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文檔簡介

一背景二逆矩陣的概念與性質三應用四小結第三節(jié)逆矩陣課前復習矩陣運算加法數(shù)乘矩陣與矩陣相乘轉置矩陣伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣矩陣的冪線性運算對稱矩陣反對稱矩陣乘法運算中的１，在數(shù)的運算中，當數(shù)a≠０時，則稱為的倒數(shù)，個矩陣，在矩陣的運算中，一、背景1、數(shù)2、矩陣則矩陣Ａ稱為的可逆矩陣，（或稱為的逆）；有單位陣Ｅ相當于數(shù)的那么，對于矩陣Ａ，如果存在一有稱為的逆陣.3、線性變換它的系數(shù)矩陣是一個ｎ階矩陣，若記則上述線性變換可表示為按Cramer法則，若，則由上述線性變換可解出再按第列展開得即則可用線性表示為若令易知這個表達式是唯一的.這是從到的線性變換，稱為原線性變換的逆變換.若把此逆變換的系數(shù)記作，則此逆變換也可以記作為恒等變換所對應的矩陣，故因此于是有由此，可得可見又例使得的逆矩陣記作二、逆矩陣的概念和性質1、定義對于階矩陣，如果有一個階矩陣，則稱矩陣是可逆的，是的逆矩陣.并把矩陣稱為的逆矩陣.若設和是可逆矩陣，則有所以的逆矩陣是唯一的,即說明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.證明于是例1設,求的逆.解設則證明，使得兩邊求行列式，有定理1若矩陣可逆，則若矩陣可逆，則即有定理2矩陣可逆的充要條件是，且其中為矩陣的伴隨矩陣.證明因為矩陣與其伴隨矩陣有，故有又因為所以，按逆矩陣的定義，即有當時，稱為奇異矩陣；證明推論若或，則當時，稱為非奇異矩陣.2、奇異矩陣與非奇異矩陣易知于是只證時，3、運算規(guī)律（設均是階可逆方陣）1）若且證明由推論，即有2）若且且3）若，且同階，推廣證明4）若且5）若6）若證明且證明而因為所以為整數(shù)）（其中7）其它的一些公式8）一些規(guī)定四、應用例2求下列矩陣的逆，其中解1）依對角矩陣的性質知：依矩陣的逆的定義，必有易知：解2）即計算其中例３的行列式.解例４求解設且滿足有而設求例5其中為矩陣的伴隨矩陣.解例6解矩陣方程解設例7證明方法三方法一方法二所以可逆.由，得例8可逆，并求它們的逆矩陣.由設方陣滿足方程，證明證明所

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