數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：均值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2均值不等式5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，下列不等式一定成立的是（)A。a+b≥B.≥C.a2+b2≥2abD。≥2解析：均值不等式要考慮正負(fù)情況，這里如果a、b不能保證是正值A(chǔ)、B、D都不一定成立，只有C對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．也可以采用特殊值代入檢驗(yàn)進(jìn)行排除．答案：C2。已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+3y-2=0上，那么代數(shù)式3x+27y的最小值是_____________.解析：根據(jù)條件可知x+3y=2，而3x+27y=3x+33y≥=6，當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y時(shí)取等號(hào).答案：63.函數(shù)f（x）=x++3在（-∞，—2］上（)A.無(wú)最大值,有最小值7B。無(wú)最大值,有最小值—1C。有最大值7，有最小值-1D.有最大值—1，無(wú)最小值解析：∵x≤-2,∴f（x）=x++3=—[(—x)+（）］+3≤+3=—1，當(dāng)且僅當(dāng)—x=,即x=-2時(shí)取等號(hào).∴f（x）有最大值—1，無(wú)最小值，故選D。此外，該題也可利用函數(shù)f（x）=x++3在（-∞,—2]上的單調(diào)性求解。答案：D4.若x＞3,那么當(dāng)x=_____________時(shí)，y=取最小值_____________.解析:y=x+=x—3++3≥+3=5，當(dāng)且僅當(dāng)x-3=即x=4時(shí),y取最小值5。答案:4510分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.已知a、b∈R，且a2+b2=4，那么ab（）A.最大值為2，最小值為—2B。最大值為2,但無(wú)最小值C。最小值為2，但無(wú)最大值D.最大值為2,最小值為0解析:這里沒(méi)有限制a、b的正負(fù),則由a2+b2≥2｜ab|即｜ab|≤2，所以，-2≤ab≤2，可知最大值為2，最小值為-2。答案：A2.設(shè)f（x）=（）x，a、b∈R+，A=f(）,G=f（）,H=f（)，K=f（）,則A、G、H、K的大小關(guān)系是（)A.H≤G≤A≤KB。A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD。K≤A≤G≤H解析:首先由已知條件可知f(x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，然后只需取特殊值a=1,b=2代入判斷的大小即可。答案:D3。已知x=(a＞2)，y=（b＜0），則x、y之間的大小關(guān)系是（)A。x＞yB。x＜yC.x=yD.不能確定解析:x=（a—2）++2≥+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，取“=”），y==4.∴x＞y.答案：A4.三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式x2+25＋｜x3-5x2|≥ax在［1，12]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍"提出各自的解題思路。甲說(shuō)：“只需不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值?！币艺f(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù),右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值.”丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù),作出函數(shù)圖象。"參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是______________。解析:由x2+25+｜x3—5x2｜≥ax,1≤x≤12a≤x++|x2—5x｜，而x+≤=10，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈［1，12］時(shí)成立;且|x2-5x|≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈［1，12]時(shí)成立；所以，a≤[x++｜x2—5x｜］min=10，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈[1,12］時(shí)成立；故a∈（—∞,10］。答案:a∈（-∞,10］5.已知x、y∈R+，且=1，求x+y的最小值。解：∵x＞0，y＞0，=1，∴x+y=()（x+y）=+10=6+10=16，當(dāng)且僅當(dāng)，又=1即時(shí)等號(hào)成立。6。已知a＞0，b＞0,且a+2b=10，求y=的最大值.解法一：由于a＞0,b＞0，且a+2b=10,則有y=≤。當(dāng)且僅當(dāng)a+2=2b+3=時(shí),即a=,b=時(shí)，等號(hào)成立.所以y=的最大值為。解法二:由于a＞0，b＞0,且a+2b=10,則有y2=(a+2）+(2b+3）+≤15+［（a+2）+（2b+3）］=30.當(dāng)且僅當(dāng)a+2=2b+3=時(shí),即a=，b=時(shí)，等號(hào)成立.又y＞0，所以,y≤。所以y=的最大值為。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。下列求最值過(guò)程中正確的是(）A.若0＜x＜π，則y=sinx+。所以y的最小值是2B.若0＜x＜π，則y=sinx+.所以y的最小值是C。若x＞0，則y=2+x+≥2+=6。所以y的最小值是6D.若0＜x＜1，則y=x(4—x)≤[]2=4。所以y的最大值為4解析：A、B、D中等號(hào)都取不到.A中需滿足sinx=，即sinx=（0，1］；B中由得sinx=(0，1］；D中由x=4-x得x=2（0，1）.答案:C2。函數(shù)y=（x＞-1)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（)A.（1，2）B。（1,—2)C.（1，1)D.（0,2）解析：求圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)，即求函數(shù)取最小值時(shí)的x,y的值.∵x＞-1,∴x+1＞0則y==（x+1）+≥=2∴當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=0或x=—2(舍去)時(shí)等式成立。當(dāng)x=0時(shí)，y=2.即當(dāng)x=0時(shí),y取最小值2.答案:D3。某學(xué)生在期中考試中數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩門一好一差，為了在后半學(xué)期的月考及期末兩次考試中提高英語(yǔ)成績(jī)，他決定重點(diǎn)復(fù)習(xí)英語(yǔ)，結(jié)果兩次考試英語(yǔ)成績(jī)每次提高了10％，但數(shù)學(xué)成績(jī)每次卻下降了10%,這時(shí)恰好兩門都得m分,這個(gè)學(xué)生這兩門的期末總成績(jī)比期中是（）A。提高了B.降低了C。未提未降D.是否提高與m的值有關(guān)解析：設(shè)期中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閤分，英語(yǔ)為y分，依題意x（1-10%）2=m，y（1+10%）2=m，∴x+y=m（）.∵＞2×＞2，∴x+y＞2m.答案：B4.設(shè)x、y為正數(shù),則（x+y)()的最小值為（）A.6B.9C解析:x，y為正數(shù),(x+y）（)≥1+4+≥9，當(dāng)且僅當(dāng)即y=2x時(shí)，原式最小值為9。答案:B5。函數(shù)y=（0＜x＜10）的最大值為_(kāi)_____________。解析:∵0＜x＜10,∴10—x＞0,所以，y=·=5,當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x即x=5時(shí)等號(hào)成立.答案:56.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_____________.解析：令=t（t＞0），由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3，又t＞0，所以，可得t≥3即≥3，所以ab≥9。答案：ab≥97.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v千米/時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū),已知兩地公路線長(zhǎng)400千米，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于（）2千米，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要_____________小時(shí)。解析：從第一輛車出發(fā)到最后一輛車到達(dá)目的地共需要時(shí)間為y==10.答案：108.求函數(shù)y=的最值.解:1）當(dāng)x＞0時(shí)，y=13+x+≥13+=25，當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=6時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)x=6時(shí)，ymin=25。2)當(dāng)x＜0時(shí),—x＞0，＞0,（-x）+(）≥=12.∴y=13-［（—x)+(）］≤13—12=1.當(dāng)且僅當(dāng)-x=，即x=-6時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x=—6時(shí),ymax=13-12=1。9.已知a＞b＞0，求的最小值。解:由a＞b＞0，知a-b＞0,則b(a-b）=()2≤()2=，∴a2+≥=16，上式中兩個(gè)“≥”號(hào)中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b和a2=時(shí)成立，即a=,b=時(shí)，