第2章《有理數(shù)的運算》（教師版）

20232024學年浙教版數(shù)學七年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第2章《有理數(shù)的運算》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.43一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021秋?桓臺縣期末）如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正確的是（）A．a為正數(shù)，且|b|＞|a| B．a為正數(shù)，且|b|＜|a| C．b為負數(shù)，且|b|＞|a| D．b為負數(shù)，且|b|＜|a|解：∵a﹣b＞0，∴a＞b，①b≥0則a一定是正數(shù)，此時a+b＞0，與已知矛盾，∴b＜0，∵a+b＜0，當b＜0時，①若a、b同號，∵a＞b，∴|a|＜|b|，②若a、b異號，∴|a|＜|b|，綜上所述b＜0時，a≥0，|a|＜|b|．故選：C．2．（2分）（2022秋?潢川縣期中）m是有理數(shù)，則m+|m|（）A．可以是負數(shù) B．不可能是負數(shù) C．一定是正數(shù) D．可是正數(shù)也可是負數(shù)解：當m＞0時，m+|m|＞0，當m＝0時，m+|m|＝0，當m＜0時，m+|m|＝0，故選：B．3．（2分）計算（﹣3）2÷4×的結果是（）A．﹣9 B．9 C． D．解：（﹣3）2÷4×＝9××＝，故選：C．4．（2分）（2021春?浦江縣期末）現(xiàn)有價格相同的6種不同商品，從今天開始每天分別降價10%或漲價10%，若干天后，這6種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（）A．（）3 B．（）4 C．（）5 D．（）6解：設6種商品最初的價格為a，則n天（其中有m天降價，n﹣m天漲價）后商品的價格為a（1﹣10%）m（1+10）n﹣m＝（）m（）n﹣ma，∴6種商品的價格可表示為：①（）m（）n﹣ma，②（）m+1（）n﹣m﹣1a，③（）m+2（）n﹣m﹣2a，④（）m+3（）n﹣m﹣3a，⑤（）m+4（）n﹣m﹣4a，⑥（）m+5（）n﹣m﹣5a，設最高價格和最低價格的比值為r，∴r的最小值為，故選：C．5．（2分）（2021秋?鄒城市期中）如圖，有①，②，③，④，⑤五張寫著不同數(shù)字的卡片，請你從中抽取三張卡片，使其中兩張卡片上數(shù)字之差與第三張卡片上數(shù)字的乘積最小，你抽取的三張卡片應是（）A．①，②，③ B．②，③，④ C．①，②，⑤ D．②，④，⑤解：4﹣（﹣2）＝6，6×（﹣5）＝﹣30．故選：C．6．（2分）（2021秋?啟東市校級月考）下面結論正確的有（）①0是最小的整數(shù)；②在數(shù)軸上7與9之間的有理數(shù)只有8；③若a+b＝0，則a、b互為相反數(shù)；④有理數(shù)相加，和不一定大于其中一個加數(shù)；⑤1是絕對值最小的正數(shù)；⑥有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①因為0不是最小的整數(shù)，所以①錯誤，不符合題意；②因為在數(shù)軸上7與9之間的有理數(shù)有無數(shù)個，所以②錯誤，不符合題意；③因為a+b＝0，所以a、b互為相反數(shù)，所以③正確，符合題意；④因為有理數(shù)相加，和不一定大于其中一個加數(shù)，所以④正確，符合題意；⑤因為1不是絕對值最小的正數(shù)，所以⑤錯誤，不符合題意；⑥因為有理數(shù)分為正有理數(shù)、0和負有理數(shù)，所以⑥錯誤，不符合題意．所以結論正確的有③④，2個．故選：B．7．（2分）（2022秋?永春縣期中）設，利用等式（n≥3），則與A最接近的正整數(shù)是（）A．18 B．20 C．24 D．25解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故選：D．8．（2分）（2022?西城區(qū)校級模擬）如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上四個點，A點表示數(shù)為10，E點表示的數(shù)為10100，AB＝BC＝CD＝DE，則數(shù)1099所對應的點在線段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE解：∵A點表示數(shù)為10，E點表示的數(shù)為10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴B點表示的數(shù)為＝（10100﹣10）+10，∵（10100﹣10）+10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴數(shù)1099所對應的點在B點左側，∴數(shù)1099所對應的點在AB點之間，故選：A．9．（2分）（2020秋?濟南期末）取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經過若干步的計算最終可得到1．這個結論在數(shù)學上還沒有得到證明．但舉例驗證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．經過下面5步運算可得1，即：如圖所示．如果自然數(shù)m恰好經過7步運算可得到1，則所有符合條件的m的值有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個解：根據分析，可得則所有符合條件的m的值為：128、21、20、3．故選：B．10．（2分）（2021秋?北侖區(qū)校級月考）對正整數(shù)n，記1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，則M的正因數(shù)中共有完全立方數(shù)（）個．A．468 B．684 C．846 D．648解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10!，∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，所以238含有的立方數(shù)約數(shù)有20、23、26…236共13個，317含有的立方數(shù)約數(shù)有30、33、36…315共6個，57含有的立方數(shù)約數(shù)有50、53、56共3個，74含有的立方數(shù)約數(shù)有70、73共2個，所以M含有立方數(shù)約數(shù)為13×6×3×2＝468，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?鐵嶺模擬）隨著自主研發(fā)能力的增強，我國在制造芯片最重要也是最艱難的技術上有了新突破——光刻機，將在2023年下半年推出第一臺0.000000028m（28nm）工藝的國產沉浸式光刻機，其中數(shù)據0.000000028用科學記數(shù)法可表示為2.8×10﹣8．解：0.000000028＝2.8×10﹣8．故答案為：2.8×10﹣8．12．（2分）（2023?宿遷四模）有2023個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和．如果第一個數(shù)是0，第二個數(shù)是1，那么這2023個數(shù)的和是0．解：由題意可得，這列數(shù)為：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前6個數(shù)的和是：0+1+1+0﹣1﹣1＝0，∵2023÷6＝337…1，∴這2023個數(shù)的和是：0×337+0＝0．故答案為：0．13．（2分）（2023?鎮(zhèn)江二模）幺米是公認的最小長度單位，1幺米＝10﹣24米，24幺米用科學記數(shù)法表示為2.4×10﹣23米．解：24幺米＝24×10﹣24米＝2.4×10﹣23米．故答案為：2.4×10﹣23．14．（2分）（2023春?長寧區(qū)期末）a為有理數(shù)，定義運算符號△：當a＞﹣2時，△a＝﹣a；當a＜﹣2時，△a＝a；當a＝﹣2時，△a＝0．根據這種運算，則△[4+△（2﹣5）]的值為﹣1．解：根據題中的新定義得：△（2﹣5）＝△（﹣3）＝﹣3，則原式＝△（4﹣3）＝△1＝﹣1，故答案為：﹣115．（2分）（2022秋?安岳縣期末）定義新運算：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規(guī)定：a①＝a．通過以上信息，請計算：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝3．解：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案為：3．16．（2分）（2022秋?鐵東區(qū)校級月考）如下，方格表中的格子填上了數(shù)，每一行每一列及兩條對角線中所填數(shù)的和均相等，則x的值9．16x111512解：16+11+12＝39，39﹣11﹣15＝13，39﹣12﹣13＝14，x＝39﹣16﹣14＝9．故答案為：9．17．（2分）（2021秋?莊河市期末）莊河十二月份某天上午10時氣溫為5℃，過4小時后氣溫上升了4℃，又過了3小時氣溫又下降2℃，則此時的氣溫是7℃．解：由題意可列：5+4﹣2＝7（℃）故答案為：7．18．（2分）（2018秋?成都期末）已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝﹣2c．解：∵|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，∴a為非正數(shù)，b為負數(shù)，c為非負數(shù)，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，則原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案為：﹣2c19．（2分）（2018秋?翠屏區(qū)期中）如圖，定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，第三次“F運算”的結果是11．若n＝449，則第449次“F運算”的結果是8．解：本題提供的“F運算”，需要對正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于n＝449為奇數(shù)應先進行F①運算，即3×449+5＝1352（偶數(shù)），需再進行F②運算，即1352÷23＝169（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×169+5＝512（偶數(shù)），再進行F②運算，即512÷29＝1（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數(shù)），再進行F②運算，即8÷23＝1，再進行F①運算，得到3×1+5＝8（偶數(shù)），…，即第1次運算結果為1352，…，第4次運算結果為1，第5次運算結果為8，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結果為1，第7次運算結果為8，從第4次運算結果開始循環(huán)，且奇數(shù)次運算的結果為8，偶數(shù)次為1，而第499次是奇數(shù)，這樣循環(huán)計算一直到第449次“F運算”，得到的結果為8．故答案為：8．20．（2分）（2021秋?新鄉(xiāng)期中）某種細胞開始有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2個小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去1個，按此規(guī)律，請你計算經過n個小時后，細胞存活的個數(shù)為（2n+1）個（結果用含n的代數(shù)式表示）解：根據題意得：A0＝2，A1＝3，A2＝5，A3＝9，…按此規(guī)律，6小時后存活的個數(shù)是26+1＝65個，經過n個小時后，細胞存活的個數(shù)為An＝2n+1（個）．故答案為：（2n+1）．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?祁陽縣期末）計算：（1）；（2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣（﹣4）×（﹣3）．解：（1）＝﹣36×+36×﹣36×＝﹣18+30﹣21＝12﹣21＝﹣9；（2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣（﹣4）×（﹣3）＝﹣10+8÷4﹣12＝﹣10+2﹣12＝﹣8﹣12＝﹣20．22．（8分）（2023春?定遠縣期中）對于等式an＝b，若知道a和n求b，則稱為乘方運算；若知道b和n求a，則稱為開方運算．現(xiàn)新定義：對于等式an＝b中，知道a和b求n，且規(guī)定n＝L（a，b）．如：24＝16，則有：L（2，16）＝4．（1）根據上述規(guī)定，填空：①L（3，81）＝4；②L（2，0.25）＝﹣2；（2）計算：L；（3）探索L（2，3）?L（3，5）與L（2，5）的大小關系，并說明理由．解：（1）①∵34＝81，∴L（3，81）＝4，故答案為：4；②∵2﹣2＝0.25，∴L（2，0.25）＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）∵（）﹣3＝27，25＝32，∴L＝﹣3+5＝2；（3）L（2，3）?L（3，5）＝L（2，5），設L（2，3）＝x，L（3，5）＝y(tǒng)，L（2，5）＝z，則2x＝3，3y＝5，2z＝5，∴3y＝（2x）y＝2xy＝5，∴2xy＝2z，∴xy＝z，即L（2，3）?L（3，5）＝L（2，5）．23．（6分）（2022秋?成都期末）（1）計算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|；（2）小明同學在計算（﹣6）×（﹣）﹣23時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．如果計算結果等于6，求被污染的數(shù)字是多少？解：（1）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣＝；（2）設被污染的數(shù)字是x，由題意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，﹣4+6x﹣8＝6，6x＝6+4+8，6x＝18，x＝3，∴被污染的數(shù)字是3．24．（8分）（2023春?吳江區(qū)期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定，填空：（3，9）＝2，（4，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝3；（2）有同學在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），他給出了如下的證明：設（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．①若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，請你嘗試運用上述這種方法證明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（（x﹣1），（y2﹣y﹣2））（結果化成最簡形式）．解：（1）∵32＝9，∴（3，9）＝2；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3．故答案為：2，4，3；（2）①∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∴4a×4b＝5×6＝30＝4c，∴4a+b＝4c，即a+b＝c；②設[（x﹣1）n，（y+1）n]＝p，[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝q，由上述結論，知（x﹣1）p＝y(tǒng)+1，（x﹣1）q＝y(tǒng)﹣2，且[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝p+q，∵（x﹣1）p×（x﹣1）q＝（y+1）（y﹣2），即（x﹣1）p+q＝y(tǒng)2﹣y﹣2，∴[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]＝p+q，∴[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]．故答案為：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．25．（8分）（2022秋?湘潭縣期末）已知x，y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算*，滿足x*y＝xy﹣2x+1（1）求3*2的值；（2）對于任意兩個有理數(shù)x，y，是否都有x*y＝y(tǒng)*x成立？如果成立，請證明，如果不成立，請舉反例說明；（3）如圖，數(shù)軸上線段AB＝2（單位長度），CD＝4（單位長度），點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是1*（﹣9），點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是（﹣8）*．若線段AB以6個單位長度每秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以2個單位長度每秒的速度向左勻速運動．問運動多少秒時，BC＝8（單位長度）？此時點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少．解：（1）3*2＝3×2﹣2×3+1＝1（2）不成立，當x＝3，y＝2時，x*y＝3*2＝3×2﹣2×3+1＝1，y*x＝2*3＝2×3﹣2×2+1＝6﹣4+1＝3，∴對于任意兩個有理數(shù)x，y，x*y＝y(tǒng)*x不一定成立；（3）∵點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是1*（﹣9）＝1×（﹣9）﹣2×1+1＝﹣10，∵AB＝2，∴點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是：﹣8，∵點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是（﹣8）*＝﹣8×﹣2×（﹣8）+1＝16，設運動t秒時，BC＝8（單位長度），分兩種情況：①當點B在點C的左側時，由題意得：（16﹣2t）﹣（﹣8+6t）＝8，t＝2，此時點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是：﹣8+6t＝﹣8+12＝4，②當點B在點C的右側時，由題意得：（﹣8+6t）﹣（16﹣2t）＝8，t＝4，此時點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是：﹣8+6t＝﹣8+24＝16．26．（8分）（2021秋?紅花崗區(qū)期末）類比推理是一種重要的推理方法，根據兩種事物在某些特征上相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結論．閱讀感知：在異分母的分數(shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：，我們將上述計算過程倒過來，得到，這一恒等變形過程在數(shù)學中叫做裂項．類似地，對于可以用裂項的方法變形為：．類比上述方法，解決以下問題．【類比探究】（1）猜想并寫出：＝；【理解運用】（2）類比裂項的方法，計算：；【遷移應用】（3）探究并計算：．解：（1）＝，故答案為：；（2）由（1）易得：＝＝＝；（3）+＝﹣×（++++…+）＝﹣×（1﹣++…+）＝﹣×（1﹣）＝﹣×＝﹣．27．（8分）（2022秋?龍沙區(qū)期中）【概念學習】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫作除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作2的圈3次方，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作﹣3的圈4次方，一般地，把記作a?，讀作a的圈n次方．【初步探究】（1）直接寫出計算結果：3③＝，（﹣）⑤＝﹣27．（2）關于除方，下列說法錯誤的是C．A．任意非零數(shù)的圈2次方都等于1B．對于任意正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1．C．3④＝4③．D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)．【深入思考】（3）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉化為乘方運算呢？除方→2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2＝乘方冪的形式Ⅰ．試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式；5⑥＝（）4，（﹣）⑩＝28；Ⅱ．想一想，將一個非零有理數(shù)a的圈n（n為大于2的正整數(shù)）次方寫成冪的形式等于（）n﹣2；Ⅲ．算一算，求122÷（﹣）④÷（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33的值．解：（1）3③＝3÷3÷3＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27，故答案為：，﹣27；（2）任意非零數(shù)的圈2次方都等于1，A選項正確；對于任意正整數(shù)n，1的