6.3平面向量的基本定理及坐標表示重點強化提升講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

6.3平面向量的基本定理及坐標表示知識知識歸納1．平面向量基本定理e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ我們把不共線的向量e12．“爪”子定理形式1：在△ABC中，D是BC上的點，如果|BD|＝m，|DC|＝n，則AD=特別地，若D為線段BC的中點，則AD=形式2：在△ABC中，D是BC上的點，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))，特別地，若D為線段BC的中點，則AD=3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.5．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.6．向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)(θ為向量a，b的夾角)長度問題數(shù)量積的定義|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)7．奔馳定理與三角形“四心”1.奔馳定理:如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.2.奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或考點講解考點講解題型一：平面向量基本定理1．（2024·湖南益陽·一模）在平行四邊形中，，，若，則（

）A． B． C． D．12．（2024·四川·一模）如圖，在中，點，分別在，邊上，且，，點為中點，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東·二模）已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則k的值是（

）A． B． C． D．4．（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形中，，，記，，用和表示；若，，則值為.題型二：平面向量正交分解和坐標表示1．如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，若，，則向量的坐標為（

）

A． B．C． D．2．如圖，當(dāng)時，定義平面坐標系xOy為仿射坐標系，在仿射坐標系中，任意一點M的斜坐標這樣定義：若，其中，分別為與x軸、y軸正方向相同的單位向量，則M的斜坐標為．在仿射坐標系中，若，M的斜坐標為，則O到M的距離為（

）A．1 B． C． D．33．(多選)用下列，能表示向量的是（

）A．， B．，C．， D．，4．在平面直角坐標系中，已知，當(dāng)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標為.題型三：平面向量加減運算的坐標表示1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，點，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．2．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（

）A．若，，則B．已知向量，，則C．若，則和在上的投影向量相等D．已知，，，則點A，B，D一定共線3．（2024·湖北武漢·二模）已知點為平面內(nèi)不同的四點，若，且，則4．（2024·北京·三模）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則的值．題型四：平面向量數(shù)乘運算的坐標表示1．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A． B． C．0 D．12．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）梯形中，，已知，則（

）A． B． C． D．4．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件題型五：平面向量數(shù)量積的坐標表示1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）若向量，若與夾角為鈍角，則的可能取值為（

）A．1 B．0 C． D．2．（多選）（2024·浙江紹興·三模）已知平面向量，，則（

）A．若，則B．若，則C．若在的投影向量為，則D．若，則3．（多選）（2024·遼寧·模擬預(yù)測）函數(shù)（）經(jīng)過點，圖象上距離軸最近的最高點為，距離軸最近的最低點為，若為坐標原點，則（

）A． B．C．可取 D．4．（2024·北京海淀·三模）已知點，，O為坐標原點，則的取值范圍是．題型六：坐標計算模和參數(shù)題型七：坐標求向量垂直問題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則（

）A．10 B．5 C． D．2．（2024·廣東·一模）已知向量，，且，則向量與的夾角等于（

）A． B． C． D．3．（多選）（2024·安徽·三模）已知向量，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知平面向量，若，則．題型八：坐標求向量夾角問題1．（2024·山東·二模）已知向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．2．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則向量與向量的夾角的余弦值為D．若，則向量在向量上的投影向量為3．（多選）（2024·江蘇南通·二模）已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為（

）A． B． C． D．4．（2024·天津河北·模擬預(yù)測）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求向量與的夾角的余弦值．鞏固提升鞏固提升1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）設(shè)向量，向量，若且，則（

）A． B．2 C．1 D．或12．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）已知向量，，（分別為正交單位向量），則（

）A． B．1 C．6 D．3．（2024·湖北黃岡·一模）若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2024·河南焦作·二模）已知向量，，其中，若，則（

）A．40 B．48 C．51 D．625．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，若分別是邊，上的動點，滿足，其中，若，則的值為（

）

A．1 B．3 C． D．7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知向量，且，則的值為（

）A．3 B．5 C．或5 D．0或38．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知向量與向量共線，，，且向量與向量的夾角為銳角，則向量（

）A． B． C． D．9．（多選）（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知,則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若,則10．（多選）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知向量，，則（

）A． B．C．與的夾角為 D．在上的投影向量為11．（多選）（2024·新疆·三模）已知點O0,0，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為12．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）菱形中，，，則．13．（2023·河南·模擬預(yù)測）向量的夾角為，定義運算“”:，若，，則的值為.14．（2024·上?！と＃┮阎蛄浚瘮?shù)，若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為.15．（2023·黑龍江大慶·二模）已知，，．(1)若，求x的值；(2)求的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值．16．（2024·山東臨沂·一模）已知向量，，函數(shù).(1)若，且，求的值；(2)將圖象上所有的點向右平移個單位，然后再向下平移1個單位，最后使所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，當(dāng)時，解不等式.走進高考走進高考1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2020·山東·高考真題）已知點，，點在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或8．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最