選項A正確；對于B，因為，，為真命題，則，解得，故B錯誤；對于C，函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，故C正確；對于D，因為在上均單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，，則根據(jù)零點存在性定理知其零點所在的一個區(qū)間為，故D正確.故選：ACD10、若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．

A．B．C．D．【答案】BCD求出函數(shù)的導數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.函數(shù)的定義域為，求導得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD11、已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（

）

A．B．為偶函數(shù)C．的周期為4D．【答案】ABD根據(jù)及得，通過賦值，結合判斷A；根據(jù)題意結合偶函數(shù)判斷B；通過賦值根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期為6，并且結合及賦值法求得，進而求和判斷D.對于A：，故A正確；對于B：根據(jù)及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因為，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)關系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.三、填空題共3題共15分12、計算：________.

【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)的運算法則即可計算.原式.故答案為：.13、已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為______．

【答案】由題可得，利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題即得.由題意得由題可得，時，故在上單調(diào)遞增，，由題可得，時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，解得故答案為：.14、已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍是______.

【答案】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令可得，或，由條件結合圖象可得的取值范圍.當時，，所以，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當時，，當時，，當時，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長速度更快，從而，當時，，所以，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當時，，當時，，當時，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長速度更快，從而，當，且時，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點個數(shù)與方程的解的個數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數(shù)與方程解的個數(shù)相等，而方程的解的個數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)相等，由圖可知：當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.四、解答題共5題共77分15、已知集合，且.(1)若“命題，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2)（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.（1）因為，所以命題是真命題，可知，因為，，，,故的取值范圍是.（2）若是的充分不必要條件,得是的真子集，，，解得，故的取值范圍是.16、已知函數(shù)滿足．(1)求證：是周期函數(shù)(2)若，求的值．(3)若時，，試求，時，函數(shù)的解析式．

【答案】(1)證明見解析(2)(3)（1）由題意條件推出，得到函數(shù)的周期；（2）由（1）中的函數(shù)周期得到；（3）根據(jù)函數(shù)的周期和時的函數(shù)解析式，求出時的函數(shù)解析式，再由函數(shù)周期及，求出時的函數(shù)解析式，得到答案.（1）證明：由題意知，則．用代替x得，故是周期為4的周期函數(shù)．（2）若，則．（3）當時，，則，又周期為4，所以．當時，，則，根據(jù)周期為4，則．又，所以．所以解析式為17、在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．(1)設從2021年底起經(jīng)過年后新能源汽車保有量為輛，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從且和且兩種函數(shù)模型中選擇一個最恰當?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關于的函數(shù)關系式；(2)2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】(1)應選函數(shù)模型是且，理由見解析，(2)2030年底（1）由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，所以應該選擇指數(shù)模型，然后將和代入函數(shù)中可求出，從而可求得關于的函數(shù)關系式；（2）設從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，由題意得，化簡后兩邊取對數(shù)可求得結果.（1）由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，因此應該選擇指數(shù)模型，應選函數(shù)模型是且，由題意得，解得，所以．（2）設從2021年底起經(jīng)過年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為輛，則有，令，即，化簡得，解得，故從2021年底起經(jīng)過9年后，即2030年底新能源汽車的保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車的保有量．18、已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：．

【答案】(1)答案見解析(2)證明過程見解析（1）先求定義域，再求導，分，，和四種情況，求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）變形得到，構造，定義域為，求導，結合零點存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的單調(diào)性和最小值，求出最小值.（1）的定義域為，故，若時，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，若時，，故在上單調(diào)遞增，若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時，，令得或，令得，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），即，令，定義域為，，其在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理得，存在唯一的，使得，即，故，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，其中，兩邊取對數(shù)得，故，所以，證畢.【點睛】關鍵點點睛：由導函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，證明出不等式.19、設函數(shù)的定義域為.給定閉區(qū)間，若存在，使得對于任意，①均有，則記；②均有，則記.(1)設，求；(2)設.若對于任意，均有，求的取值范圍；(3)已知對于任意?與均存在.證明：“為上的增函數(shù)或減函數(shù)”的充要條件為“對于任意兩個不同的?與中至少一個成立”.

【答