第四節(jié)、-數(shù)學(xué)能力

第四節(jié)、數(shù)學(xué)能力的界定

思考：什么是數(shù)學(xué)能力？（一）前蘇聯(lián)克魯捷茨基的數(shù)學(xué)能力觀克魯捷茨基在《中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》”一書(shū)中提到數(shù)學(xué)能力的組成部分是：(1)把數(shù)學(xué)材料形式化；(2)概括數(shù)學(xué)材料發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)；(3)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算；(4)連貫而有節(jié)奏的邏輯推理；(5)縮短推理結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)潔推理；(6)逆向思維能力；(7)思維的靈活性；(8)數(shù)字記憶；(9)空間概念。分析：強(qiáng)調(diào)“形式化’’的抽象、記憶、推理能力。但沒(méi)有包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，顯然這是在數(shù)學(xué)形式主義的觀點(diǎn)下進(jìn)行數(shù)學(xué)能力的考察。（二）20世紀(jì)90年代以來(lái)的我國(guó)數(shù)學(xué)能力觀變化“三大能力”→“三大能力”+“逐步培養(yǎng)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”→“三大能力”+“提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力”+“數(shù)學(xué)建模能力”計(jì)算能力，邏輯推理能力和空間想象能力（三）進(jìn)入21世紀(jì)后，國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)能力提法的新變化2000年，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)發(fā)布《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中提到6項(xiàng)能力：(1)數(shù)的運(yùn)算能力；(2)問(wèn)題解決的能力；(3)邏輯推理能力；(4)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力；數(shù)形結(jié)合(5)數(shù)學(xué)交流能力；(6)數(shù)學(xué)表示能力。數(shù)學(xué)建模奚定華等在最近出版的《高中數(shù)學(xué)能力型問(wèn)題研究》中，強(qiáng)調(diào)在高考中要著重考察“一般數(shù)學(xué)能力”，其中包括以下四項(xiàng)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的能力；探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；以及數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。2002年頒布的全日制高中《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》除了提到一般數(shù)學(xué)能力之外，更明確地界定了惟有數(shù)學(xué)學(xué)科才有的“數(shù)學(xué)思維能力”。它包括：空間想象、直覺(jué)猜想、歸納抽象、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等諸多方面”。（四）常規(guī)數(shù)學(xué)思維能力的界定

新頒布的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)常規(guī)的數(shù)學(xué)思維能力作了界定。本文擬沿著這一思路作更具體的闡述，提出了以下十個(gè)方面。1．?dāng)?shù)學(xué)感覺(jué)與判斷能力。是不是數(shù)學(xué)問(wèn)題，哪一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。2．?dāng)?shù)據(jù)收集與分析。收集數(shù)據(jù)，關(guān)注數(shù)據(jù)，分析，駕馭數(shù)據(jù)3．幾何直觀和空間想象。4．?dāng)?shù)學(xué)表示與數(shù)學(xué)建模。會(huì)使用數(shù)學(xué)原理，符號(hào)，公式抽象地表示客觀事物的發(fā)展規(guī)律，會(huì)建模5．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)變換。掌握幾何變換以及變換中的不變量。6．歸納猜想與合情推理。

7．邏輯思考與演繹證明。8．?dāng)?shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察。掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法9．?dāng)?shù)學(xué)計(jì)算和算法設(shè)計(jì)。10．理性思維與構(gòu)建體系。日常生活中能夠數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題形成完整的數(shù)學(xué)思想體系。（五）數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的界定

數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，屬于一般的數(shù)學(xué)能力。那么數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力有什么特點(diǎn)?具體說(shuō)來(lái)，也可分為以下10點(diǎn)：

1．提出數(shù)學(xué)問(wèn)題和質(zhì)疑能力，具有能疑、善思、敢想的品質(zhì)；

2．建立新的數(shù)學(xué)模型并用于實(shí)踐的能力；

3．發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。包括提出定義、定理、公式；4．推廣現(xiàn)有數(shù)學(xué)結(jié)論的能力。放松條件或加強(qiáng)結(jié)論；5．構(gòu)作新數(shù)學(xué)對(duì)象(概念、理論、關(guān)系)的能力；6．將不同領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的能力；7．總結(jié)已有數(shù)學(xué)成果達(dá)到新認(rèn)識(shí)水平的能力；

8．巧妙地進(jìn)行邏輯連接作出嚴(yán)密論證的能力；9．善于運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)展現(xiàn)信息時(shí)代的數(shù)學(xué)風(fēng)貌；10．知道什么是“好”的數(shù)學(xué)，什么是“不大好”的數(shù)學(xué)。運(yùn)算能力的培養(yǎng)

什么是運(yùn)算能力運(yùn)算的意義不僅局限于通常的加、減、乘、除、乘方開(kāi)方等代數(shù)運(yùn)算，還包括初等函數(shù)的運(yùn)算和求值，各種幾何量的測(cè)量和計(jì)算，求數(shù)列與函數(shù)極限以及微分、積分等分析運(yùn)算，還有概率、統(tǒng)計(jì)的初步計(jì)算等．

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的基本途徑怎樣才能使學(xué)生具有正確迅速的運(yùn)算能力呢？一要學(xué)習(xí),即學(xué)習(xí)與運(yùn)算有關(guān)的知識(shí)；二要訓(xùn)練，即精心選擇一部分習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成．下面談一談培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的基本途徑．1、牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，弄通算理、法則要使運(yùn)算正確而又迅速就要牢固地掌握與運(yùn)算有關(guān)的概念、公式法則以及變形化簡(jiǎn)等思維方法．同時(shí)要多練習(xí)，常反復(fù)，形成熟練的技能技巧．但也不能“死練”，在練之前，要使得學(xué)生懂得“算理”使其懂得“怎樣算”，“為什么這樣算”．只有“計(jì)有據(jù)”，才能“算有準(zhǔn)”．如果教師只教給學(xué)生“怎樣算”，而學(xué)生并不明白“為什么這樣算”，“為什么這樣算就正確”，那么學(xué)生的運(yùn)算能力就不會(huì)始終保持其正確性，也形成不了什么運(yùn)算能力．例1講異分母分?jǐn)?shù)的加減時(shí)，如果只教給學(xué)生要先通分，變成同分母的分?jǐn)?shù)之后，再按同分母的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減運(yùn)算，而不講清為什么要這樣算，有的學(xué)生對(duì)運(yùn)算的方法是記不牢的，時(shí)間一長(zhǎng)，往往會(huì)遺忘。甚至?xí)霈F(xiàn)之類(lèi)的笑話(huà)．因此，教師必須在學(xué)生學(xué)習(xí)通分算法之初，就教學(xué)生“算理”，讓學(xué)生清楚地懂得：如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母不同，分?jǐn)?shù)的單位就不同，每份的大小也就不同，而單位不同的分?jǐn)?shù)是不能直接相加減的．只有經(jīng)過(guò)通分之后，它們的分母相同了，即分?jǐn)?shù)的單位相同了，每份的大小是一樣的，從而就可以直接進(jìn)行加減運(yùn)算了．2、提高記憶能力，加強(qiáng)運(yùn)算基本功訓(xùn)練提高學(xué)生的記憶能力，牢固掌握一些常用的數(shù)據(jù)、常用的公式和法則．尤其要加強(qiáng)運(yùn)算基本功訓(xùn)練，以形成熟練的技能技巧．（1）在小學(xué)階段，作為運(yùn)算的基本功主要是：

（i）熟練掌握整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算；

（ii）20以?xún)?nèi)的口算加減法與表內(nèi)乘法、相應(yīng)的除法，要達(dá)到“直呼”的程度：熟悉分?jǐn)?shù)、小數(shù)互化運(yùn)算，熟悉一些分?jǐn)?shù)互化的數(shù)值．（2）在初中階段，作為運(yùn)算的基本功主要是：i）熟練掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算和有理指數(shù)、常用對(duì)數(shù)、銳角三角函數(shù)的運(yùn)算，特別還要加強(qiáng)整式、分式與根式的運(yùn)算訓(xùn)練．ii）要熟記一些重要數(shù)據(jù)，講究記憶方法和規(guī)律，最好能達(dá)到“直呼”的程度：a、多位數(shù)與一位數(shù)相乘，直接得積；b、1－20的平方數(shù)，1－10的立方數(shù)．c、將被開(kāi)方數(shù)化為質(zhì)因數(shù)乘積求方根；d、特殊角的三角函數(shù)值；角度制與弧度制互換．e、乘法公式．（3）在高中階段，要通過(guò)復(fù)習(xí)以鞏固上述初等運(yùn)算的能力．要學(xué)習(xí)一些初等函數(shù)的恒等變形；學(xué)習(xí)行列式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算；學(xué)習(xí)極限與微積分運(yùn)算；還要學(xué)會(huì)集合的運(yùn)算、邏輯運(yùn)算．這階段的運(yùn)算基本功主要是：i）熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)式與三角函數(shù)式的恒等變形，初步掌握極限與微積分運(yùn)算．ii）熟記基本公式、重要的極限等、以提高計(jì)算速度．微積分基本公式等．為了使學(xué)生練習(xí)基本功，一要理解運(yùn)算所依據(jù)的道理；二要記住常用的公式、法則；三要通過(guò)練習(xí)才能落實(shí)到學(xué)生身上．3、加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力首先就需要有很好的觀察力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的良好掌握．例如計(jì)算

由于每個(gè)人在觀察時(shí)，抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同，或者運(yùn)用的知識(shí)不同，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡(jiǎn)捷的解法

3、加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力首先就需要有很好的觀察力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的良好掌握．例如計(jì)算

由于每個(gè)人在觀察時(shí)，抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同，或者運(yùn)用的知識(shí)不同，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡(jiǎn)捷的解法

例已知直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為5cm和12cm，求斜邊上的高．

例已知直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為5cm和12cm，求斜邊上的高．解若用射影定理計(jì)算高就繁了所以先求斜邊長(zhǎng)，得再由面積相等求出斜邊上的高為

例

已知，求的值．例

已知，求的值．解由，得，所以，，所以

以上例題顯示了簡(jiǎn)捷運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)．但這種簡(jiǎn)捷運(yùn)算的獲得，是經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，進(jìn)行選擇的結(jié)果，這個(gè)過(guò)程，一題多解的思想已包含在其中了．采用多樣化方法解題，不但可以發(fā)展學(xué)生的思維能力與運(yùn)算能力，而且還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)創(chuàng)造精神．例4計(jì)算例4計(jì)算解①原式＝；②原式＝；③原式＝；④原式＝為了提倡“一題多解”，在教學(xué)中教師要經(jīng)常進(jìn)行“一題多解”的典型示范，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生判斷哪種方法較簡(jiǎn)捷，從而進(jìn)行選擇，加強(qiáng)解題的預(yù)見(jiàn)性，做到解題時(shí)思維敏捷，避繁就簡(jiǎn)，達(dá)到正確迅速的要求．對(duì)于學(xué)生有創(chuàng)見(jiàn)的解法，也要善于引導(dǎo)，愛(ài)護(hù)他們獨(dú)立思考的積極性，同時(shí)幫助他們分析具體錯(cuò)誤的癥結(jié)．空間想象能力的培養(yǎng)

一、什么是空間想象能力想象是一種特殊的思維活動(dòng)，即在頭腦中表象出某種未曾感知的東西，或者創(chuàng)造某種未曾感知過(guò)的物體和現(xiàn)象的形象，或者專(zhuān)門(mén)產(chǎn)生某些新事物的概念．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力應(yīng)是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)．二、空間想象能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)包括哪些要求？1、對(duì)于客觀存在的空間形式，能在頭腦中反映出正確的形象來(lái)，即形成空間概念．2、能將空間形式，按照統(tǒng)一規(guī)定，繪成平面圖形，反之，能從已知的平面圖形想象出它所表達(dá)的空間形式．3、不但能進(jìn)行邏輯思維，而且能進(jìn)行形象思維，也就是說(shuō)能運(yùn)用圖形的幾何直覺(jué)去研究某些問(wèn)題．三、培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的基本途徑1、學(xué)好有關(guān)空間形式的基礎(chǔ)知識(shí)想象是客觀現(xiàn)實(shí)在人腦中的一種反映，所以學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)知識(shí)是提高學(xué)生空間想象能力的根本對(duì)于某一圖形所反映的空間形式，怎樣使學(xué)生形成關(guān)于它的空間概念呢？一般認(rèn)為，大致需要經(jīng)過(guò)如下過(guò)程．（1）運(yùn)用實(shí)物、模型等進(jìn)行直觀教學(xué)，使學(xué)生在頭腦中形成空間概念的整體形象．（2）通過(guò)教師和學(xué)生繪制草圖和示意圖，使頭腦中形成的空間概念的形象“具體化”．（3）研究圖形的組成元素及其性質(zhì)，深入了解空間形式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性．（4）根據(jù)給定條件，運(yùn)用畫(huà)圖工具作圖，切實(shí)掌握空間形式的常用表達(dá)方法．2、從事數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)通過(guò)對(duì)實(shí)物的觀察、解剖、分析或者制作模型、實(shí)地測(cè)量、作圖等數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要途徑．3、加強(qiáng)空間想象能力的訓(xùn)練，不斷發(fā)展空間想象能力在中學(xué)數(shù)學(xué)課里，不僅要研究圖形及其性質(zhì)，還要研究作圖方法，而且要研究圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)、形之間的聯(lián)系．

（1）研究同類(lèi)圖形之間的聯(lián)系，豐富學(xué)生的空間想象能力在平面幾何課里，最重要的圖形是三角形和圓，在立體幾何里最重要的基本圖形是直線(xiàn)和平面．在教學(xué)中，在同類(lèi)圖形之間，研究其線(xiàn)面位置和量的關(guān)系，會(huì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．事實(shí)上，對(duì)各種位置和量的關(guān)系理解得越清楚，空間想象能力就越強(qiáng)．例延長(zhǎng)等邊△ABC的各邊BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求證：△DEF也為等邊三角形證因?yàn)锳B＝BC＝CA，AD＝BE＝CF，所以AF＝BD＝CE，AD＝BE＝CF，又因?yàn)椤螪AF＝∠EBD

＝∠FCE＝180°－60°＝120°所以△DAF≌△EBD≌△FCE所以DF＝ED＝EF，即△DEF為正三角形．DEFABC圖5-2（2）研究不同類(lèi)圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力圓和多邊形的聯(lián)系是平面幾何中最主要的內(nèi)容之一，大量的習(xí)題都與它們有關(guān)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生重視這類(lèi)問(wèn)題的分析，并加以訓(xùn)練．例已知：如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BCADCBE圖5-4證如圖，作∠DAE＝∠BAC，E在BD上．在△DAE和△CAB中，∠DAE＝∠CAB，又因?yàn)椤螮DA＝∠BCA，所以△DAE∽△CAB，所以，即AC·DE=AD·BC（1）在△ABE和△ACD中，∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD，所以△A