2024年新教材高中數(shù)學第十章概率單元檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE10單元素養(yǎng)檢測(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.下列事務(wù)中的隨機事務(wù)為 ()A.若a,b,c都是實數(shù),則a(bc)=(ab)cB.沒有水和空氣,人也可以生存下去C.拋擲一枚硬幣,反面對上D.在標準大氣壓下,溫度達到60℃時水沸騰【解析】選C.A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律,對隨意實數(shù)a,b,c是恒成立的,故A是必定事務(wù).在沒有空氣和水的條件下,人是肯定不能生存下去的,故B是不行能事務(wù).拋擲一枚硬幣時,在沒得到結(jié)果之前,并不知道會是正面對上還是反面對上,故C是隨機事務(wù).在標準大氣壓的條件下,只有溫度達到100℃,水才會沸騰,當溫度是60℃時,水是肯定不會沸騰的,故D是不行能事務(wù).2.從含有3個元素的集合中任取一個子集,所取的子集是含有兩個元素的集合的概率是 ()A. B. C. D.【解析】選D.全部子集共8個,其中含有2個元素的有3個,所以概率為.3.某人從甲地去乙地共走了500m,途中要過一條寬為xm的河流,他不當心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品不掉在河里,則能找到,已知該物品能找到的概率為,則河寬為 ()A.100m B.80m C.50m D.40m【解析】選A.設(shè)河寬為xm,則1-=,所以x=100.4.從一批羽毛球中任取一個,假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3,質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32,那么質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)的概率是 ()A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68【解析】選B.記“取到羽毛球的質(zhì)量小于4.8g”為事務(wù)A,“取到羽毛球的質(zhì)量不小于4.85g”為事務(wù)B,“取到羽毛球的質(zhì)量在[4.8,4.85)范圍內(nèi)”為事務(wù)C.易知事務(wù)A,B,C互斥,且A∪B∪C為必定事務(wù).所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.5.有分別寫著數(shù)字1到120的120張卡片,從中取出1張,這張卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率是 ()A. B. C. D.【解析】選D.是2的倍數(shù)的數(shù)有60個,是3的倍數(shù)的數(shù)有40個,是6的倍數(shù)的數(shù)有20個,所以P==.6.從某地區(qū)的兒童中選擇體操學員,已知兒童體型合格的概率為,身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為,從中任挑一兒童,這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒有影響) ()A. B. C. D.【解析】選D.設(shè)“兒童體型合格”為事務(wù)A,“身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格”為事務(wù)B,則P(A)=,P(B)=.又A,B相互獨立,則,也相互獨立,則P()=P()P()=×=,故至少有一項合格的概率為P=1-P()=.7.一場5局3勝制的乒乓球?qū)官?當甲運動員先勝2局時,競賽因故中斷.已知甲、乙水平相當,每局甲勝、乙勝的概率都為,則這場競賽的甲、乙取勝的概率比(甲∶乙)應(yīng)為 ()A.6∶1 B.7∶1 C.3∶1 【解析】選B.甲前2局已勝,甲勝有三種狀況:①甲第3局勝為A1,P(A1)=;②甲第3局負、第4局勝為A2,P(A2)=×=;③第3局、第4局甲負,第5局甲勝為A3,P(A3)=××=.故甲勝的概率為P(A1)+P(A2)+P(A3)=,乙勝的概率則為.8.設(shè)兩個獨立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)等于 ()A. B. C. D.【解析】選D.由P(A∩)=P(B∩)得P(A)P()=P(B)·P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P(∩)=,所以P()=P()=.所以P(A)=.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列事務(wù):①假如a,b是實數(shù),那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北風;③當x是實數(shù)時,x2≥0;④一個電影院某天的上座率超過50%,其中是隨機事務(wù)的有 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】選BD.由題意可知①③是必定事務(wù),②④是隨機事務(wù).10.下列事務(wù)中,是隨機事務(wù)的為 ()①在學校明年召開的田徑運動會上,學生張濤獲得100米短跑冠軍;②在體育課上,體育老師隨機抽取一名學生去拿體育器材,抽到李凱;③從標有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?恰為1號簽;④在標準大氣壓下,水在4℃時結(jié)冰.A.① B.② C.③ D.④【解析】選ABC.①在明年運動會上,張濤可能獲冠軍,也可能不獲冠軍.②李凱不肯定被抽到.③任取一張不肯定為1號簽.④在標準大氣壓下水在4℃時不行能結(jié)冰,故①②③是隨機事務(wù),④是不行能事務(wù).11.下列說法不正確的是 ()A.事務(wù)A的概率為P(A),必有0<P(A)<1B.事務(wù)A的概率P(A)=0.999,則事務(wù)A是必定事務(wù)C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療,結(jié)果有380人有明顯的療效.現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計有明顯療效的可能性為76%D.某獎券的中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,肯定有5張中獎【解析】選ABD.A不正確,因為0≤P(A)≤1;若A是必定事務(wù),則P(A)=1,故B不正確;對于D,獎券的中獎率為50%,若某人購買此獎券10張,則可能會有5張中獎,所以D不正確.依據(jù)頻率與概率的關(guān)系知C正確.12.先后拋擲兩枚骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,則下列關(guān)系正確的是 ()A.P1<P3 B.P1<P2C.P2<P3 D.P2<P1【解析】選ABC.先后拋擲兩枚骰子的點數(shù)共有36個樣本點:(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),并且每個樣本點都是等可能發(fā)生的.而點數(shù)之和為12的只有1個:(6,6);點數(shù)之和為11的有2個:(5,6),(6,5);點數(shù)之和為10的有3個:(4,6),(5,5),(6,4),故P1<P2<P3.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.一個袋子中有5個紅球,3個白球,4個綠球,8個黑球,假如隨機地摸出一個球,記A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出綠球},D={摸出紅球},則P(A)=________;P(B)=________;

P(C∪D)=________.

【解析】由古典概型的算法可得P(A)==,P(B)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=+=.答案:14.有一個數(shù)學難題,在半小時內(nèi),甲能解決的概率是,乙能解決的概率是,兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它,則兩人都未解決的概率為________,問題得到解決的概率為________.

【解析】甲、乙兩人都未能解決的概率為=×=,問題得到解決就是至少有一人能解決問題.所以問題得到解決的概率為1-=.答案:15.甲、乙兩組各有三名同學,他們在一次測驗中的成果的莖葉圖如圖所示,假如分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學,則這兩名同學的成果相同的概率是________.

【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學,共有9種選法,其中這兩名同學的成果相同的選法只有1種,故所求概率P=.答案:16.箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個整數(shù);從箱子中任取一張卡片,登記它的讀數(shù)x,然后再放回箱子中;其次次再從箱子中任取一張卡片,登記它的讀數(shù)y,則x+y是10的倍數(shù)的概率為________.

【解析】先后兩次取卡片,形成的有序數(shù)對有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共計100個.因為x+y是10的倍數(shù),這些數(shù)對應(yīng)當是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10個,故x+y是10的倍數(shù)的概率為P==.答案:四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)隨機抽取一個年份,對西安市該年4月份的天氣狀況進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天起先實行連續(xù)2天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率.【解析】(1)在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,4月份任選一天,西安市不下雨的概率為=.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如,1日與2日,2日與3日等).這樣,在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16個,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為.以頻率估計概率,運動會期間不下雨的概率為.18.(12分)小王、小李兩位同學玩擲骰子(骰子質(zhì)地勻稱)嬉戲,規(guī)則:小王先擲一枚骰子,向上的點數(shù)記為x;小李后擲一枚骰子,向上的點數(shù)記為y.(1)在平面直角坐標系xOy中,以(x,y)為坐標的點共有幾個?(2)規(guī)定:若x+y≥10,則小王贏;若x+y≤4,則小李贏,其他狀況不分輸贏.試問這個嬉戲規(guī)則公允嗎?請說明理由.【解析】(1)由于x,y取值為1,2,3,4,5,6,則以(x,y)為坐標的點有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36個,即以(x,y)為坐標的點共有36個.(2)滿意x+y≥10的點有:(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6個,所以小王贏的概率是=,滿意x+y≤4的點有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個,所以小李贏的概率是=,則小王贏的概率等于小李贏的概率,所以這個嬉戲規(guī)則公允.【補償訓練】某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別,公司打算了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A飲料,另外2杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯A飲料,若該員工3杯都選對,則評為優(yōu)秀;若3杯選對2杯,則評為良好;否則評為合格.假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別實力.(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率.(2)求此人被評為良好及以上的概率.【解析】將5杯飲料編號為1,2,3,4,5,編號1,2,3表示A飲料,編號4,5表示B飲料,則從5種飲料中選出3杯的全部可能狀況為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10種,令D表示此人被評為優(yōu)秀的事務(wù),E表示此人被評為良好的事務(wù),F表示此人被評為良好及以上的事務(wù),則(1)P(D)=.(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.19.(12分)對某班一次測驗成果進行統(tǒng)計,如下表所示:分數(shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率0.010.020.040.170.360.250.15(1)求該班成果在[80,100]內(nèi)的概率;(2)求該班成果在[60,100]內(nèi)的概率;【解析】記該班的測試成果在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)依次為事務(wù)A,B,C,D,由題意知事務(wù)A,B,C,D是彼此互斥的.(1)該班成果在[80,100]內(nèi)的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.(2)該班成果在[60,100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.20.(12分)連續(xù)拋擲兩顆骰子,設(shè)第一顆點數(shù)為m,其次顆點數(shù)為n,則求(1)m+n=7的概率;(2)m=n的概率;(3)m·n為偶數(shù)的概率.【解析】(m,n)的總個數(shù)為36.(1)事務(wù)A={m+n=7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6個,則P(A)==.(2)事務(wù)B={m=n}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}共6個,則P(B)==.(3)事務(wù)C={m·n為偶數(shù)},分為奇數(shù)×偶數(shù),偶數(shù)×奇數(shù),偶數(shù)×偶數(shù)3類,所以共有3×3+3×3+3×3=27個.所以P(C)==.21.(12分)甲、乙兩名跳高運動員在一次2米跳中學勝利的概率分別為0.7,0.6,且每次試跳勝利與否相互之間沒有影響,求:(1)甲試跳三次,第三次才勝利的概率;(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利的概率;(3)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的勝利次數(shù)恰好多一次的概率.【解析】記“甲第i次試跳勝利”為事務(wù)Ai,“乙第i次試跳勝利”為事務(wù)Bi,依題意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6且Ai,Bi相互獨立.(1)“甲試跳三次,第三次才勝利”為事務(wù)∩∩A3,且這三次試跳相互獨立.所以P(∩∩A3)=P()P()·P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利”為事務(wù)C.P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88.(3)記“甲在兩次試跳中勝利n次”為事務(wù)Mn(n=0,1,2),“乙在兩次試跳中勝利n次”為事務(wù)Nn(n=0,1,2),因為事務(wù)“甲、乙各試跳兩次,甲比乙的勝利次數(shù)恰好多一次”可表示為M1∩N0+M2∩N1,且M1∩N0,M2∩N1為互斥事務(wù),則所求的概率為P(M1∩N0+M2∩N1)=P(M1∩N0)+P(M2∩N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4=0.0672+0.2352=0.3024.所以甲、乙每人試跳兩次,甲比乙的勝利次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.22.(12分)把參與某次鉛球投擲的同學的成果(單位:米)進行整理,分成以下6個小組: