數(shù)學(xué)同步側(cè)控：直角坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步側(cè)控我夯基,我達(dá)標(biāo)1.如圖，在正方體OABC—O1A1B1C1中，棱長(zhǎng)為2,E是B1B上的點(diǎn),且｜EB｜=2|EBA。(2,2，1）B。（2，2，）C.(2，2，）D.(2，2,）解析：設(shè)E（x,y,z）,由EB⊥平面xOy及棱長(zhǎng)為2知x=2，y=2。由|EB｜=2｜EB1|知EB=,所以z=，即E（2，2,）。答案：D2.平行四邊形ABCD中三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(—1,2)、（3，0）、（5,1），則D的坐標(biāo)是（)A.（9，—1)B.(-3，1)C.(1，3）D.（2，2)解析：平行四邊形對(duì)邊互相平行,即斜率相等，可求出D點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)D（x,y）,則,即∴故D（1,3）.答案：C3.已知點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，2，），則E點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（)A.(-2，-2，1）B。（-2，—2，）C.（-2，-2，）D.（2，2，）解析：求對(duì)稱點(diǎn)時(shí),關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱，哪個(gè)坐標(biāo)不變，其余相反.答案：C4.點(diǎn)(2，0，3）在空間直角坐標(biāo)系的位置是（）A。y軸上B。xOy平面上C.xOz平面上D。第一象限內(nèi)解析:畫(huà)出坐標(biāo)系,找到點(diǎn)（2，0，3）的位置，可知在xOz平面上。答案:C5.點(diǎn)M（2,-3，1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（）A.(-2，3，—1）B.（—2，-3，—1）C.（2，-3，—1）D.（—2，3，1）解析：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，每個(gè)軸上坐標(biāo)都互為相反數(shù)。答案：A6.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為1,求B1關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，B1思路分析：可以設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)列方程組求解。解：設(shè)B1關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為P（x0,y0,z0）,可知B為B1P的中點(diǎn),又B（1，1，0），B1(1，1，1）,∴得∴P(1，1,—1).再設(shè)B1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)為M（x1,y1，z1），可知O為B1M的中點(diǎn),又O（0,0，0），B1（1，1，1），∴得∴M（-1，—1，—1）.7。有一種大型商品，A、B兩地都有銷售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，每千米運(yùn)回的費(fèi)用：A地是B地的3倍，已知A、B兩地相距10千米，顧客選A或B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買(mǎi)地點(diǎn).思路分析:將問(wèn)題看作數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用坐標(biāo)法列式求解。解:如圖，以A、B所確定的直線為x軸，AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（-5,0）、B（5，0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為（x，y）,且P地居民選擇A地購(gòu)買(mǎi)商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/千米，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米。所以3a≤a.因?yàn)閍＞0，所以3≤.兩邊平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5）2+y2，即(x+)2+y2≤（)2，所以以點(diǎn)(，0）為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓是這兩地售貨區(qū)域的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購(gòu)買(mǎi)便宜；圓外的居民從B地購(gòu)買(mǎi)便宜；圓上的居民從A、B兩地購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用相等，可隨意從A、B兩地之一購(gòu)買(mǎi)。我綜合,我發(fā)展8。在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M（a，b,c），關(guān)于下列敘述:①點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是M1(a，-b，c）；②點(diǎn)M關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)M2的坐標(biāo)是(a，—b,—c）;③點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是M3（a，-b，c);④點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是M4（-a，-b，c）。其中正確敘述的個(gè)數(shù)是（）A.3B.2C。1D。0解析:①②③④全錯(cuò)。答案：D9.△ABC中,若BC的長(zhǎng)度為4,中線AD的長(zhǎng)為3，則A點(diǎn)的軌跡方程是____________。解析:取B、C所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則B（—2，0）,C（2，0),D(0，0）。設(shè)A（x，y)，所以|AD|=。答案：x2+y2=9(y≠0)10。在河CM的一側(cè)有一塔CD=5m，河寬BC=3m，另一側(cè)有點(diǎn)A，且AB=4m，求點(diǎn)A與塔頂D的距離AD。思路分析：可以建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求AD長(zhǎng).解：以C點(diǎn)為原點(diǎn),CB、CD、CM所在的直線分別為x軸、z軸、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A（3，4，0），D(0，0，5）.所以|AD｜=（m),即點(diǎn)A與塔頂D的距離AD等于m。11.正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng),CM=BN=a（0＜a＜).(1）求MN的長(zhǎng)；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小?思路分析：本題的求解方法盡管很多,但利用坐標(biāo)法求解，應(yīng)該說(shuō)是既簡(jiǎn)捷,又易行的方法。方法的對(duì)照比較，也更體現(xiàn)出坐標(biāo)法解題的優(yōu)越性。解：(1）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE，所以BE⊥平面ABC。所以AB、BC、BE兩兩垂直.以B為原點(diǎn)，分別以BA、BE、BC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則M(a，0,1-a），N（a,a，0）.則｜MN｜=.(2）由（1)知當(dāng)a=時(shí),｜MN｜最短，長(zhǎng)度為.此時(shí)，M、N恰為AC、BF的中點(diǎn).12.如圖，已知A、B、C是直線m上的三點(diǎn)，且|AB｜=｜BC｜=6，⊙O′切直線m于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作⊙O′異于m的兩切線,切點(diǎn)分別為D、E,設(shè)兩切線交于點(diǎn)P，(1）當(dāng)⊙O′的半徑改變時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)C分所成比等于2∶3，求直線l的方程.思路分析：（1）先根據(jù)圓切線的定義,可得到點(diǎn)P的軌跡是橢圓,然后建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程來(lái);(2）根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái),列出方程組求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求出直線方程。解:(1）∵|PE｜=｜PD|,｜BD｜=｜BA|,|CE｜=｜CA｜,∴｜PB｜+｜PC｜=|PD｜+|DB｜+｜CE|-|PE｜=｜BD|+|CE|=｜AB｜+|CA｜=18＞6=｜BC｜，∴P點(diǎn)軌跡是以B、C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于18的橢圓。以B、C兩點(diǎn)所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則可設(shè)橢圓的方程是（a＞b＞0）。∵a=9，c=3,∴b2=72?！郟點(diǎn)的軌跡方程是（y≠0)。（2）設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C（3,0）分MN所成的比為2∶3,則整理，得又，∴。由①又，②由①②消去y2,得。解之，得x2=—3,y2=±8,即N(-3，±8).∴由C、N可得直線的方程是4x+3y-12=0或4x—3y-12=0。13.如圖,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米,隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米）思路分析:（1)當(dāng)最大拱高h(yuǎn)為定值時(shí),隧道設(shè)計(jì)的拱寬l即為2a；(2）當(dāng)最大拱高h(yuǎn)為變量時(shí)，可根據(jù)均值定理,得到半個(gè)橢圓面積的最小值.解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,4.5），橢圓方程為.將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=。∴l(xiāng)=2a=≈33。3。故隧道的拱寬約為33.3米。（2）由橢圓方程及P點(diǎn)坐標(biāo),得。因?yàn)椤?即ab≥99，且l=2a，h=b,所以S=lh=≥.當(dāng)S取最小值時(shí)，有,得a=,b=.此時(shí),l=2a=≈31.1,h=b≈6。4。故當(dāng)拱高約為6。4米，拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.我創(chuàng)新，我超越14。設(shè)有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)，B向北直行，A先向東直行，出村后不久,改變前進(jìn)方向，沿著與村落周界相切的直線前進(jìn),后來(lái)恰與B相遇。設(shè)A、B兩人速度一定,其速度比為3∶1，問(wèn)兩人在何處相遇？思路分析:注意到村落為圓形，且A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)分別沿東、北方向運(yùn)動(dòng),于是可設(shè)想以村落的中心為原點(diǎn)，以開(kāi)始時(shí)A、B的前進(jìn)方向?yàn)閤、y軸,建立直角坐標(biāo)系，這就為建立解析幾何模型創(chuàng)造了條件.解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/時(shí),v千米/時(shí)，再設(shè)A出發(fā)x0小時(shí)，在點(diǎn)P處改變方向，又經(jīng)過(guò)y0小時(shí),在點(diǎn)Q處與B相遇,則P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3v