專題6.1比例及黃金分割專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典【蘇科版】專題6.1比例及黃金分割專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝，d＝2 D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝1【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解析】A、∵×3≠×2，∴四條線段不成比例；B、∵10×4≠5×6，∴四條線段不成比例；C、∵2×＝1×2，∴四條線段成比例；D、∵2×3≠1×4，∴四條線段不成比例．故選：C．2．（2022秋?邗江區(qū)月考）若＝，則下列式子正確的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解析】A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合題意；B、∵＝，∴≠，故B不符合題意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合題意；D、∵＝，∴＝，故D符合題意；故選：D．3．（2022秋?相城區(qū)校級(jí)月考）已知A、B兩地相距10km，在地圖上相距10cm，則這張地圖的比例尺為（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，直接求出即可．【解析】∵10km＝700000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故選：C．4．（2022春?宜興市校級(jí)月考）已知2a＝5b，則（a﹣b）：b的值為（）A．2：5 B．3：5 C．7：5 D．3：2【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】∵2a＝5b，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝，∴（a﹣b）：b的值為：3：2，故選：D．5．（2022秋?寶應(yīng)縣月考）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長(zhǎng)為（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義，即可得＝，又由a＝3，b＝0.6，c＝2，即可求得d的值．【解析】∵a、b、c、d四條線段是成比例的線段，∴＝，∵a＝3，b＝0.6，c＝2，∴＝解得：d＝0.4．故選：A．6．（2021秋?蘇州期末）若線段a＝2cm，線段b＝8cm，則a，b的比例中項(xiàng)c為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出c的值，注意線段不能為負(fù)．【解析】由比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．則c2＝ab，即c2＝2×8，解得c＝4，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．故選：A．7．（2022春?高新區(qū)校級(jí)期末）已知線段AB＝2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則線段AP的長(zhǎng)為（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．【解析】∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故選：D．8．（2021秋?句容市期末）如圖，P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示以PA為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)為AB，寬為PB的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到PA2＝PB?AB，利用矩形的面積得到S1＝S2．【解析】S1＝S2．理由如下：∵P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，∴PA2＝PB?AB，∴S1＝S2．故選：B．二．填空題（共8小題）9．（2022秋?靖江市期中）比例尺是1：3000的地圖上，某條街道的長(zhǎng)度為25cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為750米．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解析】設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度為xcm，則：＝，解得x＝7500075000cm＝750m．故答案為：750．10．（2022春?常熟市期中）已知＝3，則的值是﹣．【分析】先利用比例的性質(zhì)得到b＝2a，然后把b＝2a代入所求的代數(shù)式中，再進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【解析】∵＝3，∴b＝3a，∴＝＝＝﹣．故答案為：﹣．11．（2022秋?宜興市月考）已知線段a＝4cm，b＝5cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于2cm．【分析】設(shè)線段a、b的比例中項(xiàng)為xcm，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到x2＝20，然后求20的算術(shù)平方根即可．【解析】設(shè)線段a、b的比例中項(xiàng)為xcm，根據(jù)題意得x2＝ab＝4×5＝20，解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），即線段a、b的比例中項(xiàng)為2cm．故答案為：2．12．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的1.2倍．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．【解析】由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．13．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）已知＝＝≠0，則的值是．【分析】利用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】∵＝＝≠0，∴設(shè)＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝+＝+＝+＝+＝，故答案為：．14．（2020秋?梁溪區(qū)期末）若＝＝＝（b+d+f≠0），則＝．【分析】根據(jù)已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式計(jì)算即可．【解析】∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f．∴＝＝＝．故答案為：．15．（2022秋?蘇州期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長(zhǎng)的一段MG是全長(zhǎng)MN與較短的段GN的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，D是邊BC的“黃金分割”點(diǎn)，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，則AC的長(zhǎng)度是+1．【分析】過(guò)A作AE⊥BD于E，由黃金分割的定義得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE＝DE＝，則CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解決問(wèn)題．【解析】如圖，過(guò)A作AE⊥BD于E，∵D是邊BC的“黃金分割”點(diǎn)，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案為：+1．16．（2021?泰州模擬）2021年3月20日起，我國(guó)陸續(xù)公布了三星堆遺址考古最新發(fā)掘成果．地球表面緯度范圍是0～90°，對(duì)其進(jìn)行黃金分割，黃金分割點(diǎn)間地區(qū)特別適宜人類生活，產(chǎn)生了包括三星堆在內(nèi)的世界古文明，也囊括了大多發(fā)達(dá)國(guó)家．那么黃金地帶緯度的范圍是34.38°～55.62°．（黃金比為0.618）【分析】用90°×0.618，可得結(jié)論．【解析】90°×0.618＝55.62°，90°﹣55.62°＝34.38°，∴黃金地帶緯度的范圍是：34.38°～55.62°．故答案為：34.38°～55.62°三．解答題（共8小題）17．（2021秋?雨花區(qū)期末）已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【分析】根據(jù)比例分別設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，則＝＝．18．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）（1）已知，2x+y≠0，求的值．（2）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】（1）＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把x＝2k，y＝3k，z＝5k代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，即a+b＝﹣c，易得x＝﹣1；當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，利用等比性質(zhì)得到x＝2．【解析】（1）設(shè)＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝5k，∴＝＝﹣＝﹣；（2）當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，即a+b＝﹣c，則x＝＝﹣1；當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，x＝＝＝＝＝2，綜上所述，x的值為﹣1或2．19．（2021秋?靖江市期末）設(shè)a，b，c是△ABC的三條邊，且＝＝，判斷△ABC為何種三角形？并說(shuō)明理由．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)得出＝＝＝＝0，則a＝b＝c，進(jìn)而判斷△ABC為等邊三角形．【解析】△ABC為等邊三角形，理由如下：∵a，b，c是△ABC的三條邊，∴a+b+c≠0，∵＝＝，∴＝＝＝＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形．20．（2021春?邗江區(qū)期中）若．（1）求的值；（2）求的值．【分析】設(shè)＝k，則x＝3k，y＝4k，z＝5k；（1）將x＝3k，y＝4k，z＝5k代入即可求解；（2）x＝3k，y＝4k，z＝5k代入所求式子即可．【解析】（1）設(shè)＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，∴＝＝3；（2）＝＝＝＝．21．（2021秋?金壇區(qū)月考）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數(shù)式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入代數(shù)式中進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可；（2）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到關(guān)于k的方程，求出k，從而得到a、b、c的值．【解析】∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．22．（2021秋?漣水縣校級(jí)月考）根據(jù)人的審美觀點(diǎn)，當(dāng)人的下肢長(zhǎng)與身高之比為0.618時(shí)，能使人看起來(lái)感到勻稱，某成年女士身高為166cm，下肢長(zhǎng)為101cm，持上述觀點(diǎn)，她所選的高跟鞋的最佳高度約為多少（精確到0.1cm）？【分析】在這里下肢的長(zhǎng)度應(yīng)包括高跟鞋鞋跟的長(zhǎng)度，即（101+高跟鞋鞋跟的高度）÷（166+x）＝0.618，求出結(jié)果精確到0.1cm即可．【解答】答：設(shè)高跟鞋的最佳高度為xcm，根據(jù)題意列方程得：（101+x）÷（166+x）＝0.618，解得x≈4.2．故她所選的高跟鞋的最佳高度約為4.2cm．23．（2013春?揚(yáng)州校級(jí)月考）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．（1）求AM，DM的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，則AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：＝，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【解析】（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的長(zhǎng)為﹣1，DM的長(zhǎng)為3﹣；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．由于＝，∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．24．（2022秋?邗江區(qū)月考）再讀教材：寬與長(zhǎng)的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形．問(wèn)題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號(hào)）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫(xiě)出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由．【分析】（1）連接AB，由折疊的性質(zhì)，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度．（2）由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四邊形BADQ為菱形；（3）首先