2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第九章 第八講 離散型隨機變量的數(shù)字特征配套課件

第八講離散型隨機變量的數(shù)字特征2025年高考一輪總復習第九章

計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)均值2.均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b為常數(shù))3.兩點分布、二項分布與超幾何分布的數(shù)字特征(1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).(3)若X為從包含M件次品的N件產品中，不放回地隨機抽取【名師點睛】均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)).【常用結論】均值與方差的四個常用性質(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù).(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2

相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).

考點一離散型隨機變量的均值與方差

[例1](1)(2022年石河子校級月考)“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，在中國思想史上產生過深遠影響.為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”誦讀比賽活動，某班有4名同學參賽，每人從《大學》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同.比賽時，若這4名同學從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內容誦讀，則抽到自己準備的書的學生人數(shù)的數(shù)學期望為(

)

1A. 2B.1C.23D.2解析：記抽到自己準備的書的學生人數(shù)為Y，則Y所有可能取值為0，1，2，4，答案：B

(2)(2023年武漢市月考)冰壺比賽是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖9-8-1所示，其中左端(投擲線MN的左側)有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時到營壘區(qū)圓心O的距離大小決定勝負.甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分；冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分；冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分；其余情況均得0圖9-8-1①求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率；②甲投擲冰壺10次，每次擲冰壺的結果互不影響，求甲得分的期望值.②設甲擲冰壺一次的得分為X，則X可能取值為0，1，2，3，所以隨機變量X的分布列為：所以甲投擲冰壺10次的得分的期望值為E(10X)＝10E(X)＝20.【題后反思】求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部取值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).【變式訓練】

1.(一題兩空)(2022年浙江卷)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.解析：根據(jù)題意可得ξ的取值可為1，2，3，4，

2.(2023年新余市月考)一袋子中有除顏色外完全相同的3個白球和4個黑球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，取球7次，設取得的白球數(shù)為X，則D(X)＝()答案：C作答.假設在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是

且每考點二均值與方差在決策問題中的應用

[例2]為了進一步宣傳航空科普知識，某校組織了航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽(活動規(guī)則不變)會更好，并說明理由.解：(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，

因為P(B)＞P(A)，故小宇進決賽的可能性更大，所以應選擇小宇去參加比賽.【題后反思】離散型隨機變量的期望和方差應用問題的解題策略

實際問題中，若兩個隨機變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度.一般將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案.若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案.生產線[53，54][54，55)[55，56)[56，57)[57，58)[58，59)[59，60]甲/個49232824102乙/個214151716151【變式訓練】

(2023年廣東月考)某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產線，為了解零件質量情況，采用隨機抽樣方法從兩條生產線共抽取180個零件，測量其尺寸(單位：mm)得到如表統(tǒng)計表，其中尺寸位于[55，58)的零件為一等品，位于[54，55)和[58，59)的零件為二等品，否則零件為三等品.生產線一等品非一等品合計甲/個乙/個合計/個(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為零件是否為一等品與生產線有關聯(lián)？

(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產線中分別隨機抽取1個零件，每次抽取零件互不影響，以ξ表示這2個零件中一等品的數(shù)量，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)；

(3)已知該企業(yè)生產的零件隨機裝箱出售，每箱60個.產品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進行檢驗.若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗，則對每個賣出的三等品零件支付120元賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了20個，檢出了1個三等品.將從兩條生產線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.生產線一等品非一等品合計甲7525100乙483280合計12357180解：(1)由題意得列聯(lián)表如下：

零假設為H0：零件是否為一等品與生產線無關.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經計算得到4.621＞3.841＝x0.05.

依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，推斷H0

不成立，可以認為零件是否為一等品與生產線有關聯(lián).

若不對余下的所有零件進行檢驗，設檢驗費用與賠償費用之和為Y，則Y＝20×5＋120X，所以E(Y)＝100＋120×E(X)＝100＋240＝340.若對余下的所有零件進行檢測，則檢驗費用為60×5＝300(元).∵340＞300，∴應對剩下零件進行檢驗.的生產線.據(jù)統(tǒng)計，每條生產線每月出現(xiàn)故障的概率為，且至多⊙利用分類討論思想求數(shù)學期望[例3](2021年佛山市調研)某企業(yè)擁有三條相同的且相互獨立可能出現(xiàn)一次故障.(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產線出現(xiàn)故障的概率；

(2)在正常生產的情況下，每條生產線每月的利潤是12萬元；如果一條生產線出現(xiàn)故障能及時維修，還能創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時維修，該生產線就沒有利潤.為提高生產效益，企業(yè)決定安排維修工人對出現(xiàn)故障的生產線進行維修.如果一名維修工人每月只能及時維修一條生產線，且一名工人每月所需費用為1萬元，以該企業(yè)每月實際利潤的期望值為決策依據(jù)，你選擇安排幾名維修工？(實際利潤＝生產線創(chuàng)造利潤－維修工人費用)解：(1)設3條生產線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X，(2)①安排一名維修工時，設該企業(yè)每月的實際獲利為Y1

萬元.若X＝0，則Y1＝12×3－1＝35；若X＝1，則Y1＝12×2＋8×1－1＝31；若X＝2，則Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；若X＝3，則Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；②安排兩名維修工時，設該企業(yè)每月的實際獲利為Y2

萬元.若X＝0，則Y2＝12×3－2＝34；若X＝1，則Y2＝12×2＋8×1－2＝30；若X＝2，則Y2＝12×1＋8×2－2＝26；若X＝3，則Y2＝12×0＋8×2＋0×1－2＝14；④安排三名維修工時，設該企業(yè)每月的實際獲利為Y3

萬元.若X＝0，則Y3＝12×3－3＝33；若X＝1，則Y3＝12×2＋8×1－3＝29；若X＝2，則Y3＝12×1＋8×2－3＝25；若X＝3，則Y3＝12×0＋8×3＋0×1－3＝21；依據(jù)，故選擇安排兩名維修工時實際利潤最大.【高分訓練】

(2022年肥城市模擬)“學習強國”學習平臺的答題競賽包括三項活動，分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內參與“四人賽”活動，每局第一名積3分，第二、第三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨立.在一天內參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨立.已知甲參加“四分的概率互不影響，均為，記乙進到n階的概率為Pn，求P12.

(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動(兩項活動均只參加一局)的總得分為X，求X