（培優(yōu)特訓(xùn)）專項(xiàng)1.1等腰三角形綜合應(yīng)用-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）2

（培優(yōu)特訓(xùn)）專項(xiàng)1.1等腰三角形綜合應(yīng)用1.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm，則第三條邊的邊長(zhǎng)是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能確定【答案】B【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2cm，底邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5cm，底邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm，5cm，2cm，綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長(zhǎng)是5cm，故選：B．2.（2022秋?蘇州期中）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，一邊長(zhǎng)為5，則此等腰三角形的底邊長(zhǎng)是（）A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5【答案】A【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，等腰三角形的底邊長(zhǎng)＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，∵5+5＝10，∴不能組成三角形，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為5時(shí)，等腰三角形的腰長(zhǎng)＝×（20﹣5）＝7.5，綜上所述：此等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5，故選：A．3.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°【答案】C【解答】解：當(dāng)這個(gè)內(nèi)角為頂角時(shí)，則頂角為40°，當(dāng)這個(gè)內(nèi)角為底角時(shí)，則兩個(gè)底角都為40°，此時(shí)頂角為：180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：C．4.（2022秋?白云區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于70°，則它的底角是（）A．70° B．55° C．60° D．70°或55°【答案】D【解答】解：①當(dāng)這個(gè)角為頂角時(shí)，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，底角＝70°．故選：D．（2022秋?臨高縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩部分，求這個(gè)三角形的邊BC的長(zhǎng)．【解答】解法1：設(shè)AB＝AC＝2xcm，BC＝y(tǒng)cm，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝xcm，∵AC邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩部分，∴①，解得，∴BC＝22cm，②，解得，∴BC＝14cm，解法2、∵BD是△ABC的中線，∴AC＝CD＝2AD，設(shè)AD＝CD＝acm，∴AB＝AC＝2acm，∵AC邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩部分，∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，①當(dāng)AB+AD＝24cm時(shí)，∴2a+a＝24，∴a＝8，∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，②當(dāng)AB+AD＝30cm時(shí)，∴2a+a＝30，∴a＝10，∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm5.（2022秋?九龍坡區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)是（）A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°【答案】B【解答】解：①如圖，三角形是銳角三角形時(shí)，∠A＝90°﹣40°＝50°底角為：×（180°﹣50°）＝65°，②如圖2，三角形是鈍角三角形時(shí)，∵∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：×（180°﹣130°）＝25°，綜上所述，底角為65°或25°．故選：B6.（2021春?埇橋區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（1，0），以線段AB為邊作等腰三角形ABP，使得點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上．則這樣的P點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】D【解答】解：如圖，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，畫圓，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，畫圓，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，作AB的垂直平分線，與x軸，y軸各有一個(gè)交點(diǎn)，∴這樣的P點(diǎn)有7個(gè)，故選：D．7.（2022秋?高安市期中）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC上的點(diǎn)，且AB＝AC，AD＝AE．（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度數(shù)；（3）設(shè)∠BAD＝α，∠EDC＝β，請(qǐng)你判斷α、β是否存在數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，∴2∠CDE＝20°，∴∠CDE＝10°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴2∠CDE＝∠BAD，∴∠BAD＝40°；故答案為：40°．（3）2β＝α，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，即∠C+β+β＝∠B+α，∴2β＝α．8.（2022秋?泰州月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，BP＝cm；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，連接CP，DP，△CDP是等腰三角形？【解答】解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P走過的路程為：2×2＝4（cm），∵AB＝6cm，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），故答案為：2；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，△CDP是等腰三角形，∴PD＝CP，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∴△DAP≌△CBP（HL），∴AP＝BP，∴AP＝AB＝3（cm），∴t＝3÷2＝1.5（秒），②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，△CDP是等腰三角形，∵∠C＝90°，∴CD＝CP＝6cm，∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），③當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，△CDP是等腰三角形，∵∠D＝90°，∴DP＝CD＝6cm，∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），綜上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒時(shí)，△CDP是等腰三角形．9．（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將三角形的周長(zhǎng)分成27和18兩部分．求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)；（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為42°，求這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴設(shè)AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，則AD＝CD＝x，分兩種情況：①，解得：，∴AB＝AC＝18，∴這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為18，底邊長(zhǎng)為9，②，解得：，∴AB＝AC＝12，∴這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為21，綜上所述：這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為8，底邊長(zhǎng)為9或腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為21，（2）分兩種情況：當(dāng)∠A＜90°時(shí)，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，∴這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為66°；當(dāng)∠A＞90°時(shí)，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，∴這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為24°；綜上所述：這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為66°或24°．10．（2020秋?雄縣期中）如圖，在等邊△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，現(xiàn)有M，N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿△ABC的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M，N兩點(diǎn)重合？?jī)牲c(diǎn)重合在什么位置？（2）當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合，由題意，t×1+12＝2t，解得：t＝12．∴當(dāng)t＝12時(shí)，M，N兩點(diǎn)重合，此時(shí)兩點(diǎn)在點(diǎn)C處重合．（2）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形．理由：由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．11．（2022秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當(dāng)，△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當(dāng)t為11或12時(shí)，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．12．（2022秋?青山區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，BD＝AD．（1）如圖1，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，E是AB的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．求證：AF＝AB+BC．【解答】（1）解：設(shè)∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度數(shù)為36°；（2）∵E是AB的中點(diǎn)，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠FAB＝72°，∴∠AFB＝∠FAC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．13．（2022秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）設(shè)∠BAD＝x，∠C＝y(tǒng)，∵AB＝AC，∠C＝y(tǒng)，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y(tǒng)+x，∴x．14．（2022秋?江津區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC．（1）試問△ADE是否是等腰三角形，并說明理由．（2）若M為DE上的點(diǎn)，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周長(zhǎng)為20，BC＝8．求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）△ADE是等腰三角形．理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED．（2）∵BM平分∠DBC，∴∠DBM＝∠MBC，∵DE∥BC，∴∠DBM＝∠DMB，∴DM＝DB，同理可證：EM＝EC，∵AD+DE+AE＝AD+DM+EM+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝20，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝28．15．（2019秋?慶云縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)M、N分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1