專題05因式分解（考點串講七大類型）

專題05因式分解一、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.注意：因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.1.公因式定義：多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.注意：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法定義：把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．注意：提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準確找出多項式各項的公因式.當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.3.公式法——平方差公式定義：兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：注意：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.4.公式法——完全平方公式定義：兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.注意：逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.5.因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．6.因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止二、方法拓展1.因式分解求參已知，求的值.方法：變形為因式分解：利用非負性求解即可2.十字相乘法例：分析：解：原式方法：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果3.分組分解法例：＝＝＝方法：1.將原式的項適當(dāng)分組；2.對每一組進行處理（提或代）3.將經(jīng)過處理后的每一組當(dāng)作一項，再采用（提或代）進行分解。4.因式分解的幾何應(yīng)用2m2+5mn+2n2可以因式分解為方法：與前面類型幾何類似。用割補的方式把圖形分成幾份，用等面積法兩種方法表示，構(gòu)造等式。5.因式分解的新定義在基礎(chǔ)定義的時候，我們只需學(xué)會模仿，無需理解題意；如上題。如果遇到答題最后一題的話，需要理解題意，舉一反三?！緦ｎ}過關(guān)】類型一、判斷因式分解【解惑】（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┓纸庖蚴剑篲_____．【答案】【分析】先提公因式，再利用公式法因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解——提公因式法和平方差公式法，解題關(guān)鍵是牢記因式分解的方法．【融會貫通】1．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┫铝械仁街?，從左到右的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)因式分解的定義（把一個多項式化成幾個最簡整式的乘積的形式，這種多項式的變形叫做因式分解）逐項判斷即可得．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，是因式分解，故此選項符合題意；D、等式右邊中的不是整式，不是因式分解，故此選項不符合題意.故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的意義；嚴格按照因式分解的定義去驗證每個選項是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┫铝袕淖蟮接业淖冃沃?，屬于因式分解的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，屬于因式分解，故本選項符合題意；B、不符合因式分解的定義，不是因式分解，故本選項不符合題意；C、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；D、左邊不是多項式，不符合因式分解定義，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別．3．（2021春·寧夏銀川·八年級?？计谥校┫铝械仁接勺筮叺接疫叺淖冃沃?，屬于因式分解的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】將一個多項式化為幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做多項式的因式分解．據(jù)此可以判斷得解．【詳解】A．等號的右邊不是幾個整式的積的形式，故選項A不符合題意；B．等號的右邊不是幾個整式的積的形式，故選項B不符合題意；C．等號的右邊是一個多項式，故選項C不符合題意；D．從左到右邊的變形，是因式分解，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了因式分解的概念，熟練掌握因式分解的定義是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021春·重慶南岸·八年級校聯(lián)考期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的意義求解即可．【詳解】解：A、，把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故A符合題意；B、，原式分解有誤，故B不符合題意；C、，是整式乘法，故C不符合題意；D、，右邊含有多項式的和，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的判斷，準確理解因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谥校┮蚴椒纸猓篲____.【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進行因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）分解因式：______．【答案】【分析】先提出公因式，再利用平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┮蚴椒纸猓篲____．【答案】【分析】先提公因式，再運用完全平方公式分解因式．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解．熟記乘法公式，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵．類型二、因式分解的計算【解惑】（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┌严铝懈魇椒纸庖蚴剑?1)；(2)a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用提公因式法分解因式；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；（3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點睛】此題考查了因式分解，正確掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2022春·山東青島·八年級山東省青島第七中學(xué)?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；（2）先根據(jù)完全平方公式展開，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·山東青島·八年級山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【詳解】（1）解：；（2）【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．3．（2021秋·四川巴中·八年級?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）原式直接運用平方差公式進行答案網(wǎng)；（2）原式首先提取公因數(shù)2后，再運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】（1）==；（2）==．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提取公因式，即可得；（2）提取公因數(shù)2，運用完全平方公式即可得．【詳解】（1）原式＝；（2）原式＝＝．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是關(guān)鍵．6．（2022春·湖南永州·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式進行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查了因式分解的知識，解題關(guān)鍵是綜合運用提公因式法和公式法進行因式分解．7．（2022春·江蘇常州·七年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1））直接提取公因式進行分解即可；（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式進行二次分解即可；（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式進行二次分解即可；（4）首先利用平方差公式進行分解，再利用完全平方公式進行二次分解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，與提公因式法分解因式，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．8．（2022秋·貴州遵義·八年級校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解；（1）先利用整式的乘法計算，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．類型三、因式分解的應(yīng)用【解惑】（2022秋·福建泉州·八年級福建省南安市僑光中學(xué)校考期中）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1所示，用兩塊型長方形和一塊型、一塊型正方形硬紙片拼成一個新的正方形．用兩種不同的方法計算圖1中正方形的面積，可以寫出一個熟悉的數(shù)學(xué)公式：___________：如圖2所示，用若干塊型長方形和型型正方形硬紙片拼成一個新的長方形，可以寫出因式分解的結(jié)果等于：___________；(2)如圖3，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形．就可以得到一個等式，這個等式是___________；請利用這個等式解答下列問題：①若三個實數(shù)a，b，c滿足，求的值②若三個實數(shù)x，y，z滿足，求的值．【答案】(1)，(2)，①28②33【分析】（1）從整體看，圖形為矩形，面積=長×寬，從部分看，圖形為若干小矩形，面積等于各部分的和，將圖形的面積用兩種方式表示即可解答；（2）先根據(jù)圖形，得到一個等式，再根據(jù)這個等式，①將代入即可解答；②根據(jù)積的乘方的逆運算，將整理為，得出，再結(jié)合前面的等式即可進行解答．【詳解】（1）解：由圖可知：圖一面積=，由圖可知：圖二面積=，故答案為：，．（2）由圖可知：圖三面積=．①，∴=28，②，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了根據(jù)幾何面積進行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的乘法和因式分解的方法，將圖形的面積用兩種不同的方法表示出來．【融會貫通】1．（2021秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長與寬分別為、的長方形，它的周長為14，面積為10，則的值為（

）A．2560 B．490 C．70 D．49【答案】B【分析】利用面積公式得到，由周長公式得到，所以將原式因式分解得出．將其代入求值即可．【詳解】解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，∴，，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解和代數(shù)式求值，準確計算、整體代入求值是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，將一個邊長為的正方形分割成四部分（邊長分別為，的正方形、邊長為和長方形），請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)請用兩種方法表示該正方形的面積（用含、的代數(shù)式表示）①______，②______；由此可以得到一個等量關(guān)系是______．(2)若圖中、滿足，，求的值．(3)若，求的值．(4)請利用上面的圖形分割方法進行因式分解：______（直接寫出分解結(jié)果即可）．【答案】(1)，，(2)5(3)(4)【分析】（1）該正方形的面積等于邊長的平方，或兩個長方形及兩個小正方形的面積之和；（2）根據(jù)，先求出，即可求出的值；（3）根據(jù)即可求解；（4）利用圖形分割的方法畫出圖形，即可求解．【詳解】（1）解：該正方形的面積可以表示為，也可以表示為，故答案為：，，；（2）解：，，，或（舍去），即的值為5；（3）解：，即，，，；（4）解：如圖所示，，故答案為：．【點睛】本題考查多項式乘多項式和因式分解的應(yīng)用，熟練運用完全平方公式，并且能夠通過圖形分割的方法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·北京西城·八年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校╅喿x下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式進行因式分解的過程解：設(shè)①，將①帶入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______方法；(2)老師說，小涵因式分解的結(jié)果不徹底，請你通過計算得出該因式分解的最后結(jié)果；(3)請你用“換元法”對多項式進行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【分析】（1）根據(jù)因式分解的方法判斷即可；（2）因式分解必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止，將因式分解成即可；（3）用換元法設(shè)，代入多項式，然后仿照題干的換元法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得：從到運用了因式分解中的提取公因式法故答案為：提取公因式（2）解：由題意得：（3）解：設(shè)，將代入中得：原式【點睛】本題考查了因式分解的方法和運用，解題關(guān)鍵是靈活運用換元法對較為復(fù)雜的多項式進行因式分解，達到去繁化簡的效果．4．（2022秋·河南鶴壁·八年級校考期中）一個代數(shù)式，若字母取值為整數(shù)，它的結(jié)果一定是偶數(shù)，則稱這個式子為“雙喜式”．例如：①，∵為整數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是“雙喜式”；②，將其變形得，∵為整數(shù)，∴與是兩個連續(xù)整數(shù)，必有一個偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是“雙喜式”．(1)下列各式中，不是“雙喜式”的是（

）A．；B．；C．；D．(2)求證：是“雙喜式”．【答案】(1)D(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“雙喜式”的定義，逐項驗證即可得到答案；（2）根據(jù)“雙喜式”的定義，按照閱讀材料中的方法求證即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“雙喜式”的定義，A、，∵為整數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是“雙喜式”，不符合題意；B、，將其變形得，∵為整數(shù)，則為整數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是“雙喜式”，不符合題意；C、，，∵為整數(shù)，則為整數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是“雙喜式”，不符合題意；D、，若取，則，為奇數(shù)，不是“雙喜式”，符合題意，故選：D；（2）證明：，∵為整數(shù)，∴、與是三個連續(xù)整數(shù)，必有一個偶數(shù)，∴是偶數(shù)，∴是偶數(shù)，即是“雙喜式”．【點睛】本題考查新定義題型，涉及因式分解，讀懂題意，按照新定義要求分析求證是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）【知識再現(xiàn)】在研究平方差公式時，我們在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形（a>b），如圖1，把余下的陰影部分再剪拼成一個長方形（如圖2），根據(jù)圖1、圖2陰影部分的面積關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a，b的等式①．【知識遷移】在邊長為a的正方體上挖去一個邊長為b（a>b）的小正方體后，余下的部分（如圖3）再切割拼成一個幾何體（如圖4）圖3中的幾何體的體積為②．圖4中幾何體的體積為③．根據(jù)它們的體積關(guān)系得到關(guān)于a，b的等式為④．（結(jié)果寫成整式的積的形式）請按照要求在橫線處填上合適的式子．【知識運用】（1）因式分解：；（2）已知，，求的值．（3）有人進行了這樣的化簡，，…面對這樣荒謬的約分，一笑之后，再認真檢測，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果竟然是正確的！仔細觀察式子，我們猜想：，試說明此猜想的正確性．（參考公式：）【答案】①；②；③；④；（1）；（2）；（3）正確，說明見解析【分析】①根據(jù)圖1和圖2圖形的面積相等列出等式即可；②用體積公式表示圖3的體積；③用體積公式表示圖4的體積；④根據(jù)兩個圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒有改變列出等式即可；（1）利用知識遷移中的結(jié)論，對進行因式分解；（2）利用結(jié)論對進行變形，化為含有和的式子，然后代入即可；（3）利用知識遷移中的結(jié)論，對進行變形化簡即可求證結(jié)論；【詳解】①根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得：，故答案為：；②根據(jù)圖3可知：體積為：，故答案為：；③根據(jù)圖4可知：體積為：，故答案為：；④根據(jù)兩個圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒有改變可得：，故答案為：；【知識運用】（1）（2）∵，，∴∴（3）∵∴這一猜想正確．【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）對于形如可用“配方法”將它分解成的形式，如在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，它不會改變整個式子的值，其變化過程如下：像這種“因式分解”的方法稱為“配方法”請完成下列問題：(1)利用“配方法”分解因式：；(2)已知是的三邊長，且滿足，求的周長；(3)在實數(shù)范圍內(nèi)，請比較多項式與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)12(3)；見解析【分析】（1）在原式中先加一項，再減去，用完全平方公式對式子進行因式分解，最后利用平方差公式再進行一次因式分解即可；（2）根據(jù)題目中的式子，利用配方法進行因式分解，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出的值，算出的周長即可；（3）將兩式作差，和比較大小即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：原式（2）解：，，則，是的三邊長，，；（3）解：∵，∴，∴【點睛】本題主要考查配方法，掌握因式分解，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·海南?？凇ぐ四昙壓Ｄ先A僑中學(xué)校考期中）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．(1)如圖，利用陰影面積的不同表示方法寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：___________；(2)解決問題：如果，求的值；(3)類比第（2）問的解決方法探究：如果一個長方形的長和寬分別為和，且，求這個長方形的面積．【答案】(1)；(2)49；(3)7．【分析】（1）根據(jù)圖形的面積的兩種不同的計算方法得到完全平方公式；（2）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；（3）根據(jù)矩形的周長和面積公式以及完全平方公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：方法一:通過觀察可得，陰影部分的長為，寬也為，即陰影部分為一個正方形，則；方法二：邊長為a的大正方形，減去2個長為a，寬為b的長方形，再加上多減掉一次的邊長為b的小正方形，即為陰影部分的面積；則，；（2）解：，；（3）解：設(shè)，，，，，，所以長方形的面積為：．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．類型四、因式分解求參【解惑】（2019秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）仔細閱讀下面例題，解答問題.【例題】已知關(guān)于的多項式有一個因式是，求另一個因式及的值.解：設(shè)另一個因式為，則，即.解得∴另一個因式為，的值為.【問題】仿照以上方法解答下面問題：（1）已知關(guān)于的多項式有一個因式是，求另一個因式及的值.（2）已知關(guān)于的多項式有一個因式是，求的值.【答案】（1），；（2）20.【分析】（1）按照例題的解法，設(shè)另一個因式為，則，展開后對應(yīng)系數(shù)相等，可求出a，b的值，進而得到另一個因式；（2）同理，設(shè)另一個因式為，則，展開后對應(yīng)系數(shù)相等，可求出k的值.【詳解】解：（1）設(shè)另一個因式為則，即.∴解得∴另一個因式為，的值為.（2）設(shè)另一個因式為，則，即.

∴解得∴的值為20.【點睛】本題考查因式分解，掌握兩個多項式相等，則對應(yīng)系數(shù)相等是關(guān)鍵.【融會貫通】1．（2022秋·上海松江·七年級?？计谥校┮阎囗検椒纸庖蚴降?，則，，的值分別為（）A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6【答案】C【分析】根據(jù)多項式乘以多項式運算法則將展開，分別對應(yīng)即可得出答案．【詳解】解：，∵多項式分解因式得，∴，故選：C．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，也可根據(jù)十字相乘法因式分解得進行求解．2．（2022春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）已知多項式分解因式的結(jié)果為，則的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】把根據(jù)乘法法則計算后與比較即可．【詳解】解：=2(x2+x2x2)=2x2+2x4x4=2x22x4，∵=2x22x4，∴b=2，c=4，故選B．【點睛】本題考查了因式分解，以及多項式與多項式的乘法計算，熟練掌握因式分解與乘法運算是互為逆運算的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）多項式可因式分解成，其中，，均為整數(shù)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知可得，然后利用多項式乘多項式的法則進行計算，從而可得，，，進而求出的值，進行計算即可解答．【詳解】解：，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）若（x+2）是多項式4x2+5x+m的一個因式，則m等于（

）A．–6 B．6 C．–9 D．9【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，一個因式（x+2），可得另一個因式，即可得答案．【詳解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n∴8+n=5，m=2n，∴n=3，m=6故選A．【點睛】本題考查因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．5．（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎稳検接幸粋€因式是，則m值為_________．【答案】3【分析】根據(jù)二次三項式有一個因式是，且，即可得到m的值．【詳解】解：∵二次三項式有一個因式是，，∴，，故答案為3．【點睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是湊因式．6．（2022秋·四川眉山·八年級?？计谥校┤舳囗検剑ǎ浅?shù)）分解因式后，有一個因式是，則代數(shù)式的值為______．【答案】81【分析】設(shè)另一個因式為x?a，因為整式乘法是因式分解的逆運算，所以將兩個因式相乘后結(jié)果得，根據(jù)各項系數(shù)相等列式，計算可得2m?n＝4．【詳解】解：設(shè)另一個因式為x?a，則，得，由①得：a＝m?2③，把③代入②得：n＝2（m?2），即2m?n＝4，＝34＝81，故答案為：81．【點睛】本題是因式分解的意義和同底數(shù)冪的除法，因式分解與整式乘法是相反方向的變形，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式；因此具體作法是：按多項式法則將分解的兩個因式相乘，7．（2021秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及k的值．【答案】另一個因式為（2x+13），k的值為65．【分析】設(shè)另一個因式為（2x+a），根據(jù)題意列出等式，利用系數(shù)對應(yīng)相等列出得到關(guān)于a和k的方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個因式為（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）則2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a∴，解得：a＝13，k＝65．故另一個因式為（2x+13），k的值為65．【點睛】此題考查了因式分解和整式乘法的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出另一個因式列出等式求解．類型五、十字相乘法【解惑】（2021秋·湖南懷化·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：材料1：將一個形如的二次三項式分解因式時，如果能滿足，且，則可以把分解因式成．例如：①；②．材料2：因式分解：．解：將“”看成一個整體，令，則原式．再將“”還原，得原式．上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．(1)根據(jù)材料1，分解因式：．(2)結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：．②分解因式：．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）將寫成，根據(jù)材料1的方法可得）即可；（2）①令，原式可變?yōu)?，再利用十字相乘法分解因式即可；②令，原式可變?yōu)椋?，利用十字相乘法可分解為，再將“”還原，即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）①令，∴∴②令，，∴．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2023春·七年級課時練習(xí)）如果多項式可分解為，則m，n的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算多項式乘多項式，然后再進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解十字相乘法，先計算多項式乘多項式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶豐都·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先提取公因式，進而利用完全平方公式分解因式即可；（2）用十字相乘法分解即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，能根據(jù)多項式的特點，靈活選擇方法是關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶黔江·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由得，；利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是的二次三項式分解因式．例如：將式子分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項，一次項系數(shù)，所以．解：．請依照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)若可分解為兩個一次因式的積，請寫出整數(shù)的所有可能的值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）將看作整體，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求滿足題意p的值即可．【詳解】（1）解：（2）解：原式；（3）解：若可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)的所有可能的值是：；；；，即整數(shù)的所有可能的值是：，．【點睛】此題考查了因式分解——十字相乘法，弄清題中的分解因式方法是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：．【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)整式的乘法化簡后利用十字相乘法因式分解，再將y換回，再次因式分解即可．【詳解】解：設(shè)，則原式．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握換元法和十字相乘法是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）提出問題：你能把多項式因式分解嗎？探究問題：如圖1所示，設(shè)，為常數(shù)，由面積相等可得：，將該式從右到左使用，就可以對形如的多項式進行進行因式分解即．觀察多項式的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項為兩數(shù)之和．解決問題：運用結(jié)論：(1)基礎(chǔ)運用：把多項式進行因式分解．(2)知識遷移：對于多項式進行因式分解還可以這樣思考：將二次項分解成圖2中的兩個的積，再將常數(shù)項分解成與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和為，就是的一次項，所以有．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．請用十字相乘法進行因式分解：【答案】(1)(2)【分析】（1）把拆成即可；（2）把拆成，把14拆成即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題屬于閱讀理解題型，考查了因式分解的十字相乘法，解題關(guān)鍵是掌握十字相乘法的運算規(guī)律．6．（2022秋·青海西寧·八年級校考期中），反過來可寫成．于是，我們得到一個關(guān)于二次三項式因式分解的新的公式通過觀察可知，公式左邊的二次項系數(shù)為兩個有理數(shù)的乘積，常數(shù)項也為兩個有理數(shù)的乘積，而一次項系數(shù)恰好為這兩對有理數(shù)交叉相乘再相加的結(jié)果，如圖①所示，這種因式分解的方法叫十字交叉相乘法．示例：因式分解：．解：由圖②可知，．請根據(jù)示例，對下列多項式進行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)題意給出的因式分解法即可求出答案．【詳解】（1）解：由圖1可知，．；（2）解：由圖2可知，．．【點睛】本題考查了因式分解的方法十字相乘法，弄清題中十字相乘的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海靜安·七年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；（2）利用換元法設(shè)，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；（4）首先去括號，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．【詳解】（1）；（2）設(shè)，∴原式∴；（3）；（4）．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．類型六、分組分解法【解惑】（2022春·江蘇揚州·七年級?？计谥校┫乳喿x以下材料，然后解答問題，分解因式．；也可以．以上分解因式的方法稱為分組分解法，(1)請用分組分解法分解下列因式：①②(2)拓展延伸①若求x，y的值；②求當(dāng)x、y分別為多少時？代數(shù)式有最小的值，最小的值是多少？【答案】(1)①；②(2)①，；②，，最小值：【分析】（1）①正確分組，然后用提取公因式，利用平方差公式求解；②將化為，再利用完全平方公式，平方差公式求解；（2）①將化為，求出x和y的值；②將分組分解得到，結(jié)合，，求出x和y的值，的最小值．【詳解】（1）解：①；②；（2）解：①，，，，，，；②，，，，時，有最小值，最小值是10，，，，即當(dāng)，時，代數(shù)式有最小值，最小值是10．【點睛】本題考查了因式分解的方法分組分解法，平方差公式和完全平方公式；正確進行分組是解決問題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2022春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．2．（2022秋·上海嘉定·七年級校考期中）分解因式：.【答案】【分析】先將多項式分組為，再分別利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了因式分解分組分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，能根據(jù)多項式特點進行適當(dāng)分組是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮阎猘，b，c三個數(shù)兩兩不等，且有，試求m的值．【答案】或【分析】，得，移項后因式分解得到，由a，b，c三個數(shù)兩兩不等，則，得到①，同理可得②，③，分和兩種情況求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，∴，∵a，b，c三個數(shù)兩兩不等，∴，∴①，同理可得②，③，當(dāng)時，①＋②＋③得，，∴，∴，∴，解得，當(dāng)時，∵a，b，c三個數(shù)兩兩不等，∴a，b，c三個數(shù)中至少一個不是0，設(shè)，∴,∵，∴，∴，∴，解得，綜上可知，m的值為或．【點睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解是基礎(chǔ)，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸狻谩敬鸢浮俊痉治觥肯确纸M，再利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┓纸庖蚴剑骸敬鸢浮俊痉治觥糠纸M分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式．【詳解】=．【點睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟練掌握分解方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）某校“數(shù)學(xué)社團”活動中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為.“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)分解因式：(2)分解因式：(3)已知:，，求:的值(4)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀并說明理由【答案】(1)(2)(3)7(4)是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）將和一組，和一組，分別提取公因式，再提取公因式即完成因式分解；（2）根據(jù)完全平方公式進行配方，再提取公因式；（3）先對進行因式分解，再將，代入即可得到答案；（4）先對進行因式分解，得到，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊得到，從而得到，從而證得是等腰三角形．【詳解】（1）；（2）；（3）==∵，，∴原式；（4）是等腰三角形；∵，∴，∴，∴，∵，所以，即，是等腰三角形．【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提取公因式、完全平方公式等方法．7．（2022春·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：．這種分解因式的方法叫分組分解法．請利用這種方法分解因式．【答案】【分析】把前三項分為一組，最后一項單獨作為一組，然后利用平方差公式進行分解即可解答．【詳解】解：．【點睛】本題考查了因式分解分組分解法，公因式，因式分解運用公式法，合理進行分組是解題的關(guān)鍵．類型七、因式分解新定義【解惑】定義新運算：對于任意實數(shù)、，都有，等式右邊通常是加法、減法及乘法運算．例如，．（1）求的值．（2）通過計算，驗證等成立．【答案】（1）；（2）驗證見解析．【分析】（1）根據(jù)提供的新運算法則將原式變形為我們熟悉的運算，然后再求出答案即可；（2）根據(jù)新運算法則分別將及進行計算，據(jù)此進行證明即可.【詳解】（1）．（2）∵．．∴．【點睛】本題主要考查了新運算下的因式分解的運用，根據(jù)題意準確理解新運算是解題關(guān)鍵.【融會貫通】1．（2022秋·河南周口·八年級?？计谀┰O(shè)m、n是實數(shù)，定義一種新運算：．下面四個推斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】各式利用題中的新定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：A．，，故推斷正確；B．，，故推斷不正確；C．，，故推斷不正確；D．，，故推斷不正確．故選：A．【點睛】此題考查了整式的運算和因式分解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用“*”定義一種運算：．對于，因式分解的結(jié)果是_____．【答案】【分析】先根據(jù)新運算的定義可得，再綜合利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解即可得．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．