2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第八講 函數(shù)與方程

第八講函數(shù)與方程2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第二章

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).

[注意]函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，而是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.

[注意]函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無(wú)公共點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2103.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定1.(2023年保定市校級(jí)期末)函數(shù)f(x)＝log2x＋2x－1的零點(diǎn)所在區(qū)間為()答案：B2.若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x)－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)

解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn).又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi).故選A.答案：A答案：(1，2)【題后反思】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可直接解方程.(2)根據(jù)“零點(diǎn)存在性定理”判斷.

(3)數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，觀察圖象與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)判斷，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定1.函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3

解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數(shù)在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).故選B.

答案：B2.函數(shù)f(x)＝3x|lnx|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.1B.2C.3D.4

解析：函數(shù)f(x)＝3x|lnx|－1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)g(x)＝|lnx|圖D11零點(diǎn).故選B.

答案：B數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝3x|lnx|－1有兩個(gè)

解析：當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)y＝lnx和y＝x2－2x的圖象，如圖D12，由圖可知，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；圖D12綜上所述，f(x)有3個(gè)零點(diǎn).答案：3【題后反思】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定的方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)作出兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)通性通法：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.[例1](1)(2023年江門市開(kāi)學(xué))定義函數(shù)min{f(x)，g(x)}＝至少有3個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1，2]C.[3，4]B.[2，3]D.[4，5]

解析：令f(x)＝|x|－1，g(x)＝x2－2ax＋a＋2，由題意可得x2－2ax＋a＋2＝0有解，所以Δ＝4a2－4(a＋2)≥0. 解得a≤－1或a≥2.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，3].故選B.答案：B＝(x2－1)?(4＋x)，若函數(shù)y＝f(x)＋k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(－1，3]C.[－1，2)

B.[－3，1]D.[－2，1)解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，y＝f(x)的圖象與直線y＝－k有3個(gè)交點(diǎn)，圖2-8-1根據(jù)函數(shù)圖象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.故選D.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖2-8-1.函數(shù)y＝f(x)＋k有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)答案：D【變式訓(xùn)練】若函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A.－1B.0C.1D.2解析：根據(jù)題意，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖D13所示.圖D13令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，

所以要使函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1，＋∞).故選BCD.答案：BCD

2.若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是____________.⊙數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

直觀想象是指借助幾何直觀想象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想過(guò)程.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系來(lái)解決.A.[1，3)B.(0，2)C.[1，2)D.(0，1)圖2-8-2解得1≤m＜2；若t1＝0，t2＝1，此時(shí)無(wú)解.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，2).故選C.答案：Cn，則()A.mn＝1C.0<mn<1B.mn>1 D.以上都不對(duì)(2)若函數(shù)f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是m，圖2-8-3答案：C

【高分訓(xùn)練】

1.(多選題)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間，是一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講，就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).下列函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()圖D14答案：BCD解析：∵f(x)為偶函數(shù)，故f(2－x)＝f(x－2)，又∵f(2－x)＝f