專(zhuān)題06三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】20222023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類(lèi)匯編專(zhuān)題06——三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題（重慶專(zhuān)用）1．（重慶市第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)試題）無(wú)人機(jī)愛(ài)好者小新嘗試?yán)脽o(wú)人機(jī)測(cè)量他家所住的樓房AB的高度．小新站在距離樓房60米的O處，他操作的無(wú)人機(jī)在離地面高度303米的P處，無(wú)人機(jī)測(cè)得此時(shí)小新所處位置O的俯角為60°，樓頂A處的俯角為30°．（O，P，A，B在同一平面內(nèi)）(1)求樓房AB的高度；(2)在（1）的條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于OB的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)？【答案】(1)AB=203(2)經(jīng)過(guò)15秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)．【分析】（1）作PQ⊥AB，交OB于Q，AC⊥PQ，交PQ于C，由題意可知，∠POB=60°，OB=60米，PQ=303米，四邊形ACQB為矩形，AC與飛行方向平行，可得OQ，QB，（2）延長(zhǎng)OA與飛行方向相交于D，由（1）知AB=203米，OB=60米，可得∠AOB=30°，則∠PDO=∠【詳解】（1）解：作PQ⊥AB，交OB于Q，AC⊥PQ，交由題意可知，∠POB=60°，OB=60則OQ=∴QB=∵AC⊥PQ，PQ⊥AB，易知四邊形∴AB=CQ，AC=∴PC=∴AB=（2）延長(zhǎng)OA與飛行方向相交于D，由（1）知AB=203米，∴tan∠AOB∴∠AOB∴∠PDO=∠AOB∴PD=∵無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于OB的方向繼續(xù)勻速向前飛行，∴無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)的時(shí)間為：60÷4=15秒，即：經(jīng)過(guò)15秒，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)小新的視線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．2．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）2022年8月21日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無(wú)情，人間有愛(ài)，各地消防迅速出動(dòng)，沖鋒在前，共抗險(xiǎn)情．消防員在縉云山山腳A觀(guān)測(cè)到一處著火點(diǎn)D的仰角為30°，然后沿著坡比為5:12的斜坡前進(jìn)104米到達(dá)B處平臺(tái)，繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)C，測(cè)得斜坡CD的坡角為37°，沿斜坡CD前行800米到達(dá)著火點(diǎn)D．(1)求著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度；(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s，求消防員通過(guò)平臺(tái)BC的時(shí)間．（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈【答案】(1)著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度為520米(2)41.2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B,C,D分別作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為E,F,G，延長(zhǎng)BC交AG于點(diǎn)H，則四邊形（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得AG=3DH=5203，解Rt【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B,C,D分別作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為E,F,G，延長(zhǎng)BC交依題意，tan∠BAE=512，AB=104在Rt△ABE中，BEAE=5∴AB=13∵AB=104∴k=8∴BE=5×8=40,A在Rt△DCH中，CD∴DG=DH+HG即著火點(diǎn)D距離山腳的垂直高度為520米；（2）解：依題意，∠DAG∴AG=∵Rt△DCH中，又AE=96∴BC=∵消防員在平地的平均速度為4m/s，∴消防員通過(guò)平臺(tái)BC的時(shí)間為5203【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)試題）如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌BC，小華準(zhǔn)備利用所學(xué)的在角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以小華從點(diǎn)A處滑坡度為i=1:3的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P處，測(cè)得廣告牌底部C的仰角為45°，廣告牌頂部B的仰角為53°，小華的身高忽略不計(jì)，已知廣告牌BC=12米．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6(1)求P處距離水平地面的高度；(2)求建筑物BO的高度．【答案】(1)15(2)67m【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AO于H，根據(jù)坡比設(shè)PH=3x，AH=3x，用勾股定理求得AP=23（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OC于G，先證四邊形PGOH為矩形，得PH=OG，在利用三角形函數(shù)解Rt△BPG可得CG【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AO于H，∵i=1:3∴設(shè)PH=3x∴AP=3∵從點(diǎn)A處滑坡度為i=1:3的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P處，∴AP=30∴x=15∴PH=15（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OC于∴∠PGO∴四邊形PGOH為矩形，∴PH=∵∠CPG∴∠CPG∴PG=設(shè)PG=∴BG=在Rt△BPG中，tan∠BPG∴tan53°=y∴y=40m，即∴BO=【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角與坡比問(wèn)題，熟練掌握仰角與坡比的定義，勾股定理，三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4．（重慶市沙坪壩區(qū)南開(kāi)中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在一場(chǎng)足球比賽中，進(jìn)攻方甲隊(duì)三名球員A、C、D，與乙隊(duì)的防守球員B的位置如圖所示．此時(shí)足球在球員A腳下，他想將球繞過(guò)對(duì)手B傳至隊(duì)友D處，再由D經(jīng)線(xiàn)路DC回傳給隊(duì)友C．已知對(duì)手B在A(yíng)的北偏東60°方向，AB=12米．球員C在對(duì)手B的正東方向，BC=3米．球員D在隊(duì)友C的正北方向，且在隊(duì)友A的北偏東37°方向．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，(1)求傳球線(xiàn)路CD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）；(2)根據(jù)對(duì)手B的跑動(dòng)和攔截范圍估計(jì)，對(duì)手B可以破壞掉在B點(diǎn)5米范圍內(nèi)的球．球員D經(jīng)線(xiàn)路DC傳球給隊(duì)友C的同時(shí)，隊(duì)友C沿CD方向去接球，已知球速為10m/s，球員C的平均速度為8m/s．計(jì)算說(shuō)明球員C是否能避開(kāi)防守順利接到球？【答案】(1)12米(2)無(wú)法攔截【分析】（1）延長(zhǎng)DC交AQ于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AQ，垂足為P，證明平行四邊形BCQP是矩形，分別求出DQ、（2）求出CE、【詳解】（1）延長(zhǎng)DC交AQ于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AQ，垂足為P，∵BC∥∴∴四邊形BCQP是平行四邊形∵∴平行四邊形BCQP是矩形∴CQ=BP∵∠BAM=60°∴∠BAP=30°∴BPAP=∴AQ∴DQ∴CD答：CD的長(zhǎng)為12米（2）設(shè)點(diǎn)C與球相遇于點(diǎn)E，連接BE，設(shè)ts后C10解得，t:2所以，CE=8×23∵337∴BE大于5，故無(wú)法攔截【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解此題的關(guān)鍵是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．5．（重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，為學(xué)校旁邊一座小山的截面圖．已知AB是水平線(xiàn)，經(jīng)測(cè)量AB=1712米，BC、CD、AD是斜坡，斜坡BC的坡角為37°，坡長(zhǎng)為1000米，CD⊥BC，斜坡AD的坡比為i=5:12，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB垂足為E．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75(1)求坡頂C到水平線(xiàn)AB的距離；(2)某徒步愛(ài)好者小明沿著這個(gè)截面按照B→C→D→A的路線(xiàn)走完全程，求小明所走的總路程．【答案】(1)600(2)2128【分析】（1）根據(jù)已知條件，在Rt△CEB中，tanB=CEBE=34，CE（2）過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥CE于N，Rt△CND中，tan∠NCD=NDNC=34，DN2+CN2【詳解】（1）解：∵CE⊥AB垂足為E，斜坡BC的坡角為37°，坡長(zhǎng)為1000米∴∠CEB=90°，∠∴Rt△CEB中，tanB∴設(shè)CE=3k∴BC=5解得：k=200∴CE=3答：坡頂C到水平面AB的距離為600m（2）過(guò)D作DM⊥AB于M，DN∴∠CND∵CD∴∠B∴∠B∴Rt△CND中，tan∠∴設(shè)DN=3x，CN=4∵DM⊥AB，DN∴∠DNE∴四邊形NEMD是矩形，∴NE=DM=600-4∵斜坡AD的坡比為i=5:12∴Rt△ADM中tan∠A=∴DM:∵AB=1712m，∴AM=1712-800-3∴MDMA∴x=80∴DM=600-4∴AD=135∴BC+答：小明所走的總路程是2128m【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022年重慶市第一中學(xué)校九年級(jí)下學(xué)期階段性消化作業(yè)（四）（一診）數(shù)學(xué)試題）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線(xiàn)通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A(yíng)處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A(yíng)處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，7【答案】(1)265米(2)會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分別為（2）根據(jù)題意，設(shè)BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD,根據(jù)題意可得∠BPA∴∠BAERt△ABE中，∴BE=AB∵AC∴ECRt△BCE中，（2）會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由如下，∵ABRt△ABD中，∵141<150，∴該條航道被這片淺灘區(qū)域影響，根據(jù)題意，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，設(shè)BF=150Rt△BFD中，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得被影響的航道長(zhǎng)度為100米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，理解題意構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖是某景區(qū)的觀(guān)光扶梯建設(shè)示意圖．起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3∶2的扶梯AB，扶梯總長(zhǎng)為1013米．但這樣坡度大陡，扶梯太長(zhǎng)容易引發(fā)安全事故．工程師修改方案：修建AC、DE兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平臺(tái)CD形成的∠ACD為135°，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為30°，AC段扶梯長(zhǎng)20米．（參考數(shù)據(jù)：2(1)求點(diǎn)A到BE的距離．(2)DE段扶梯長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）【答案】(1)30米(2)DE【分析】（1）作AH⊥EB于H，設(shè)（2）延長(zhǎng)DC交AH于N，作DG⊥EB于G，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AN=CN=102，然后根據(jù)30°【詳解】（1）解：如圖所示，作AH⊥EB于H，∵扶梯AB的坡度為3∶2，∴設(shè)AH=3∵AH⊥EB∴AB2=∴解得x1∴AH=3∴點(diǎn)A到BE的距離為30米；（2）延長(zhǎng)DC交AH于N，作DG⊥EB于∵∠∴∠在Rt△ACN中，AC∴AN∵AH∴HN∵四邊形DGHN是矩形∴DG在Rt△DEG∴DE=【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并正確作出輔助線(xiàn)．8．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行10千米到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的北偏東60°．(1)求此時(shí)漁船距離直線(xiàn)AB的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．(2)漁船到達(dá)點(diǎn)C后，按原航向繼續(xù)航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)D等待補(bǔ)給，此時(shí)漁船在點(diǎn)B的南偏東75°的方向．在漁船到達(dá)點(diǎn)D的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20千米的速度前往D處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能在80分鐘內(nèi)到達(dá)點(diǎn)D嗎？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】(1)漁船距離直線(xiàn)AB的距離為52(2)能，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出△AFC是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，根據(jù)（1）得出△ABH是等腰直角三角形，根據(jù)題意得出∠HBD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得BD的長(zhǎng)，然后計(jì)算出補(bǔ)給船80分鐘的路程，比較即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，依題意，∠EAB=∠GBA∴∠FAC在Rt△AFC中，即漁船距離直線(xiàn)AB的距離為52（2）解：∵∠GBC=60°，∴∠ABC∴BC=2∴BF=∴AB=如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)依題意，∠∴∠D∴∠HBD在Rt△ABH中，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH=∴BD=∵一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20千米的速度前往D處，80分鐘=43小時(shí)，∵26.7>15.78，∴補(bǔ)給船能在80分鐘內(nèi)到達(dá)點(diǎn)D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方位角的計(jì)算，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處．(1)問(wèn)B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）(2)假設(shè)有一圓形暗礁區(qū)域，它的圓心位于射線(xiàn)PB上，距離燈塔150海里的點(diǎn)O處．圓形暗礁區(qū)域的半徑為60海里，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，就有觸礁的危險(xiǎn)．①請(qǐng)判斷海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．②如果海倫從B處繼續(xù)向正北方向航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】(1)70.7海里(2)①海輪到達(dá)B處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析；②海輪從B處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D，求出∠A=30°，得PD=50（2）①求出OB的長(zhǎng)，即可；②過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交于E，求出OE的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D．由題意可知，PA=100海里，∠APD=90°-30°=60°∴∠A∴PD在Rt△PBD中，∴△PBD是等腰直角三角形，∴PB=2答：B處距離燈塔P約70.7海里．（2）解：①海輪到達(dá)B處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：由題意知：OP=150海里，PB∴OB=OP-PB∴海輪到達(dá)B處沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．②海輪從B處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交于E，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)則∠OEB∵∠OBE∴==752∴海輪從B處繼續(xù)向正北方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形求解．10．（重慶市萬(wàn)州區(qū)第二高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計(jì)劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面AD與通道BC平行，通道水平寬度BC為8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的長(zhǎng)為6米，通道斜面AB的坡度i=1：2．（1）求通道斜面AB的長(zhǎng)；（2）為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面CD的坡度變緩，修改后的通道斜面DE的坡角為30°，求此時(shí)BE的長(zhǎng)．（答案均精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5≈2.24，6≈2.45）【答案】（1）通道斜面AB的長(zhǎng)約為7.4米；（2）BE的長(zhǎng)約為4.9米．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，再根據(jù)∠BCD=135°，通道斜面CD的長(zhǎng)為6米，就可以得出通道的高度DM，AN=DM，再根據(jù)通道斜面AB的坡度i=1：2，就可以求出通道斜面AB的長(zhǎng)；（2）修改后的通道斜面DE的坡角為30°和DM高度可以求出EM長(zhǎng)度，EC=EMCM，BE=BCEC即可得出答案【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=CD=3，∴AN=DM=3，∵通道斜面AB的坡度i=1：，∴tan∠ABN==，∴BN=AN=6，∴AB==3≈7.4．即通道斜面AB的長(zhǎng)約為7.4米；（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，∴EM=DM=3，∴EC=EM﹣CM=3﹣3，∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3≈4.9．即此時(shí)BE的長(zhǎng)約為4.9米．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際問(wèn)題中三角形知識(shí)的應(yīng)用，主要考查已知角和邊的情況求其它三角形的邊角情況.11．（重慶市第一中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，某火車(chē)站A位于東西方向火車(chē)軌道l上，小區(qū)B在火車(chē)站A的西北方向400米處，小區(qū)C在火車(chē)站A的北偏東15°方向上，小區(qū)C在小區(qū)B的北偏東60°方向上．(1)求火車(chē)站A與小區(qū)C之間的距離（精確到1米）；(2)火車(chē)在行駛過(guò)程中，周?chē)?00米內(nèi)都能聽(tīng)到它發(fā)出的噪聲，深夜更加明顯，一列火車(chē)從火車(chē)站A向西行駛，火車(chē)發(fā)出的噪聲會(huì)影響小區(qū)B的住戶(hù)嗎？如果受到影響，需要在軌道旁安裝降噪裝置，請(qǐng)求出需安裝降噪裝置的軌道長(zhǎng)度；如果不受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】(1)546米(2)受影響，安裝降噪裝置的軌道長(zhǎng)度200米【分析】（1）根據(jù)題意，得∠ABC=75°，∠ACB=45°，∠BAC=60°，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥l于點(diǎn)M，得到∠MAB=∠MBA=45°，根據(jù)AB=400米，求得AM=BM=2002米，小于300米，判定受到影響，以300米為腰長(zhǎng)，以BM為高構(gòu)造等腰三角形BNQ，根據(jù)勾股定理計(jì)算MQ=3002-200【詳解】（1）如圖，根據(jù)題意，得∠所以∠過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)所以∠所以CD=因?yàn)锳B=400所以AD=200米，BD所以AC=（2）受到影響，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥l于點(diǎn)所以∠MAB因?yàn)锳B=400所以AM=BM=200所以小區(qū)B受到影響，以300米為腰長(zhǎng)，以BM為高構(gòu)造等腰三角形BNQ，根據(jù)勾股定理計(jì)算MQ=300所以NQ=2MQ=200【點(diǎn)睛】本題考查了解斜三角形，解直角三角形的應(yīng)用，判定是否受影響，熟練掌握化斜為直的基本輔助線(xiàn)，正確判定是否受到影響是解題的關(guān)鍵．12．（重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，一貨船從港口A(yíng)出發(fā)，以40海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得小島C在B的東北方向，且在點(diǎn)A的北偏東30°方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin(1)求BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時(shí)的速度沿BC趕往小島C維修，同時(shí)向維修站D發(fā)出信號(hào)，在D處的維修船接到通知后立即準(zhǔn)備維修材料，之后以50海里/小時(shí)的速度沿DC前往小島C，已知D在A(yíng)的正東方向上，C在D的北偏西37°方向，通知時(shí)間和維修船準(zhǔn)備材料時(shí)間一共6分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明維修船能否在貨船之前到達(dá)小島C．【答案】(1)BC的距離為77海里(2)維修船能在貨船之前到達(dá)小島C【分析】（1）過(guò)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，由題意可得MC=MB，設(shè)MC=MB=x，則MA=x+40，通過(guò)勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行列方程求解即可；（2）結(jié)合三角函數(shù)和平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解并比較即可得到解答．【詳解】（1）過(guò)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，由題意得，AB=40×1=40由題意得，在Rt△BCM中，∴MC=設(shè)MC=MB=在Rt△ACM中，∴xx+40解得x=20∴MB=在Rt△MBC中，∴BC=（2）∵CM=20∴AH=∵AM∥∴∠1=∠CAM∴tan∠1=∴CH=∵CH∥DN，∴∠2=∠NDC∴cos∠2=cos37°=CH∴CD=貨船從B到C用時(shí)：77÷30=77∵6分鐘=1∴7730∴3715∵CD=75+25∴能在貨船之前到達(dá)小島C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合、勾股定理的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用和平行線(xiàn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022年重慶市第八中學(xué)校中考全真模擬考試強(qiáng)化訓(xùn)練（四）數(shù)學(xué)試題）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島20千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行106千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少．（結(jié)果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)2【答案】(1)102(2)從B處沿南偏東45°出發(fā)，最短行程20【分析】（1）過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，則AD為所求，根據(jù)已知條件得到∠BAD=45°即可解答；（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到∠C=30°，∠DBC=60°，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出∠DBE的度數(shù)，即可得到【詳解】（1）解：過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，∵垂線(xiàn)段最短，AC上的D點(diǎn)距離B點(diǎn)最近，AD即為所求，由題意可知：∠BAF=30°，∴∠BAD∴漁船航行102km時(shí)，距離小島（2）解：在Rt△BDC中，∴∠C=30°，∴BC∵∠ABD=45°，∴∠DBE∴∠EBC答：從B處沿南偏東45°出發(fā)，最短行程20【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．14．（重慶市第一中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C處，烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽(yáng)帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)，15分鐘后，他們?cè)谟慰椭行腁的北偏西37°方向的點(diǎn)D處相遇．(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.8,【答案】(1)6km/h；(2)1.37km．【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長(zhǎng)，即路程，則速度=路程÷時(shí)間，代入計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，設(shè)AE=CE=akm，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，得矩形【詳解】（1）根據(jù)題意可知：AB=2∴BD=∴1.5÷15答：媽媽步行的速度為6km/h；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∵∠CAE∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE=CE，設(shè)AE=過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，得矩形∴EF=DB=1.5(∴CF=在Rt△CDF中，tan∠DCF∴tan30°≈a∴33∴a=9+∴DF=∴CD=2答：明明從C處到D處的距離約為1.37km．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，掌握方向角定義．15．（重慶市大渡口區(qū)第九十五初級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）“五一”節(jié)期間，許多露營(yíng)愛(ài)好者在我市郊區(qū)露營(yíng)，為遮陽(yáng)和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹(shù)干EF上的點(diǎn)E處，使得A，D，E在一條直線(xiàn)上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開(kāi)合，AC=AD=2m，BF=3m．(1)天晴時(shí)打開(kāi)“天幕”，若∠α=65°，求遮陽(yáng)寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點(diǎn)E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14【答案】(1)遮陽(yáng)寬度CD約為3.6(2)點(diǎn)E下降的高度約為1.6【分析】（1）在Rt△AOD中，利用正弦可得OD（2）設(shè)點(diǎn)E下降到點(diǎn)E'，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E'作E'N⊥AB于點(diǎn)【詳解】（1）解：由題意得：△ACD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴∠AOC∵AC=AD∴OD∴CD答：遮陽(yáng)寬度CD約為3.6m（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)E下降到點(diǎn)E'，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E'作E'則四邊形BFEM和四邊形BFE∴EM∴BM-BN當(dāng)∠α=65°時(shí)，當(dāng)∠α=45°時(shí)，則EE答：點(diǎn)E下降的高度約為1.6m【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、軸對(duì)稱(chēng)圖形、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．16．（2022年重慶市沙坪壩區(qū)初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，某社區(qū)公園內(nèi)有A，B，C，D四個(gè)休息座椅，并建有一條從A-B-C-D-A的四邊形循環(huán)健身步道．經(jīng)測(cè)量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB長(zhǎng)40米，步道CD長(zhǎng)20米．（A，B，C，D在同一平面內(nèi)，步道寬度忽略不計(jì)．結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，6(1)求步道BC的長(zhǎng)；(2)公園管理處準(zhǔn)備將四邊形ABCD的內(nèi)部區(qū)域全部改建成兒童活動(dòng)區(qū)，經(jīng)調(diào)研，改建兒童活動(dòng)區(qū)成本為每平方米200元．社區(qū)公園目前可用資金為18萬(wàn)元，計(jì)算此次改建費(fèi)用是否足夠？【答案】(1)步道BC的長(zhǎng)為24米；(2)此次改建費(fèi)用足夠．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，垂足為G，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，根據(jù)題意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，BE的長(zhǎng)，再在Rt△GCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG，DG的長(zhǎng)，從而求出BF的長(zhǎng)，最后在Rt△CBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，即可解答；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+梯形BEGC的面積+△CGD的面積，進(jìn)行計(jì)算即可求出四邊形ABCD的面積，然后再求出此次改建費(fèi)用，進(jìn)行比較即可解答．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∴∠1=∠2=∠3=90°，在Rt△ABE中，∴∠4=30°，∴sin∠A∴BE=在Rt△CDF中，∴sin∠D=sin60°=在矩形CGEF中，GE=∴BG=在Rt△CBG，∠3=90°，且∴tan∠5=tan45°=CG∴CG=∴BC=答：步道BC的長(zhǎng)為24米．（2）在Rt△ABE中1，∴cos∠A∴AE=在Rt△CDF中，∴cos∠D∴DF=∴S==1∴總共花費(fèi)：200×875=175000，∵180000>175000，答：此次改建費(fèi)用足夠．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．17．（重慶市重慶市沙坪壩區(qū)第八中學(xué)校20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)自主學(xué)習(xí)檢查數(shù)學(xué)試題）夜晚，小明站在兩路燈AB、CD之間的點(diǎn)F處，小明身高EF=1.5m，如圖，若BD=10m，他在路燈AB下的影子為FM，在路燈(1)若FB=4m，F(xiàn)N=3m，求路燈CD(2)若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在兩路燈AB、CD之間行走（不包括點(diǎn)B，點(diǎn)D），則線(xiàn)段NM的長(zhǎng)是否為定值?若是，請(qǐng)求出【答案】(1)4.5(2)是，NM=5【分析】（1）由題可知△CDN∽△EFN，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到EFCD=NF（2）由題可知△ABM∽△EFM，△CDN∽△EFN，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到NFND=EFCD，MF【詳解】（1）解：由題可知，△CDN∽△EFN，則EFCD∵FB=4m，F(xiàn)N=3∴BN=FB-又∵EF=1.5故1.5CD解得CD=4.5（2）解：線(xiàn)段NM的長(zhǎng)是定值為5m由題可知△ABM∽△EFM∴NFND=EFCD?NF=∵AB=CD=4.5∴4.5NF化簡(jiǎn)得3NF∵NM=NF+MF，∴3NM解得NM=5故線(xiàn)段NM的長(zhǎng)是定值為5m【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．18．（2022年重慶市九龍坡區(qū)六校九年級(jí)下學(xué)期階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在一筆直的海岸線(xiàn)l上有A，B兩個(gè)觀(guān)測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．(1)求觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線(xiàn)AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】(1)觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離為（102+10(2)可以在82分鐘內(nèi)到達(dá)C處【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長(zhǎng)，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)BD＋AD＝AB，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．先解Rt△ABF，得出BF的長(zhǎng)，再解Rt△BCF，得出BC的長(zhǎng)，從而求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠PDB在Rt△PBD中，∠PBD∴sin45°=PD∴PD=102∴∠BPD=90°∠PBD=45°．∴BD=PD=102在Rt△ADP中，∠PAD∴tan30∴AD∴AB=AD+BD=（102+10答：觀(guān)測(cè)站A，B之間的距離為（102+10（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．∠BFC=∠BFA=在Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=（5由題意，∠ABC∴∠C=180°∠ABC∠BAC=45°．在Rt△BCF中，sin45∴BC=2BF=（10+103補(bǔ)給船從B到C的航行時(shí)間為：10+103∴可以在82分鐘內(nèi)到達(dá)C處.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，難度適中．通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)