專(zhuān)題04圖形的相似（難點(diǎn)）

專(zhuān)題04圖形的相似（難點(diǎn)）一、單選題1．下列說(shuō)法不正確的是（）A．將一個(gè)矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似B．若線(xiàn)段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2C．若線(xiàn)段AB＝cm，C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC＝cmD．若兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是4：3【答案】A【分析】直接利用成比例線(xiàn)段以及相似多邊形的性質(zhì)、黃金分割的性質(zhì)分別判斷得出答案．【解析】解：A、將一個(gè)矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、若線(xiàn)段a=5cm，b=2cm，則a：b=5：2，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若線(xiàn)段AB＝cm，C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則cm，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是4：3，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線(xiàn)段，黃金分割，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，且，下列命題：，中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】把一條線(xiàn)段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段為全線(xiàn)段與較短線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，這樣的線(xiàn)段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【解析】∵點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，∴根據(jù)線(xiàn)段黃金分割的定義得：AP2＝PB?AB，AP：AB＝PB：AP，∴只有②④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．本題同時(shí)考查了乘積形式和比例形式的轉(zhuǎn)化，難度適中．3．如圖，在中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，即可解答．【解析】，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線(xiàn)段的比例關(guān)系．4．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是BC邊和AB邊上兩點(diǎn)，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)處，設(shè)DE與BB交于點(diǎn)F，則EF＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過(guò)B′作B′H⊥AB與H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根據(jù)勾股定理得到BB′，由折疊的性質(zhì)得到BFBB′，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過(guò)B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′HAB′，∵AB′AC，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BFBB′，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF，故答案為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是弧上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段與交于點(diǎn)F，連接．若，則的直徑為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】（1）連接AC，由垂徑定理可得AC=AD，再根據(jù)圓周角定理推導(dǎo)出,得到△ACF∽△AGC，得AC2=,根據(jù)勾股定理求出AE，連接BD最后用△ADE∽△ABD即可得直徑AB；【解析】連接AC,BD弦于點(diǎn)EAC=AD,△ACF∽△AGCAC2=,AC=△ADE是直角三角形，∠AED＝90°，,,∠AED＝∠ADB=90°△ADE∽△ABD,故答案選：C【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理及推論、垂徑定理，相似三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，過(guò)圓心且垂直于弦的直線(xiàn)平分這條弦．滿(mǎn)足勾股定理的各邊關(guān)系，相似三角對(duì)應(yīng)邊成比例是重要等量關(guān)系．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，B點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，C點(diǎn)為該p拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．25 C．30 D．【答案】A【分析】連接OB，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥OB于M點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AN⊥OB于N點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，先求出拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得出BD、OA、OD，在證明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，進(jìn)而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線(xiàn)，且三點(diǎn)連線(xiàn)垂直O(jiān)B時(shí)，AC+CM最小，根據(jù)求出AN，AC+CM最小值即為AN，則問(wèn)題得解．【解析】連接OB，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥OB于M點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AN⊥OB于N點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，如圖，令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，即OA=6，將配成頂點(diǎn)式得：，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)，∴BD=4，OD=3，∵CM⊥OB，AN⊥OB，∴∠BMC=∠ANO=90°，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)可知BD⊥OA，∴∠BDO=90°，在Rt△BDO中，利用勾股定理得，∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC∴△OBD∽△CBM，同理可證得△OBD∽△OAN，∴，，∴，即3BC=5MC，∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，∵當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線(xiàn)，且三點(diǎn)連線(xiàn)垂直O(jiān)B時(shí)，AC+CM最小，∴AC+CM最小值為AN，如圖所示，∵，∴，∴AC+CM最小值，∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，利用三角形相似得出3BC=5MC，進(jìn)而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，與的邊相切，切點(diǎn)為點(diǎn)，并分別與、邊相交于、點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若的半徑不變，則的最大值為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可判定，由此得到，變形得到，由勾股定理得到，可得，推斷出的最大值是直徑的平方，再由，點(diǎn)、在上，推出是的直徑，再根據(jù)勾股定理即可得解．【解析】解：連結(jié),，，，,又，，，，，，，在中，，，最大值是是直徑時(shí)，的最大值是直徑的平方，，，點(diǎn)、在上，是的直徑，，是直徑的平方，的最大值可表示為：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，為銳角三角形，，，點(diǎn)O為的重心，D為中點(diǎn)，若固定邊，使頂點(diǎn)A在所在平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持的大小不變，設(shè)的中點(diǎn)為D，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，作的外接圓，點(diǎn)為圓心，，根據(jù)重心定理，得出，根據(jù)圓周角定理，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等角對(duì)等邊，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，，當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)，可求此時(shí)最大值，由于，可得此時(shí)最小值，進(jìn)而可得的取值范圍．【解析】解：如圖，作的外接圓，點(diǎn)為圓心，，∵點(diǎn)O為的重心，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理知，∴，∵當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)，∴最大值為，∵，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、重心定理、圓周角定理、等角對(duì)等邊、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握外接圓．重心定理：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍．該點(diǎn)叫做三角形的重心．9．如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD的長(zhǎng)度為x，PE與PC的長(zhǎng)度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn)，則a＋b的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由A、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，推出PA＝PC，推出PC＋PE＝PA＋PE，推出當(dāng)A、P、E共線(xiàn)時(shí)，PE＋PC的值最小，觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，PE＋PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分別求出PE＋PC的最小值，PD的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴易證AE⊥BC，∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴PA＝PC，∴PC＋PE＝PA＋PE，∴當(dāng)A、P、E共線(xiàn)時(shí)，PE＋PC的值最小，即AE的長(zhǎng)．觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，PE＋PC＝6，∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，∴在Rt△AEB中，AE＝，∴PC＋PE的最小值為，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)a＝，∵BC∥AD，∴，∵BD＝，∴PD＝，∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)b＝，∴a＋b＝；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，下列結(jié)論正確的有：（

）①；②；③若四邊形的面積為4，則該正方形的面積為36；④．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】連接OE、AF，①利用四點(diǎn)共圓證明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②設(shè)BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解決問(wèn)題；③利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算求得正方形ABCD的面積為48；④利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．【解析】解：如圖，連接OE、AF∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，故①正確，設(shè)，則由勾股定理可得：，，∴，即，故②正確，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，，∴，∵，∴，∴∴，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤，∵∴，∴，∵，∴，故④正確，故選B【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．二、填空題11．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OD＝2，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點(diǎn)F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝．【答案】【分析】首先根據(jù)題目已知條件理清各邊之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出DE,AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出菱形邊長(zhǎng)，利用相似：△OBF∽△DBE得出OF的長(zhǎng)，再利用相似:△DEF∽△CMF得出CF的長(zhǎng)．【解析】設(shè)DE的長(zhǎng)為x，∵AC=4DE,∴AC=4x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AO=，AC⊥BD,∴△AOD為直角三角形，∴，∵BC=AD,∴BC=,∵DE⊥BD，∴△DBE為直角三角形，∴BE=，又∵BE=BC,∴，解得x=2，∴DE=2，AC=8,AO=OC=4,BC=DC=,設(shè)BE與AC交點(diǎn)為M，∵DE⊥DB，AC⊥DB，∴DE∥AC，即DE∥OM，∵O為DB中點(diǎn)，∴,∴OM=1,又∵OC=4,∴MC=OCOM=3,∵DE∥CM,∴,∴,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似，解題本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)平行得出兩組相似三角形．12．如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊上一點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的角平分線(xiàn)上，若，，，則，．【答案】1【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，由角平分線(xiàn)性質(zhì)得，即為等邊三角形，即，有折疊性質(zhì)得，延長(zhǎng)AD交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，利用相似三角形的性質(zhì)，設(shè)AE=2x，構(gòu)建方程求解即可．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵BG是的角平分線(xiàn)，∴，∴為等邊三角形，∴CG=BC=2，∴DG=DCCG=32=1，延長(zhǎng)AD交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，設(shè)AE=EF=2a，則BE=32a，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)BF=x，∴，解得或(舍)，∴；故答案為：1；．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行四邊形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形，相似三角形判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)．13．用一張正方形紙片折成一個(gè)“小蝌蚪”圖案（如圖1）．如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為2，等腰直角的斜邊過(guò)點(diǎn)D．點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G，將沿對(duì)稱(chēng)得，與交于點(diǎn)H．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)G為的中點(diǎn)時(shí)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊性質(zhì)得到≌，從而推出，可判斷出A、C、共線(xiàn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出；延長(zhǎng)AG到，使，連接EK．說(shuō)明，證明，推出，得到，推出，再利用勾股定理求出CE，可得CF．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形且邊長(zhǎng)為2，∴，，AC平分，．∴．∵是等腰直角三角形，∴．根據(jù)折疊性質(zhì)可知≌，∴，，，∵，，∴．∴．∴．∴A、C、共線(xiàn)．∴．∴．∴．延長(zhǎng)AG到，使，連接EK．∴．∴．∵是等腰直角三角形，AE為斜邊，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴，．∴．∴．∴．∵G是CD中點(diǎn)，∴．∴．∴．∵，．∴．∴．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，題目比較新穎，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形中的已知條件，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，得到線(xiàn)段之間的關(guān)系．14．如圖，是半圓O的直徑．點(diǎn)C在半徑上，過(guò)點(diǎn)C作交半圓O于點(diǎn)D．以為邊分別向左、下作正方形．過(guò)點(diǎn)B作的垂線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)I，M為的中點(diǎn)．記正方形，四邊形的面積分別為．（1）若，則的值為；（2）若D，O，M在同一條直線(xiàn)上，則的值為．【答案】【分析】設(shè)，，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可解決問(wèn)題；當(dāng)、、共線(xiàn)時(shí)，設(shè)，，由，推出，推出，，，由，推出，推出，整理得：，求出的值即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，連，．是直徑，，，，，，，，，，可以假設(shè)，，，；當(dāng)、、共線(xiàn)時(shí)，設(shè)，，，，，，，，，，整理得：，或（舍棄），，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)C是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線(xiàn)段上一點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折得到，點(diǎn)E落在反比例函數(shù)的圖像上，若，則k的值為．

【答案】128【分析】如圖：延長(zhǎng)交x軸于H，由題意可得，根據(jù)勾股定理可得，再證可得；由C是的中點(diǎn)可得，進(jìn)而得到；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得可證可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)即可解答．【解析】解：如圖：延長(zhǎng)交x軸于H，∵點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵C是的中點(diǎn)，∴，∴，∵沿直線(xiàn)翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E落在反比例函數(shù)的圖像上，∴．

故答案為：128．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得、是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)分別交軸正半軸和軸正半軸于點(diǎn)、交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，若的面積是的2倍，則的值為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，先得到，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，然后由相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把點(diǎn)C代入拋物線(xiàn)方程，即可求出m的值．【解析】解：根據(jù)題意，則∵△ACG與△PCG是同高，且底邊在同一條直線(xiàn)上，又∵，∴，∴，作PE⊥x軸，垂足為E，作PD平行x軸，交GC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，如圖：

∴PE∥CG，∴△ACG∽△APE，∴；在拋物線(xiàn)中，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，代入，則，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，9m）；∴，，∴，∵PD∥x軸，∴△ACG∽△PCD，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，），把點(diǎn)C代入拋物線(xiàn)的方程，則，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，以及解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題．17．已知半徑為的是矩形的外接圓，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，其中．如圖甲，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，（用的代數(shù)式表示）；如圖乙，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，且，的值為．【答案】【分析】（1）連接OE交AB于G，如圖1，由垂徑定理可得OE⊥AB，AG=BG，進(jìn)一步可得EG和OG分別是△ABF和△ABC的中位線(xiàn)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的中位線(xiàn)定理即可求出AF；（2）連接CE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，如圖2，根據(jù)已知條件和圓周角定理的推論可得△AFB是等腰直角三角形，可得AM=BF，BA=AF，由△AEF的面積為10可得，連接BD，易證△FAE∽△FBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于AD的一元二次方程，解方程即可求出AF，即為CD，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，F(xiàn)A⊥AB，∠ABC=90°，∴AC是的直徑，連接OE交AB于G，如圖1，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，AG=BG，∴OG∥DF，∴BE=FE，∴EG=AF，∵AG=BG，AO=CO，∴OG=BC=，∴EG=OE－OG=r－，∴AF=2EG=；（2）連接CE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，如圖2，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，AC是的直徑，∴∠AEC=90°，∠EAC=∠ECA=45°，∴∠FBA=∠ACE=45°，∵∠FAB=90°，∴∠F=∠ABF=45°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴AM=BF，BA=AF，∵S△AEF=，∴，連接BD，則∠AEF=∠ADB，又∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FBD，∴FA：FE=FB：FD，∴，∴，解得AF=5或AF=﹣8（舍去），∴CD=BA=AF=5，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：，∴的半徑r=．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，正確添加輔助線(xiàn)、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．在矩形中，點(diǎn)P是矩形邊上一點(diǎn)，連接，將分別沿翻折，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則稱(chēng)P為邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”（如圖1）．（1）若，則此時(shí)的長(zhǎng)度為；（2）如圖2，若將矩形置于平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)A在原點(diǎn)，B，D分別在x軸與y軸上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持．當(dāng)點(diǎn)P是邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時(shí)，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N，則的最大值為．

【答案】4【分析】（1）由題意可得，設(shè)，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由（1）知，則當(dāng)點(diǎn)P是邊上唯一的“優(yōu)疊點(diǎn)”時(shí)，以為直徑的與相切，此時(shí)點(diǎn)P為的中點(diǎn)；從而易得四邊形、四邊形都是正方形，則可得；證明，則得；過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)T，取的中點(diǎn)J，連接，則，，從而當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)重合；由可求得的長(zhǎng)，從而求得的最大值．【解析】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，；∵點(diǎn)P為邊上的“優(yōu)疊點(diǎn)”，∴，∵，∴，即；設(shè)，則，分別在中，由勾股定理得：，，∴，解得：；故答案為：4；（2）作以為直徑的，如圖，當(dāng)與相切于點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P為邊上的唯一“優(yōu)疊點(diǎn)”，∵四邊形為矩形，，∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，四邊形、四邊形都是正方形，∴，；∵，，∴，又，∴，∴，∴；過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)T，取的中點(diǎn)J，連接，則，即；由勾股定理得，∵，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)重合；∵，，∴，∴，∴，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合，考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的相切等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出最大時(shí)，點(diǎn)T與G重合．三、解答題19．如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)E分別作、，垂足分別為M、N，，連接，．

(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，點(diǎn)P、Q分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，證明，得出，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)四邊內(nèi)角和求出，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)，得出即可；（3）證明，得出，求出，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，證明四邊形為矩形，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得出，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出，即可得出，求出結(jié)果即可．【解析】（1）證明：連接，如圖所示：

∵、，∴∵D為的中點(diǎn)，，∴∴，∴，∴平分；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：∵平分，、，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，解得：，即，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵，∴四邊形為矩形，∴，∵、，∴，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，，在中根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，（舍去），則，∴，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，如圖所示：∵為的平分線(xiàn)，∴點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，，∴，∵兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，∴，∵垂線(xiàn)段最短，∴，∴，∴的最小值為的長(zhǎng)，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．20．如圖①所示，已知是的直徑，點(diǎn)C在半徑上，點(diǎn)D，點(diǎn)F是圓上的點(diǎn)，，點(diǎn)E是半徑的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，連接，．

(1)如果，連接OD，如圖②所示：①則的度數(shù)為_(kāi)__________°；②若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)若，求的值．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)已知可判定出為等腰直角三角形，即可得出結(jié)果；②設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再結(jié)合平行線(xiàn)性質(zhì)可得到，進(jìn)而根據(jù)求出結(jié)果；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交于點(diǎn)M，設(shè)，．則，，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例推出結(jié)果即可．【解析】（1）解：①，，，，，為等腰直角三角形，，故答案為：；②設(shè)．∵E是中點(diǎn)，∴，，∵，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，解得：，（舍去），∴線(xiàn)段的長(zhǎng)為；（2）

如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交于點(diǎn)M，設(shè)，．則，，∵，∴，∵，∴，同：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，，，，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．21．【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，．若，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，則菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，則可得出結(jié)論；（2）證明，得出比例線(xiàn)段，則，求出，則可求出．（3）分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，證得四邊形為平行四邊形，得出，，，證明，得出比例線(xiàn)段，則，可求出，則答案可求出．【解析】解：（1）證明：∵，，∴．∴．∴；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴，∴；（3）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，

∵四邊形是菱形，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，，，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．又∵，∴∴則菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．22．如圖，矩形（）與矩形全等，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，的頂點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)．

(1)如圖1，用直尺和圓規(guī)在上求作點(diǎn)，使是直角；(2)若，，在上是否一定存在點(diǎn)，使得，且是直角，若存在直接寫(xiě)出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明（1）中的點(diǎn)一定有兩個(gè)；(4)過(guò)、、三點(diǎn)作交于另一點(diǎn)，連接、，若，求的值．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)存在，，詳見(jiàn)解析(3)詳見(jiàn)解析(4),詳見(jiàn)解析【分析】（1）由的頂點(diǎn)P在線(xiàn)段上移動(dòng)，且為直角，得點(diǎn)P也在以為直徑的的圓上運(yùn)動(dòng)；所以以為直徑作與的交點(diǎn)即為所求；（2）利用，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出的值，即可得出答案；（3）要判斷直角頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只要判定以為直徑的圓與線(xiàn)段的位置關(guān)系即可，相交時(shí)有2個(gè)點(diǎn)，相切時(shí)有1個(gè)，外離時(shí)有0個(gè)，不會(huì)出現(xiàn)更多的點(diǎn)；（4）連，作，先證，再證，進(jìn)而可得線(xiàn)段之間的比值關(guān)系．【解析】（1）∵點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，的頂點(diǎn)P在線(xiàn)段上移動(dòng)，為直角，∴點(diǎn)P在以為直徑的的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P就是與的交點(diǎn)，如圖所示，即為所求；

．（2）在上存在點(diǎn)P使，且為直角，此時(shí)，理由如下：∵點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，的頂點(diǎn)P在線(xiàn)段上移動(dòng)，為直角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故在存在點(diǎn)P使，且為直角，此時(shí)．（3）

連接，延長(zhǎng)交于Q，如圖在中，根據(jù)勾股定理可得：；過(guò)的中點(diǎn)M作于點(diǎn)N，則是梯形的中位線(xiàn)，則；以為直徑的圓，半徑是，，而只有是等號(hào)才成立，因而，即圓與直線(xiàn)相交，則直角頂點(diǎn)P的位置有兩個(gè)．（4）

設(shè)，連，作于N，由已知得，，∴，∴,∴,∴為等腰直角三角形，過(guò)的圓的圓心為的中點(diǎn)，∴，∴是梯形的中位線(xiàn)，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．23．如圖，平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)、，點(diǎn)，在直線(xiàn)上，點(diǎn)，在直線(xiàn)上，過(guò)，兩點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，我們把線(xiàn)段叫做線(xiàn)段在直線(xiàn)上的正投影，其長(zhǎng)度可記作或，特別地線(xiàn)段在直線(xiàn)上的正投影就是線(xiàn)段．請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問(wèn)題：(1)如圖1，在銳角中，，，則______；(2)如圖2，在中，，，，求的面積；(3)如圖3，在鈍角中，點(diǎn)在邊上，，，，，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖1中，作于點(diǎn)，由正投影的定義可求解；（2）如圖2中，作于點(diǎn)，由正投影的定義可求，，通過(guò)證明，可得可求的長(zhǎng)，由面積公式可求解；（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由正投影的定義可求，，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，，即可求解．【解析】（1）解：如圖1，作于點(diǎn)，

，，，，，故答案為：；（2）如圖2，作于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，勾股定理，理解并運(yùn)用正投影的定義是本題的關(guān)鍵．24．如圖，、均為的直徑，，交于點(diǎn)，且，與的交點(diǎn)為．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：是的切線(xiàn)；(3)在（）的條件下，連接，交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)．【分析】（）連接，由圓周角定理可得，可證垂直平分，可得；（）連接，通過(guò)證明，可得，即可得結(jié)論；（）由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解.【解析】（1）證明：如圖，連接，

∵是直徑，∴，∵,，∴垂直平分，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，

∵、均為的直徑，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴∵，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線(xiàn)；（3）連接，交于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)C是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若為直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為H，點(diǎn)D是對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)（在所在直線(xiàn)上方），點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接．若，，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物