專題01平行線模型-“豬蹄”模型（M模型）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《高分突破培優(yōu)新方法》（蘇科版）

專題01平行線模型“豬蹄”模型（M模型）專題說(shuō)明專題說(shuō)明幾何學(xué)有形象化的好處，幾何會(huì)給人以數(shù)學(xué)直覺(jué)，不能把幾何學(xué)等同于邏輯推理，只會(huì)推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)，是不會(huì)有創(chuàng)造的?，F(xiàn)在初一的學(xué)生剛剛開(kāi)始接觸幾何的證明，普遍會(huì)出現(xiàn)證明步驟不規(guī)范，在書寫的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)無(wú)從下手的情況，做題速度也普遍變慢，只有少數(shù)學(xué)生能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正確作答。所以，只要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)利用平行線的性質(zhì)和判定的幾個(gè)基本模型去解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì)起到事半功倍的效果。本次課主要學(xué)習(xí)平行線模型“豬蹄”模型（M模型），為以后的學(xué)習(xí)打好一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。【模型刨析】模型一“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【典例1】（2021秋?船山區(qū)期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題：（1）探究證明：如圖1，試探究∠MGN與∠AMG、∠CNG之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，若∠AMG與∠CNG的平分線相交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠MGN與∠MPN之間的數(shù)量關(guān)系．（3）遷移提升：如圖3，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，請(qǐng)直接寫出∠MGN+∠MPN的度數(shù)．【解答】解：（1）∠MGN＝∠AMG+∠CNG，理由如下：如圖1，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∴∠MGN＝∠HGM+∠HGN＝∠AMG+∠CNG；（2）∠MPN＝∠MGN，理由如下：由（1）得∠MPN＝∠AMP+∠CNP，∠MGN＝∠AMG+∠CNG，∵∠AMG與∠CNG的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠AMP＝∠AMG，∠CNP＝∠CNG，∴∠MPN＝∠AMP+∠CNP＝∠AMG+∠CNG＝（∠AMG+∠CNG）＝∠MGN，即∠MPN＝∠MGN；（3）如圖3，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，設(shè)∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝30°+α，∵M(jìn)G平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，即∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°，即∠MGN+∠MPN的度數(shù)是90°．【變式11】（2021秋?九江期末）如圖．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥BA，如圖，∵CF∥BA，∴∠BCF＝∠B＝30°，∵BA∥DE，CF∥BA，∴CF∥DE．∵∠D＝40°，∴∠FCD＝∠D＝40°，∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．【變式12】（2022秋?長(zhǎng)春期末）（1）【問(wèn)題】如圖1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°．則∠EPF＝；（2）【問(wèn)題歸納】如圖1，若AB∥CD，請(qǐng)猜想∠BEP，∠PFD，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠BEP＝25°，∠2＝∠PFD＝30°，∴∠EPF＝∠1+∠2＝25°+30°＝55°．故答案為：55°；（2）∠EPF＝∠BEP+∠PFD，理由如下：如圖1，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠1＝∠BEP，∠2＝∠PFD，∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD；（3）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下：如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠FPN＝∠NPE+∠EPF＝∠PEA+∠EPF．【變式13】（2022春?天府新區(qū)月考）已知直線AB∥CD．直線EF分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，直線MS經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，與CD交于點(diǎn)P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如圖1所示，當(dāng)∠EGM＝25°時(shí)，①求∠GPH的度數(shù)；②在直線MS上取一點(diǎn)O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度數(shù)．（2）如圖2所示，在射線GA上任取一點(diǎn)I，連接HI，∠IGP的角平分線GQ和∠IHC的角平分線HQ交于點(diǎn)Q，請(qǐng)寫出∠GQH、∠QGH、∠GIH間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，∴∠BGM＝2×25°＝50°，∵AB∥CD，∴∠GPH＝∠BGM＝50°；②如圖1，過(guò)點(diǎn)O作ON∥AB，則∠MON＝∠BOM＝50°，∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥AB，則∠GQN＝∠AGQ，∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，∴∠AGS＝2∠FGS，∵GQ平分∠AGP，∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∵AB∥CD，∴∠GIH＝∠IHC，∵HQ平分∠IHC，∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，∵QN∥AB，AB∥CD，∴QN∥CD，∴∠NQH＝∠QHC，∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．【典例2】（2021秋?黔江區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)；（3）如圖3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，請(qǐng)你求出∠BED的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）成立，理由：如圖1中，作EF//AB，則有EF//CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH//AB，∵AB//CD，∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴，∵AB//CD，∴AB//CD//EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG//AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴，，∵AB//CD，∴AB//CD//EG，∴，，∴．【變式2】（2021秋?平頂山期末）（1）如圖1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接寫出∠BED的度數(shù)．（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E為直線AB，CD間的一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）如圖3，AB與CD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為∠BGD內(nèi)一點(diǎn)，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接寫出∠BED的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；（2）∠BED＝2∠F，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，∴∠BED＝2（∠2+∠3），∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，∴∠BED＝∠BED+∠F，∴∠BED＝2∠F；（3）如圖，延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)M，則有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，∴∠EBM+∠MDF＝35°，∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?陽(yáng)曲縣校級(jí)期末）如圖，已知a∥b，則∠ACD的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．73° D．90°【答案】C【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作直線c∥a，則∠1＝28°．又∵a∥b，∴c∥b，∴∠2＝45°，∴∠ACD＝28°+45°＝73°．故選：C．2．（2022秋?榆樹(shù)市期末）如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關(guān)系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【答案】D【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故選：D．3．（2022秋?肅州區(qū)校級(jí)期末）生活中常見(jiàn)的探照燈、汽車大燈等燈具都是凹面鏡．如圖，從光源P點(diǎn)照射到凹面鏡上的光線PA、PB等反射以后沿著與直線PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，則∠APB的度數(shù)為．【答案】94°【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，∴∠APE＝∠CAP＝36°，∵BD∥EF，∠DBP＝58°，∴∠BPE＝∠DBP＝58°，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．故答案為：94°．4．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠AEC的度數(shù)是．【答案】110°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝50°，∵∠C＝60°，∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．故答案為：110°．5．（2022春?交城縣期中）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度數(shù)．（1）請(qǐng)你用兩種不同的方法解答這個(gè)問(wèn)題；（2）問(wèn)題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)M在直線BD上運(yùn)動(dòng)，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．①當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②如果點(diǎn)M在線段BD之外運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠AMC、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝45°，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝37°，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝45°+37°＝82°．方法二：如圖，延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠CEM＝∠BAM＝45°，∵∠DCM＝37°，∴∠CME＝180°﹣∠DCM﹣∠CEM＝98°，∴∠AMC＝180°﹣∠CME＝82°，（2）①∠AMC＝∠α+∠β．如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝∠α，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝∠β，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝∠α+∠β．②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的上方時(shí)：∠AMC＝∠β﹣∠α；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方時(shí)：∠AMC＝∠α﹣∠．6．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖①，已知AB∥CD，CE、BE的交點(diǎn)為E，現(xiàn)作如下操作：第1次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點(diǎn)為E1，第2次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點(diǎn)為E2，第3次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點(diǎn)為En．（1）如圖①，求證：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖②，求證：∠BE1C＝∠BEC；（3）從圖①開(kāi)始進(jìn)行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接寫出結(jié)論）．【解答】解：（1）如圖①，過(guò)E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖2．∵∠ABE和∠DCE的平分線交點(diǎn)為E1，∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；（3）如圖2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此類推，∠En＝∠BEC，∴當(dāng)∠En＝α度時(shí)，∠BEC＝2nα°．7．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，已知直線a∥b，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直線BE、DE交于點(diǎn)E．（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度數(shù)；（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，試求∠BED的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）過(guò)E作EF∥AB，∴ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝25°，∴∠BEF＝25°，∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；（2）∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF，∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝n°，∴∠BEF＝，∵a∥b，∴AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE＝∠DEF，∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠DEF＝m°，∴∠DEF＝，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝，即∠BED＝．8．（2022春?崇川區(qū)期中）已知AB∥CD，連接A，C兩點(diǎn)．（1）如圖1，∠CAB與∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC等于度；（2）如圖2，點(diǎn)M在射線AB反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在射線CD上．∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度數(shù)；（3）如圖3，圖4，M，N分別為射線AB，射線CD上的點(diǎn)，∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），請(qǐng)直接寫出圖中∠MEC的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【解答】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵AE，CE分別平分∠BAC，∠ACD，∴∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，∴∠CAE+∠ACE＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝90°；故答案為：90．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠BME＝∠MEF，∠FMC＝∠ECD，∵M(jìn)E，CE分別平分∠BMN，∠ACD，∴∠BME＝∠BMN＝22.5°，∠ECD＝∠ACD＝35°，∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝22.5°+35°＝57.5°；（3）①如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠AME+∠MEF＝180°，∵∠AME＝∠AMN＝α，∴∠MEF＝180°﹣α，∵∠ECD＝∠ACD＝β，∴∠FEC＝∠ECD＝β，∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝180°﹣α+β；②如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴FE∥CD，∴∠AME＝∠MEF＝α，∠FEC+∠ECD＝180°，∵∠ECD＝∠ACD＝β，∴∠FEC＝180°﹣β，∴∠MEC＝∠MEF+∠CEF＝180°﹣β+α．【能力提升】9．（2022秋?道里區(qū)校級(jí)月考）已知DM∥FG∥EN，點(diǎn)A在FG上，∠BAC的兩邊與DM相交于點(diǎn)B，與EN相交于點(diǎn)C，AP平分∠BAC．（I）如圖1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在（1）的條件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求證AB⊥AC；（3）點(diǎn)B、C分別在點(diǎn)D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出相應(yīng)的圖形，并求出∠DBA的度數(shù)．【解答】（1）解：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．理由：如圖1，∵AP平分∠BAC，DM∥FG∥EN，∴∠BAP＝∠PAC，∠GAC＝∠ACE，∴∠BAP＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，故答案為：∠BAP＝∠PAG+∠ACE．（2）證明：如圖2，∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE，∴∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE，∵∠PAG＝30°，∠DBA＝5∠ACE，∴5∠ACE＝∠ACE+60°，∴∠ACE＝15°，∴∠BAP＝∠PAG+∠ACE＝30°+15°＝45°，∠GAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAP+∠PAG+∠GAC＝45°+30°+15°＝90°，∵AB與AC都相交于直線FG上的A點(diǎn)，并且在同一平面內(nèi)，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC（3）解：所畫圖形如圖3、圖4所示，設(shè)∠DBA＝x，在圖3中，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AP平分∠BAC，∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝45°，∵DM∥FG，∴∠BAG＝∠DBA＝x，∴∠PAG＝∠PAB+∠BAG＝45°+x，∵∠BAC＝90°，∴∠FAC＝90°﹣∠BAG＝90°﹣x，∵∠PAG＝∠FAC，∴45°+x＝90°﹣x，解得：x＝22.5°，∴∠DBA＝22.5°；在圖4中，，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AP平分∠BAC，∴∠P′AB＝∠P′AC＝∠BAC＝45°，∵DM∥FG，∴∠BAG＝∠DBA＝x，∴∠P′AG＝∠BAG﹣∠P′AB＝x﹣45°，∴∠PAG＝180°﹣∠P′AG＝180°﹣（x﹣45°）＝225°﹣x，∵∠CAG＝90°﹣x，∴∠FAC＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x，∵∠PAG＝∠FAC，∴225°﹣x＝90°+x，解得：x＝67.5°，∴∠DBA＝67.5°；綜上所述，∠DBA的度數(shù)為22.5°或67.5°．10．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知直線AB∥CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．（1）如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（2）如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．請(qǐng)直接寫出∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若射線GH平分∠BGM，點(diǎn)N在MH的延長(zhǎng)線上，連接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，理由：∵M(jìn)H是∠CHG的平分線，∴∠CHM＝∠MHG，由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，∴∠M＝∠MQG，∵∠MQG+∠HQG＝180°，∴∠M+∠HQG＝180°．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴∠FGM＝BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠M＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，過(guò)點(diǎn)H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．11．（2021秋?桐柏縣期末）如圖1，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別相交于A，B兩點(diǎn)，l4和l1，l2分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上．（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，則∠3＝；（2）試找出∠1，∠2，∠3之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用（2）中的結(jié)論解答下列問(wèn)題：已知l1∥l2，點(diǎn)A，B在l1上，點(diǎn)C，D在l2上，連接AD，BC．AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，直接寫出∠AEC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵直線l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；∵∠1＝23°，∠2＝34°，∴∠3＝23°+34°＝57°，故答案為：57°；（2）∠3＝∠1+∠2，理由：∵直線l1∥l2，∴∠ACD+∠CDB＝180°，即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；（3）①過(guò)E點(diǎn)作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；∴∠AEC的度數(shù)為53°；②∠AEC的度數(shù)為：143°；過(guò)E點(diǎn)作EF∥l1∥l2，∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，∵l1∥l2，AE，CE分別是∠BAD，∠BCD的平分線，∠α＝74°，∠β＝32°，∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，∴∠AEC的度數(shù)為143°．12．（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O在直線AB、CD之間，∠MON＝90°．（1）求∠1+∠2的值；（2）如圖2，直線EF交∠BMO、∠CNO的角平分線分別于點(diǎn)F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；（3）如圖3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，則n＝（用t表示）．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴OE∥AB∥CD，∴∠EON＝∠1，∠EOM＝∠2，∴∠1+∠2＝∠EON+∠EOM＝∠MON＝90°；（2）過(guò)點(diǎn)E作EP∥CD，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴EP∥FQ∥AB∥CD，∵M(jìn)F平分∠OMB，∴設(shè)∠BMF＝∠OMF＝α，∵EN平分∠ONC，∴設(shè)∠CNE＝∠ONE＝β，∠OND＝180°﹣2β，由（1）得：∠DNO+∠BMO＝90°，∴180°﹣2β+2α＝90°，∴β﹣α＝45°，又∵∠NEP＝∠CNE＝β，∠MFQ＝∠BMF＝α，∠PEF＝∠QFE，∴∠NEF﹣∠MFE＝（∠NEP+∠PEF）﹣（∠MFQ+∠QFE）＝∠CNE﹣∠BMF＝β﹣α＝45°；（3）過(guò)點(diǎn)P作PS∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QT∥AB，如圖：∵PS∥AB，∴∠SPM＝∠AMP，∵QT∥AB，∴QT∥PS，∴∠TQP＝∠QPS，∵AB∥CD，∴QT∥CD，∴∠DNQ＝∠NQT，由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，又∵∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，∴∠MPS﹣∠NQT＝t°，∴∠AMP﹣∠DNQ＝t°，∵∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，∴∠AMP＝（180°﹣∠BMO），∵∠DNQ＝n∠ONQ，∠DNQ+∠ONQ＝∠DNO，∴∠DNQ＝∠DNO，∴（180°﹣∠BMO）﹣∠DNO＝t°，∴﹣（∠BMO+∠DNO）＝﹣＝t°，∴n＝．故答案為：．13.（2022春?雙流區(qū)校級(jí)期中）已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點(diǎn)，連HM，HN．（