專題01平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）-2022-2023學年七年級數學下冊《高分突破培優(yōu)新方法》（蘇科版）

專題01平行線模型“豬蹄”模型（M模型）專題說明專題說明幾何學有形象化的好處，幾何會給人以數學直覺，不能把幾何學等同于邏輯推理，只會推理，缺乏數學直覺，是不會有創(chuàng)造的?，F在初一的學生剛剛開始接觸幾何的證明，普遍會出現證明步驟不規(guī)范，在書寫的時候也會出現無從下手的情況，做題速度也普遍變慢，只有少數學生能夠在規(guī)定時間內正確作答。所以，只要學生能夠學會利用平行線的性質和判定的幾個基本模型去解決實際問題，會起到事半功倍的效果。本次課主要學習平行線模型“豬蹄”模型（M模型），為以后的學習打好一個堅實的基礎?！灸Ｐ团傥觥磕Ｐ鸵弧柏i蹄”模型（M模型）點P在EF左側，在AB、CD內部“豬蹄”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2021秋?船山區(qū)期末）已知AB∥CD，點M、N分別是AB、CD上的點，點G在AB、CD之間，連接MG、NG．請利用所學知識解決問題：（1）探究證明：如圖1，試探究∠MGN與∠AMG、∠CNG之間有什么數量關系，并說明理由．（2）拓展應用：如圖2，若∠AMG與∠CNG的平分線相交于點P，請直接寫出∠MGN與∠MPN之間的數量關系．（3）遷移提升：如圖3，若點P是CD下方一點，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，請直接寫出∠MGN+∠MPN的度數．【解答】解：（1）∠MGN＝∠AMG+∠CNG，理由如下：如圖1，過G作GH∥AB，∵AB∥CD，GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∴∠MGN＝∠HGM+∠HGN＝∠AMG+∠CNG；（2）∠MPN＝∠MGN，理由如下：由（1）得∠MPN＝∠AMP+∠CNP，∠MGN＝∠AMG+∠CNG，∵∠AMG與∠CNG的平分線相交于點P，∴∠AMP＝∠AMG，∠CNP＝∠CNG，∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP＝∠AMG+∠CNG＝（∠AMG+∠CNG）＝∠MGN，即∠MPN＝∠MGN；（3）如圖3，過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝30°+α，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，即∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°，即∠MGN+∠MPN的度數是90°．【變式11】（2021秋?九江期末）如圖．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度數．【解答】解：過點C作CF∥BA，如圖，∵CF∥BA，∴∠BCF＝∠B＝30°，∵BA∥DE，CF∥BA，∴CF∥DE．∵∠D＝40°，∴∠FCD＝∠D＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．【變式12】（2022秋?長春期末）（1）【問題】如圖1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．則∠EPF＝；（2）【問題歸納】如圖1，若AB∥CD，請猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之間有何數量關系？請說明理由；（3）【聯想拓展】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數量關系？直接寫出結論．【解答】解：（1）如圖1，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．故答案為：55°；（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，理由如下：如圖1，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下：如圖2，過P點作PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．【變式13】（2022春?天府新區(qū)月考）已知直線AB∥CD．直線EF分別與AB、CD交于點G、H，直線MS經過點G，與CD交于點P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如圖1所示，當∠EGM＝25°時，①求∠GPH的度數；②在直線MS上取一點O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度數．（2）如圖2所示，在射線GA上任取一點I，連接HI，∠IGP的角平分線GQ和∠IHC的角平分線HQ交于點Q，請寫出∠GQH、∠QGH、∠GIH間的數量關系，并說明理由．【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，∴∠BGM＝2×25°＝50°，∵AB∥CD，∴∠GPH＝∠BGM＝50°；②如圖1，過點O作ON∥AB，則∠MON＝∠BOM＝50°，∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：如圖2，過點Q作QN∥AB，則∠GQN＝∠AGQ，∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，∴∠AGS＝2∠FGS，∵GQ平分∠AGP，∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∵AB∥CD，∴∠GIH＝∠IHC，∵HQ平分∠IHC，∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，∵QN∥AB，AB∥CD，∴QN∥CD，∴∠NQH＝∠QHC，∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．【典例2】（2021秋?黔江區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請說明理由；（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數；（3）如圖3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，請你求出∠BED的度數（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）成立，理由：如圖1中，作EF//AB，則有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如圖2，過點E作EH//AB，∵AB//CD，∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如圖3，過點E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．【變式2】（2021秋?平頂山期末）（1）如圖1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接寫出∠BED的度數．（2）如圖2，AB∥CD，點E為直線AB，CD間的一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關系并說明理由．（3）如圖3，AB與CD相交于點G，點E為∠BGD內一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接寫出∠BED的度數．【解答】解：（1）如圖，過點E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；（2）∠BED＝2∠F，理由如下：過點E作EG∥AB，延長DE交BF于點H，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，∴∠BED＝2（∠2+∠3），∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，∴∠BED＝∠BED+∠F，∴∠BED＝2∠F；（3）如圖，延長DE交BF于點M，則有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，∴∠EBM+∠MDF＝35°，∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．【夯實基礎】1．（2022秋?陽曲縣校級期末）如圖，已知a∥b，則∠ACD的度數是（）A．45° B．60° C．73° D．90°【答案】C【解答】解：如圖，過點C作直線c∥a，則∠1＝28°．又∵a∥b，∴c∥b，∴∠2＝45°，∴∠ACD＝28°+45°＝73°．故選：C．2．（2022秋?榆樹市期末）如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【答案】D【解答】解：過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故選：D．3．（2022秋?肅州區(qū)校級期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都是凹面鏡．如圖，從光源P點照射到凹面鏡上的光線PA、PB等反射以后沿著與直線PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，則∠APB的度數為．【答案】94°【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，∴∠APE＝∠CAP＝36°，∵BD∥EF，∠DBP＝58°，∴∠BPE＝∠DBP＝58°，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．故答案為：94°．4．如圖，AB∥CD，點E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠AEC的度數是．【答案】110°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝50°，∵∠C＝60°，∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．故答案為：110°．5．（2022春?交城縣期中）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度數．（1）請你用兩種不同的方法解答這個問題；（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點M在直線BD上運動，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．①當點M在線段BD上運動時（不與點B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由．②如果點M在線段BD之外運動時，請你直接寫出∠AMC、∠α、∠β之間的數量關系．【解答】解：（1）方法一：如圖，過點M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝45°，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝37°，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝45°+37°＝82°．方法二：如圖，延長AM交CD于點E，∵AB∥CD，∴∠CEM＝∠BAM＝45°，∵∠DCM＝37°，∴∠CME＝180°﹣∠DCM﹣∠CEM＝98°，∴∠AMC＝180°﹣∠CME＝82°，（2）①∠AMC＝∠α+∠β．如圖，過點M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝∠α，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝∠β，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝∠α+∠β．②當點M在點B的上方時：∠AMC＝∠β﹣∠α；當點M在點B的下方時：∠AMC＝∠α﹣∠．6．（2022春?西城區(qū)校級期中）如圖①，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現作如下操作：第1次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，第2次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，第3次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．（1）如圖①，求證：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖②，求證：∠BE1C＝∠BEC；（3）從圖①開始進行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）．【解答】解：（1）如圖①，過E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖2．∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；（3）如圖2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此類推，∠En＝∠BEC，∴當∠En＝α度時，∠BEC＝2nα°．7．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點E．（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度數；（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，試求∠BED的度數（用含m、n的代數式表示）．【解答】解：（1）過E作EF∥AB，∴ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝25°，∴∠BEF＝25°，∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；（2）∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝n°，∴∠BEF＝，∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF＝m°，∴∠DEF＝，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝，即∠BED＝．8．（2022春?崇川區(qū)期中）已知AB∥CD，連接A，C兩點．（1）如圖1，∠CAB與∠ACD的平分線交于點E，則∠AEC等于度；（2）如圖2，點M在射線AB反向延長線上，點N在射線CD上．∠AMN與∠ACN的平分線交于點E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度數；（3）如圖3，圖4，M，N分別為射線AB，射線CD上的點，∠AMN與∠ACN的平分線交于點E．設∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），請直接寫出圖中∠MEC的度數（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵AE，CE分別平分∠BAC，∠ACD，∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，∴∠CAE+∠ACE＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝90°；故答案為：90．（2）如圖2，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠BME＝∠MEF，∠FMC＝∠ECD，∵ME，CE分別平分∠BMN，∠ACD，∴∠BME＝∠BMN＝22.5°，∠ECD＝∠ACD＝35°，∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝22.5°+35°＝57.5°；（3）①如圖3，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠AME+∠MEF＝180°，∵∠AME＝∠AMN＝α，∴∠MEF＝180°﹣α，∵∠ECD＝∠ACD＝β，∴∠FEC＝∠ECD＝β，∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝180°﹣α+β；②如圖4，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠AME＝∠MEF＝α，∠FEC+∠ECD＝180°，∵∠ECD＝∠ACD＝β，∴∠FEC＝180°﹣β，∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝180°﹣β+α．【能力提升】9．（2022秋?道里區(qū)校級月考）已知DM∥FG∥EN，點A在FG上，∠BAC的兩邊與DM相交于點B，與EN相交于點C，AP平分∠BAC．（I）如圖1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的數量關系為．（2）如圖2，在（1）的條件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求證AB⊥AC；（3）點B、C分別在點D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，請在備用圖中畫出相應的圖形，并求出∠DBA的度數．【解答】（1）解：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．理由：如圖1，∵AP平分∠BAC，DM∥FG∥EN，∴∠BAP＝∠PAC，∠GAC＝∠ACE，∴∠BAP＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，故答案為：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．（2）證明：如圖2，∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，∴∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE，∵∠PAG＝30°，∠DBA＝5∠ACE，∴5∠ACE＝∠ACE+60°，∴∠ACE＝15°，∴∠BAP＝∠PAG+∠ACE＝30°+15°＝45°，∠GAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAP+∠PAG+∠GAC＝45°+30°+15°＝90°，∵AB與AC都相交于直線FG上的A點，并且在同一平面內，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC（3）解：所畫圖形如圖3、圖4所示，設∠DBA＝x，在圖3中，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AP平分∠BAC，∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝45°，∵DM∥FG，∴∠BAG＝∠DBA＝x，∴∠PAG＝∠PAB+∠BAG＝45°+x，∵∠BAC＝90°，∴∠FAC＝90°﹣∠BAG＝90°﹣x，∵∠PAG＝∠FAC，∴45°+x＝90°﹣x，解得：x＝22.5°，∴∠DBA＝22.5°；在圖4中，，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AP平分∠BAC，∴∠P′AB＝∠P′AC＝∠BAC＝45°，∵DM∥FG，∴∠BAG＝∠DBA＝x，∴∠P′AG＝∠BAG﹣∠P′AB＝x﹣45°，∴∠PAG＝180°﹣∠P′AG＝180°﹣（x﹣45°）＝225°﹣x，∵∠CAG＝90°﹣x，∴∠FAC＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x，∵∠PAG＝∠FAC，∴225°﹣x＝90°+x，解得：x＝67.5°，∴∠DBA＝67.5°；綜上所述，∠DBA的度數為22.5°或67.5°．10．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知直線AB∥CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．（1）如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（2）如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．請直接寫出∠M與∠GQH之間的數量關系；（3）如圖3，若射線GH平分∠BGM，點N在MH的延長線上，連接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數．【解答】（1）證明：如圖1，過點M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，理由：∵MH是∠CHG的平分線，∴∠CHM＝∠MHG，由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，∴∠M＝∠MQG，∵∠MQG+∠HQG＝180°，∴∠M+∠HQG＝180°．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴∠FGM＝BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠M＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，過點H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．11．（2021秋?桐柏縣期末）如圖1，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別相交于A，B兩點，l4和l1，l2分別交于C，D兩點，點P在線段AB上．（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，則∠3＝；（2）試找出∠1，∠2，∠3之間的等量關系，并說明理由；（3）應用（2）中的結論解答下列問題：已知l1∥l2，點A，B在l1上，點C，D在l2上，連接AD，BC．AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°．①如圖2，當點B在點A的右側時，求∠AEC的度數；②如圖3，當點B在點A的左側時，直接寫出∠AEC的度數．【解答】解：（1）∵直線l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；∵∠1＝23°，∠2＝34°，∴∠3＝23°+34°＝57°，故答案為：57°；（2）∠3＝∠1+∠2，理由：∵直線l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；（3）①過E點作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；∴∠AEC的度數為53°；②∠AEC的度數為：143°；過E點作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，∴∠AEC的度數為143°．12．（2022春?江岸區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，∠MON＝90°．（1）求∠1+∠2的值；（2）如圖2，直線EF交∠BMO、∠CNO的角平分線分別于點F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；（3）如圖3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，則n＝（用t表示）．【解答】解：（1）過點O作OE∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴OE∥AB∥CD，∴∠EON＝∠1，∠EOM＝∠2，∴∠1+∠2＝∠EON+∠EOM＝∠MON＝90°；（2）過點E作EP∥CD，過點F作FQ∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴EP∥FQ∥AB∥CD，∵MF平分∠OMB，∴設∠BMF＝∠OMF＝α，∵EN平分∠ONC，∴設∠CNE＝∠ONE＝β，∠OND＝180°﹣2β，由（1）得：∠DNO+∠BMO＝90°，∴180°﹣2β+2α＝90°，∴β﹣α＝45°，又∵∠NEP＝∠CNE＝β，∠MFQ＝∠BMF＝α，∠PEF＝∠QFE，∴∠NEF﹣∠MFE＝（∠NEP+∠PEF）﹣（∠MFQ+∠QFE）＝∠CNE﹣∠BMF＝β﹣α＝45°；（3）過點P作PS∥AB，過點Q作QT∥AB，如圖：∵PS∥AB，∴∠SPM＝∠AMP，∵QT∥AB，∴QT∥PS，∴∠TQP＝∠QPS，∵AB∥CD，∴QT∥CD，∴∠DNQ＝∠NQT，由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，又∵∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，∴∠MPS﹣∠NQT＝t°，∴∠AMP﹣∠DNQ＝t°，∵∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，∴∠AMP＝（180°﹣∠BMO），∵∠DNQ＝n∠ONQ，∠DNQ+∠ONQ＝∠DNO，∴∠DNQ＝∠DNO，∴（180°﹣∠BMO）﹣∠DNO＝t°，∴﹣（∠BMO+∠DNO）＝﹣＝t°，∴n＝．故答案為：．13.（2022春?雙流區(qū)校級期中）已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內一點，連HM，HN．（