2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第六章 第三講 點、直線、平面之間的位置關系配套課件

第三講點、直線、平面之間的位置關系2025年高考一輪總復習第六章

立體幾何1.三個基本事實基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

[注意]三點不一定能確定一個平面.當三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)個，所以必須是不在一條直線上的三點才能確定一個平面.2.直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類拓展：異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖6-3-1所示.圖6-3-1

(2)異面直線所成的角 ①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍：3.直線與平面的位置關系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.4.平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況.5.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.【名師點睛】唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

考點一平面的基本性質(zhì)1.(2023年菏澤市校級月考)下列條件中，能確定一個平面的是(

)A.空間中的任意三點B.空間中的任意一條直線和任意一點C.空間中的任意兩條直線D.梯形的兩條腰所在的直線

解析：三點共線則不能確定一個平面，A錯誤；點在直線上則不能確定一個平面，B錯誤；若兩線直線為異面直線，則不能確定一個平面，C錯誤；梯形的兩條腰所在的直線在梯形所在的面上，可以確定一個平面，D正確.故選D.答案：D2.(2023年深圳市校級期末)下列命題中正確的是()

A.三點確定一個平面 B.垂直于同一直線的兩條直線平行 C.若直線l與平面α上的無數(shù)條直線都垂直，則直線l⊥α

D.若a，b，c是三條直線，a∥b且都與c相交，則直線a，b，c共面

解析：不共線的三點確定一個平面，A錯誤.由墻角模型可知，B錯誤.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線l與平面α不一定垂直，C錯誤.因為a∥b，所以a與b唯一確定一個平面，設為平面α.又c與a和b都相交，所以c也在平面α內(nèi)，即直線a，b，c共面，D正確.故選D.答案：D3.如圖6-3-2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1

的中點.求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點.圖6-3-2證明：(1)如圖D40，連接EF，CD1，A1B.圖D40∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1

的中點，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，延長CE，D1F交于點P，如圖D40所示.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點.【題后反思】共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；二是證明兩平面重合.

(2)證明共線的方法：一是先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

考點二判斷空間兩直線的位置關系[例1](1)(2023年喀什地區(qū)期末)已知m，n為直線，α為平面，若m∥α，n?α，則m與n的位置關系是()A.平行B.相交或異面C.異面D.平行或異面

解析：因為m∥α，所以直線m與平面α沒有公共點，又n?α，所以m與n沒有公共點，即m與n的位置關系是平行或異面.故選D.

答案：D(2)如圖6-3-3，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，)AD∥BC，且AB?α，CD?β.則下列結論正確的是( A.直線AB與CD可能為異面直線 B.直線AB，CD，l相交于一點 C.AB＝CDD.直線AC與BD可能為異面直線圖6-3-3解析：梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD是共面直線，A錯誤；設AB∩CD＝M，如圖6-3-4所示，圖6-3-4又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β.又因為α∩β＝l，所以M∈l，即直線AB，CD，l相交于一點，B正確；由題意知，AB與CD不一定相等，C錯誤；在梯形ABCD中，對角線AC，BD是共面直線，D錯誤.答案：B【題后反思】空間中兩直線位置關系的判定方法【變式訓練】若直線l1和l2

是異面直線，l1

在平面α內(nèi)，l2

在平面β內(nèi)，l是)平面α與平面β的交線，則下列命題中正確的是( A.l與l1，l2

都不相交 B.l與l1，l2

都相交 C.l至多與l1，l2

中的一條相交 D.l至少與l1，l2

中的一條相交

解析：由于l與直線l1，l2

分別共面，故直線l與l1，l2

要么都不相交，要么至少與l1，l2

中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2

是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2

中的一條相交.答案：D

考點三求兩條異面直線所成的角)中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為(圖6-3-5

解析：如圖6-3-6，取BC的中點H，連接EH，AH，ED.∠EHA＝90°，設AB＝2，則BH＝HE＝1，圖6-3-6答案：D

【題后反思】(1)平移法求異面直線所成角的一般步驟：①作角——用平移法找(或作)出符合題意的角；②求角——轉化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大小.提醒：異面直線所成的角θ∈

(2)坐標法求異面直線所成的角：當題設中含有兩兩垂直的三邊關系時，常采用坐標法.

提醒：如果求出的角是銳角或直角，那么它就是要求的角；如果求出的角是鈍角或平角，那么它的補角才是要求的角.【變式訓練】答案：ACD

⊙幾何體的截面與切割問題

[例3](1)(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，直線AC1⊥平面α.平面α截此正方體得到一個截面，則下列說法正確是()A.截面的形狀可能為正三角形B.截面的形狀可能為正方形C.截面的形狀不可能是正五邊形

D.截面的面積最大值為3

解析：如圖6-3-7，當截面為△B1CD1或△A1BD時，截面的形狀為正三角形.通過觀察圖形可知，截面的形狀只可能為正三角形或?qū)吰叫械牧呅?故A正確，B錯誤，C正確.圖6-3-7圖6-3-8如圖6-3-8，當截面是正六邊形時，面積最大.答案：D

(2)(多選題)(2024年黑龍江省模擬)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點.記α為過D1，)E，F(xiàn)三點截該正四棱柱所得的截面，則下列判斷正確的是(

解析：如圖6-3-9，異面直線EF與直線AA1所成的角，即為直線EF與直線CC1所成角.連接EC，則∠EFC即為直線EF與直線CC1所成的角.圖6-3-9

如圖6-3-10，延長DC交D1F的延長線于點H，連接EH交BC于點M，延長HE交DA延長線于點K，連接D1K交AA1于點J，則五邊形D1FMEN即為平面D1EF截該四棱柱得到的截面α，故C正確.圖6-3-10答案：ACD【題后反思】作截面的解題思路

(1)連接截面上已知的點并延長，得到截面上的直線.盡量選取在幾何體表面上的直線，以便尋找截面上不同直線的交點. (2)過截面上的一點，做截面上另一直線的平行線，進而利用三角形中位線、相似三角形或平行線分線段成比例定理確定截面頂點的位置.(3)檢查截面是否完整的標準：若截面的每一條邊都在幾何體的表面上，則截面完整，否則截面不完整.【高分訓練】圖6-3-11

解析：如圖D41，延長AF，CC1，交于點P.連接PE，交B1C1于點M，連接MF.四邊形AEMF是過A，E，F(xiàn)三點的直三棱柱ABC-A1B1C1的截面.圖D41答案：B

2.如圖6-3-12，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1