安徽省合肥市長豐中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

安徽省合肥市長豐中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列四個命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對稱2．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④3．與向量平行，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.4．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.5．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.26．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.7．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°8．已知：，直線l：，M為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.49．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.曲線上 B.曲線上C.直線上 D.直線上二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，，，則______14．某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為4，且，，，，的平均數(shù)為8，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套______萬只15．若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為______16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值18．（12分）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，求實(shí)數(shù)a的值19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.20．（12分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦的長度.21．（12分）某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計(jì)該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對于選項(xiàng)A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取最小值，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故D正確.2、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長和面積同時(shí)等分為兩個部分，故②錯誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長和面積同時(shí)等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B3、A【解析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A4、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.5、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.6、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C7、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計(jì)算得解.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B8、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線長得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B9、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：10、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B11、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，12、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡，進(jìn)而求出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，可知其在曲線上.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】運(yùn)用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，因此有：，即，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，故答案為：.14、2【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡求得正確答案.【詳解】依題意設(shè)，則，.故答案為：15、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10016、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結(jié)果；第二空：由與關(guān)系可推導(dǎo)出之間的關(guān)系，再由遞推公式即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】，可得由，可知時(shí)，故時(shí)即可化為又故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：①；②三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)椋耘c不垂直，所以與平面不垂直【小問2詳解】解：設(shè)，則，，因?yàn)槠矫妫?，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為18、或3【解析】設(shè)出切點(diǎn)，先求和平行且和函數(shù)相切的切線，再將切線和聯(lián)立，求出的值.【詳解】設(shè)公共切線曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得公共切線的斜率，所以，所以與函數(shù)的圖像相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可求出公共切線方程為由直線和函數(shù)的圖像也相切，得方程，即關(guān)于x的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得或319、（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】（1）把代入，然后對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對進(jìn)行分類討論，其中當(dāng)和時(shí)易判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，而當(dāng)時(shí)，的最小值與0進(jìn)一步判斷【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).故有極大值，沒有極小值.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于對于任意恒成立.令，則.若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.若，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上可知，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了不等式恒成立問題，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過討論參數(shù)在不同取值范圍時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解出參數(shù)的范圍.必要時(shí)二次求導(dǎo).20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）將直線方程化為，解方程得出定點(diǎn)；（2）求出圓心到直線的距離，再由幾何法得出弦長.【小問1詳解】證明：因?yàn)橹本€，所以．令，解得，所以不論取何值，直線必過定點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，直線為，圓心圓心到直線的距離，則21、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級共有學(xué)生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學(xué)生640人，

∴由樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數(shù)學(xué)成績在[40，50)與[90，100]兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10.

如果一個成績