2025屆北京市北方交通大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2025屆北京市北方交通大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或4．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或147．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.8．設(shè)，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或69．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.11．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面12．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)___________.15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍城的“心形”區(qū)域的面積小于316．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過，傾斜角為與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）已知是拋物線上的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程.19．（12分）（1）已知集合，．：，：，并且是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）已知：，，：，，若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點(diǎn)F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程22．（10分）已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)（1）求與所成角的大??；（2）求與平面所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值3、D【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.4、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯(lián)立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.5、B【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解：直線過點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，由圖，可知，，當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)故選：B6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時(shí)，取得最大值，故選：C7、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點(diǎn)在圓上，，即，故選A【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半功倍，信手拈來8、A【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】由，即，解得，因?yàn)?故.故選：A.9、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.10、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C11、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量兩兩共面時(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量兩兩共面，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D12、A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【詳解】解：因?yàn)樵谥校?，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解析】當(dāng)時(shí)，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、①②【解析】根據(jù)題意，先判斷曲線關(guān)于軸對(duì)稱，由基本不等式的性質(zhì)對(duì)方程變形，得到，可判定①正確；當(dāng)時(shí)，，得到曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，可判定②正確；由軸的上方，圖形的面積大于四點(diǎn)圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點(diǎn)圍成的三角形的面積，可判斷③不正確.【詳解】根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于①中，當(dāng)時(shí)，，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線還經(jīng)過點(diǎn)，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，所以①正確；對(duì)于②中，由①可知，當(dāng)時(shí)，，即曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，所以②正確；對(duì)于③中，因?yàn)樵谳S的上方，圖形的面積大于四點(diǎn)圍成的矩形的面積，在軸的下方，圖形的面積大于三點(diǎn)圍成的三角形的面積，所以曲線所圍城的“心形”區(qū)域的面積大于3，所以③不正確.故選：①②16、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動(dòng)的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線有共同漸近線，可令雙曲線方程為，求出即可得雙曲線的方程；（2）根據(jù)已知有直線為，由其與雙曲線的位置關(guān)系，結(jié)合弦長公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點(diǎn)得：，即，∴雙曲線方程為，即.（2）由（1）知：，即直線方程為.設(shè)，聯(lián)立得，滿足且，，由弦長公式得，點(diǎn)到直線的距離.所以【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線，根據(jù)雙曲線共漸近線求雙曲線方程，由直線與雙曲線的相交位置關(guān)系求原點(diǎn)與交點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，綜合應(yīng)用了弦長公式、點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18、【解析】由拋物線的方程可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，寫出向量的坐標(biāo)，由向量間的關(guān)系得到，將點(diǎn)代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設(shè)①在上，將①代入可得：，即.【點(diǎn)睛】求軌跡方程，一般是求誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對(duì)于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解，然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).19、（1）；（2）【解析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，又由，求得集合，根據(jù)命題是命題的充分條件，所以，列出不等式，即可求解（2）依題意知，均為假命題，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求解【詳解】（1）由，∵，∴，，∴，所以集合，由，得，所以集合，因?yàn)槊}是命題的充分條件，所以，則，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）依題意知，，均為假命題，當(dāng)是假命題時(shí)，恒成立，則有，當(dāng)是假命題時(shí)，則有，或.所以由均為假命題，得，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合命題的真假求參數(shù)，以及充要條件的應(yīng)用，其中解答中正確得出集合間的關(guān)系，列出不等式，以及根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題20、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時(shí)，易得λ的值；斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，，∴；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運(yùn)用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.21、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點(diǎn)為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，得到，，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，解得，所以或，所以直線的方程為或22、（1）60°；（2）