考點23矩形與正方形

考點23矩形與正方形矩形和正方形是特殊平行四邊形中比較重要的兩個圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一。其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視。正方形單獨考察的較少，但是出現(xiàn)時也基本都是選擇題的壓軸題，難度也較大。所以考生在這塊知識點的復(fù)習(xí)上，必須都要特別的重視，不僅要熟練掌握矩形、正方形的性質(zhì)與判定，還要重點關(guān)注兩圖形附帶的轉(zhuǎn)化思想的考察和舉一反三。矩形的性質(zhì)矩形的判定正方形的性質(zhì)和判定各四邊形間的常見轉(zhuǎn)化考向一：矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)矩形的對邊平行且相等矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等且互相平分矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形1．下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．鄰邊互相垂直【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵矩形的對角線互相平分且相等，鄰邊互相垂直，但矩形的對角線不一定垂直，∴矩形不一定具有的是對角線互相垂直，故選：A．2．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD四條邊上的點，已知EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，則EF：GH為（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4【分析】過點H作HM⊥AB，垂足為M，過點F作FN⊥AD，垂足為N，設(shè)HM，F(xiàn)E交于點O，再證明△MHG∽△NFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過點H作HM⊥AB，垂足為M，過點F作FN⊥AD，垂足為N，設(shè)HM，F(xiàn)E交于點O，則NF＝AB，MH＝BC，∴∠ENF＝∠GMH＝90°，∵EF⊥GH，∴∠GHM+∠HOE＝∠EFN+∠FOM＝90°，又∵∠HOE＝∠FOM，∴∠GHM＝∠EFN，∴△MHG∽△NFE，∴EF：GH＝NF：HM＝AB：BC＝2：3．故選：B．3．如圖，在等邊△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，以AD，CD為鄰邊作矩形ADCE，連接BE交CD邊于點F，則cos∠CBE的值為（）A． B． C． D．【分析】過點E作EH⊥BC，在等邊△ABC中設(shè)邊長為a，利用等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)表示出EC，BC的長度，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得CH，EH，BE的長度，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論．【解答】解：過點E作EH⊥BC，交BC的延長線于點H，如圖，在等邊△ABC中設(shè)邊長為a，∵CD⊥AB，AC＝AB＝BC＝a，∴AD＝BD＝a，∵四邊形ADCE為矩形，∴EC＝CD＝a，∠DCE＝90°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∠BCD＝∠BAC＝30°，∴∠ECH＝60°．∵EH⊥BC，∴CH＝EC?cos60°＝a，EH＝EC?sin60°＝a，∴BH＝BC+CE＝a+a＝a．∴BE＝a．∴cos∠CBE＝＝＝．故選：A．4．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交BC于點E，若，CE＝1，則BE的長為2．【分析】利用矩形的性質(zhì)先求得，∠EBO＝∠ACB，再證明△BOE∽△CBA，即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴，∴，∠EBO＝∠ACB，∵OE⊥BD，∴∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴即，解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去），故答案為：2．5．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝6厘米，點E在邊BC上且BE＝2EC，動點P從A點出發(fā)，先以每秒1厘米的速度沿A→B運動，然后以每秒2厘米的速度沿B→C運動，再以每秒1厘米的速度沿C→D運動，最終到達(dá)點D．設(shè)點P運動的時間是t秒，那么當(dāng)t＝或或時，三角形APE的面積等于5平方厘米．【分析】由題意可得BE＝4厘米，EC＝2厘米，再分四種情況：①當(dāng)點P在邊AB上時；②當(dāng)點P在邊BC上，且在點E右側(cè)時；③當(dāng)點P在邊BC上，且在點E右側(cè)時；④當(dāng)點P在邊CD上時．根據(jù)三角形APE的面積等于5平方厘米分別列出方程，求解即可．【解答】解：∵BC＝6厘米，BE＝2EC，∴BE＝4厘米，EC＝2厘米，①如圖，當(dāng)點P在邊AB上時，AP＝t厘米（0＜t≤4），，解得：t＝；②如圖，當(dāng)點P在邊BC上，且在點E左側(cè)時，PE＝4﹣2（t﹣4）＝（12﹣2t）厘米（4＜t≤6），，解得：t＝；③如圖，當(dāng)點P在邊BC上，且在點E右側(cè)時，PE＝2（t﹣4）﹣4＝（2t﹣12）厘米（6＜t≤7），，解得：t＝＞7，不符合題意，舍去；④如圖，當(dāng)點P在邊CD上時，CP＝（t﹣7）厘米，DP＝4﹣（t﹣7）＝（11﹣t）厘米（7＜t≤11），S△APE＝S長方形ABCD﹣（S△ABE+S△PEC+S△ADP）＝＝4×6﹣＝2t﹣10，則2t﹣10＝5，解得：t＝．綜上，當(dāng)t＝或或時，三角形APE的面積等于5平方厘米．故答案為：或或．考向二：矩形的判定矩形的判定有一個角是直角的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形四個角都相等的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形對角線相等且互相平分的四邊形是矩形拓展矩形的面積等于兩鄰邊的積1．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列結(jié)論中，不正確的是（）A．當(dāng)AB⊥AD時，四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)OA＝OB時，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AB＝AC時，四邊形ABCD是菱形【分析】利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A．∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故結(jié)論正確，但不符合題意；B．∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故結(jié)論正確，但不符合題意；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝AC，BO＝BD，又∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故結(jié)論正確，但不符合題意；D．當(dāng)AB＝AC時，四邊形ABCD不一定是菱形，故結(jié)論錯誤，符合題意．故選：D．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（）A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，OA＝OC，OB＝OD，再證OM＝ON，則四邊形AMCN是平行四邊形，然后證MN＝AC，即可得出結(jié)論．【解答】解：添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是OM＝AC，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵對角線BD上的兩點M、N滿足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．故選：B．3．四邊形ABCD的對角線相交于點O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，則AB：AC＝1：2．【分析】求出AC＝BD，根據(jù)矩形的判定得出即可，求出△AOB是等邊三角形，求出AB＝AO，即可得出答案．【解答】解：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝AC，∴AB：AC＝1：2，故答案為：1：2．4．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，點G是CD的中點，點E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①直接寫出：當(dāng)AE＝4cm時，四邊形CEDF是菱形（不需要說明理由）；②當(dāng)AE＝7cm時，四邊形CEDF是矩形，請說明理由．【分析】（1）證△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）①證△CDE是等邊三角形，推出CE＝DE，再根據(jù)菱形的判定推出即可．②求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，再根據(jù)矩形的判定推出即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG＝DG，在△CFG和△DEG中，，∴△CFG和△DEG（ASA），∴FG＝EG，又∵CG＝DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)AE＝4cm時，四邊形CEDF是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠CDE＝∠B＝60°，∵AE＝4cm，∴DE＝AD﹣AE＝6cm，∴DE＝CD，∴△CDE是等邊三角形，∴CE＝DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴平行四邊形CEDF是菱形，故答案為：4；②當(dāng)AE＝7時，平行四邊形CEDF是矩形，理由如下：如圖，過A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm，∵AE＝7cm，∴DE＝AD﹣AE＝3cm＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴平行四邊形CEDF是矩形，故答案為：7．考向三：正方形正方形的性質(zhì)正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì)正方形的判定有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一個角是直角的菱形是正方形對角線相等且互相平分的四邊形是正方形拓展正方形的問題通常轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的問題來探究1．下列說法錯誤的是（）A．有一個角為直角的菱形是正方形 B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形【分析】正方形：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等，且互相垂直平分的平行四邊形；菱形：四條邊都相等，對角線互相垂直平分的平行四邊形；矩形：四個角都相等，對角線相等的平行四邊形．【解答】解：A、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角，則該菱形是正方形．故本選項說法正確；B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角．則該矩形為正方形．故本選項說法正確；C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形．故本選項說法正確；D、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．故本選項說法錯誤；故選：D．2．如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向外作等邊△ABE，則∠BED的度數(shù)為（）A．55° B．45° C．42.5° D．40°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠DAB＝90°，AD＝AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠EAB＝60°，AE＝AB，求出AE＝AD，求出∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB，∵△ABE是等邊三角形，∴∠AEB＝∠EAB＝60°，AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，故選：B．3．如圖，四邊形ABCD、CEFG均為正方形，其中正方形CEFG面積為36cm2，若圖中陰影部分面積為10cm2，則正方形ABCD面積為（）A．6 B．16 C．26 D．46【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與三角形的面積公式得出：陰影部分面積＝（CE2﹣BC2），便可求得結(jié)果．【解答】解：∵陰影部分面積＝DE×（BC+CG），∴陰影部分面積＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2），∵正方形CEFG面積為36cm2，圖中陰影部分面積為10cm2，∴10＝×（36﹣S正方形ABCD），∴S正方形ABCD＝16，故選：B．4．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF，其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，然后求出AF＝DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝BF，從而判定出①正確；再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABF＝∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO＝90°，再得到∠AOB＝90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設(shè)AO＝OE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AB＝BE，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得BE＞BC，即BE＞AB，從而判斷③錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設(shè)AO＝OE，如圖，連接BE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB＝BC相矛盾，所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；綜上所述，正確的有①②④．故選：D．5．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長為（）A． B． C． D．【分析】延長BG交CH于點E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的長．【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故選：B．6．如圖，銳角△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，BD＝2，CD＝3，則AD＝6．【分析】作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA、OB、OC．利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求得DE＝OF，在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF，進(jìn)而求解．【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA、OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BD＝2，CD＝3，∴BC＝2+3＝5，∴BO＝CO＝，∵OE⊥BC，O為圓心，∴BE＝BC＝，在Rt△BOE中，BO＝，BE＝，∴OE＝BE＝，∵∠OED＝∠EDF＝∠OFD＝90°，∴四邊形OEDF是矩形，∴DF＝OE＝，OF＝DE＝BE﹣BD＝﹣2＝，在Rt△AOF中，AO＝，OF＝，∴AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝+＝6．故答案為：6．7．如圖，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向形外作正方形ABEF，ACGH，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．有以下5個結(jié)論：①△ABC面積與△AFH面積相等．②過點A作邊BC的垂線交FH于點D，則FD＝HD．③O為邊BC的中點，OA延長線與HF交于點P，則AP⊥HF且HF＝2AO．④連接FC、HB相交于點R，則FC＝HB且FC⊥HB．⑤連結(jié)EG，S為EG的中點，則SB＝SC且SB⊥SC．其中正確的結(jié)論是①②③④⑤（填序號）．【分析】①作CM⊥AB，作HN⊥FA，證明△AMC≌△ANH（AAS），推出CM＝HN，由三角形面積公式即可判斷；②作出圖2的輔助線，證明△AKB≌△FTA（AAS），推出AK＝FT，得到FT＝HQ，再證明△TFD≌△QHD（AAS），即可判斷；③作出圖3的輔助線，證明△BOL≌△COA（SAS），再證明△ABL≌△FAH（SAS），即可判斷；④作出圖4的輔助線，證明△FAC≌△BAH（SAS），推出FC＝HB，∠AFC＝∠ABH，再證明∠BRW＝90°，即可判斷；⑤作出圖5的輔助線，證明△ESI≌△GSC（SAS）和△BEI≌△BAC（SAS），推出∠IBC＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：①如圖1，過點C作CM⊥AB于點M，過點H作HN⊥FA的延長線于點N，則∠AMC＝∠N＝90°，∵四邊形ABEF和四邊形ACGH都是正方形，∴∠BAF＝∠CAH＝90°，AB＝AF，AC＝AH，∴∠BAC+∠FAH＝360°﹣∠BAF﹣∠CAH＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵∠HAN+∠FAH＝180°，∴∠BAC＝∠HAN（同角的補角相等），在△AMC和△ANH中，，∴△AMC≌△ANH（AAS），∴CM＝HN，又∵，，且AB＝AF，∴△ABC面積與△AFH面積相等，故①正確；②如圖2，過點A作BC的垂線交FH于點D，設(shè)垂足為K，過點H作HQ⊥AD于點Q，過點F作FT⊥AD的延長線于點T，則∠AKB＝∠AKC＝∠HQD＝∠HQA＝∠T＝90°，∵∠BAF＝90°，∠T＝90°，∴∠KAB+∠TAF＝90°，∠TFA+∠TAF＝90°，∴∠KAB＝∠TFA（同角的余角相等），在△AKB和△TFA中，，∴△AKB≌△FTA（AAS），∴AK＝FT，同理可證HQ＝AK，∴FT＝HQ，在△TFD和△QHD中，，∴△TFD≌△QHD（AAS），∴FD＝HD，故②正確；③如圖3，延長AO至L，使LO＝AO，連接BL，則AL＝2AO，∵O為邊BC的中點，∴OB＝OC，在△BOL和△COA中，，∴△BOL≌△COA（SAS），∴∠L＝∠CAO，BL＝AC，∴BL∥AC，∴∠ABL+∠BAC＝180°，由②得∠BAC+∠FAH＝180°，∴∠ABL＝∠FAH，∵BL＝AC，AC＝AH，∴BL＝AH，在△ABL和△FAH中，，∴△ABL≌△FAH（SAS），∴AL＝HF，∠BAL＝∠AFH，∵∠BAF＝90°，∴∠BAL+∠FAP＝90°，∴∠FPA＝180°﹣（∠AFH+∠FAP）＝180°﹣90°＝90°，∴AP⊥HF，∵AL＝HF，AL＝2AO，∴HF＝2AO，故③正確；④如圖4，連接FC、HB相交于R，設(shè)FC交AB于點W，∵∠BAF＝∠CAH＝90°，∴∠BAF+∠BAC＝∠CAH+∠BAC，即∠FAC＝∠BAH，在△FAC和△BAH中，，∴△FAC≌△BAH（SAS），∴FC＝HB，∠AFC＝∠ABH，∵∠BAF＝90°，∴∠AFC+∠AWF＝90°，∴∠ABH+∠AWF＝90°，又∵∠BWR＝∠AWF，∴∠ABH+∠AWR＝90°，∴∠BRW＝180°﹣（∠ABH+∠AWR）＝180°﹣90°＝90°，∴FC⊥HB，故④正確；⑤如圖5，延長CS至I，使SI＝SC，連接BI并延長交AF于J，∵四邊形ABEF和四邊形ACGH都是正方形，∴BE∥AF，AH∥CG，BE＝AB，AC＝CG，∠ABE＝90°，∵S是EG的中點，∴SE＝SG，在△ESI和△GSC中，，∴△ESI≌△GSC（SAS），∴IE＝CG，∠IES＝∠CGS，∴EJ∥GB，又∵AH∥CG，∴EJ∥AH，∴∠EJA＝∠FAH，又∵∠BAC+∠FAH＝180°，∴∠BAC+∠EJA＝180°，∵BE∥AF，∴∠BEI+∠BJA＝180°，∴∠BEI＝∠BAC，∵AC＝CG，IE＝CG，∴IE＝AC，在△BEI和△BAC中，，∴△BEI≌△BAC（SAS），∴BI＝BC，∠IBE＝∠CBA，∴∠IBE+∠IBA＝∠CBA+∠IBA，即∠ABE＝∠IBC，又∵∠ABE＝90°，∴∠IBC＝90°，又∵SI＝SC，∴，∵BI＝BC，且SI＝SC，∴SB⊥CI，即SB⊥SC，故⑤正確；綜上所述，正確的有①②③④⑤，故答案為：①②③④⑤．考向四：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的轉(zhuǎn)化關(guān)系1．下列說法正確的是（）A．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 B．對角線相等的四邊形是正方形 C．四邊都相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的四邊形是矩形【分析】分別根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各選項進(jìn)而得出答案．【解答】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意；B、對角線相等的菱形是正方形，此選項錯誤，不符合題意；C、四邊都相等的四邊形是菱形，此選項正確，符合題意；D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意．故選：C．2．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD，OE與AB交于點F．若OE＝5，AC＝8，則菱形ABCD的高為．【分析】證四邊形AEBO為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得∠AOB＝90°，則四邊形AEBO是矩形，然后由勾股定理得OB＝3，則BD＝6，然后由菱形的面積公式解答即可．【解答】解：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AEBO是平行四邊形，又∵菱形ABCD對角線交于點O，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°．∴平行四邊形AOBE是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，設(shè)菱形ABCD的高為h，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?h，∴h＝＝，即菱形ABCD的高為，故答案為：．3．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，交CD于點F．（1）求證：四邊形DOCE是矩形；（2）若EF＝2，∠ABC＝120°，直接寫出菱形ABCD的面積．【分析】（1）先判斷出四邊形DOCE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC⊥BD，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BAD＝60°，判斷出△ABD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OA、OB，再根據(jù)菱形的面積公式列式計算即可得解．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四邊形DOCE是矩形；（2）解：∵EF＝2，四邊形DOCE是矩形，∴OE＝CD＝2EF＝4，∵ABCD是菱形，∴AB＝CD＝4，∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴OB＝×4＝2，OA＝2×＝，∴AC＝2，BD＝4，∴四邊形ABCD的面積＝AC?BD＝×2×4＝4．1．（2022?日照）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（）A．27° B．53° C．57° D．63°【分析】根據(jù)題意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代換求出∠EAB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AED．【解答】解：如圖，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故選：D．2．（2022?黔東南州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，則四邊形OCED的周長是20．【分析】先證四邊形OCED是平行四邊形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性質(zhì)得OC＝OD＝5，則OC＝OD＝CE＝DE，得平行四邊形OCED是菱形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四邊形OCED是菱形，∴菱形OCED的周長＝4OC＝4×5＝20，故答案為：20．3．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．∵?ABCD中，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B．∵?ABCD中，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項B不符合題意；C．?ABCD中，AB＝AC，不能判定?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D．∵?ABCD中，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項D符合題意；故選：D．4．（2022?包頭）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，EF∥AB，AE＝AB，AF與BE相交于點O，連接OC．若BF＝2CF，則OC與EF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．2OC＝EF B．OC＝2EF C．2OC＝EF D．OC＝EF【分析】過點O作OH⊥BC于點H，得出四邊形ABFE是正方形，再根據(jù)線段等量關(guān)系得出CF＝EF＝2OH，根據(jù)勾股定理得出OC＝OH，即可得出結(jié)論．【解答】解：過點O作OH⊥BC于點H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四邊形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故選：A．5．（2022?青海）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為6．【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△BDC的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC?CD＝＝6，∴S陰影＝6．故答案為6．6．（2022?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 B．有一個角是直角的四邊形是矩形 C．對角線互相平分的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的矩形是正方形【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判斷即可．【解答】解：A、對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項不符合題意；B、有一個角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項不符合題意；C、對角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項不符合題意；D、對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項符合題意．故選：D．7．（2022?黃石）如圖，正方形OABC的邊長為，將正方形OABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，則點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)為（）A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2）【分析】連接OB，由正方形的性質(zhì)和勾股定理得OB＝2，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B1在y軸正半軸上，且OB1＝OB＝2，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OB，∵正方形OABC的邊長為，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵將正方形OABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)45°后點B旋轉(zhuǎn)到B1的位置，∴B1在y軸正半軸上，且OB1＝OB＝2，∴點B1的坐標(biāo)為（0，2），故選：D．8．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到∠ADF的度數(shù)，從而可以求得∠CDF的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故選：C．9．（2022?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（）A． B． C．2﹣ D．【分析】連接EF，由正方形ABCD的面積為3，CE＝1，可得DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30°，故AF＝＝1，DF＝AD﹣AF＝﹣1，可知EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，而M，N分別是BE，BF的中點，即得MN＝EF＝．【解答】解：連接EF，如圖：∵正方形ABCD的面積為3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝，∵CE＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M(jìn)，N分別是BE，BF的中點，∴MN是△BEF的中位線，∴MN＝EF＝．故選：D．10．（2022?恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點P從點D出發(fā)，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，兩個動點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)t＝4s時，四邊形ABMP為矩形 B．當(dāng)t＝5s時，四邊形CDPM為平行四邊形 C．當(dāng)CD＝PM時，t＝4s D．當(dāng)CD＝PM時，t＝4s或6s【分析】根據(jù)題意，表示出DP，BM，AP和CM的長，當(dāng)四邊形ABMP為矩形時，根據(jù)AP＝BM，列方程求解即可；當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，根據(jù)DP＝CM，列方程求解即可；當(dāng)CD＝PM時，分兩種情況：①四邊形CDPM是平行四邊形，②四邊形CDPM是等腰梯形，分別列方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，當(dāng)四邊形ABMP為矩形時，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故A選項不符合題意；當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，DP＝CM，即t＝8﹣t，解得t＝4，故B選項不符合題意；當(dāng)CD＝PM時，分兩種情況：①四邊形CDPM是平行四邊形，此時CM＝PD，即8﹣t＝t，解得t＝4，②四邊形CDPM是等腰梯形，過點M作MG⊥AD于點G，過點C作CH⊥AD于點H，如圖所示：則∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝10﹣t+，又∵BM＝t，∴10﹣t+＝t，解得t＝6，綜上，當(dāng)CD＝PM時，t＝4s或6s，故C選項不符合題意，D選項符合題意，故選：D．11．（2022?西寧）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，點E在AB邊上，AE＝5．若點P是矩形ABCD邊上一點，且與點A，E構(gòu)成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長是5或4．【分析】分情況討論：①當(dāng)AP＝AE＝5時，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE＝AE＝5即可；②當(dāng)P1E＝AE＝5時，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底邊AP1即可．【解答】解：如圖所示，①當(dāng)AP＝AE＝5時，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE＝AE＝5；②當(dāng)P1E＝AE＝5時，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底邊AP1＝；綜上所述：等腰三角形AEP1的底邊長為5或4；故答案為：5或4．12．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣2【分析】如圖，取AD的中點O，連接OB，OM．證明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，點M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AD的中點O，連接OB，OM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴點M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值為﹣2．故選：D．13．（2022?黑龍江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，點E在邊CD上，且CE＝4，點P是直線BC上的一個動點．若△APE是直角三角形，則BP的長為或或6．【分析】若△APE是直角三角形，有三種情況：①如圖1，∠AEP＝90°，②如圖2，∠PAE＝90°，③如圖3，∠APE＝90°，分別證明三角形相似可解答．【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三種情況：①如圖1，∠AEP＝90°，∴∠AED+∠CEP＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴∠CEP+∠CPE＝90°，∴∠AED＝∠CPE，∴△ADE∽△ECP，∴＝，即＝，∴CP＝，∵BC＝AD＝12，∴BP＝12﹣＝；②如圖2，∠PAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，∴∠DAE＝∠BAP，∵∠D＝∠ABP＝90°，∴△ADE∽△ABP，∴＝，即＝，∴BP＝；③如圖3，∠APE＝90°，設(shè)BP＝x，則PC＝12﹣x，同理得：△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴x1＝x2＝6，∴BP＝6，綜上，BP的長是或或6．故答案為：或或6．14．（2022?宿遷）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點M、N分別是邊AD、BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H．在這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長是π．【分析】如圖1中，連接MN交EF于點P，連接BP．首先證明PN＝2，利用勾股定理求出BP．由∠BHP＝90°，推出點H在BP為直徑的⊙O上運動，當(dāng)點E與A重合時，如圖2中，連接OH，ON．點H的運動軌跡是．求出∠HON，再利用弧長公式求解．【解答】解：如圖1中，連接MN交EF于點P，連接BP．∵四邊形ABCD是矩形，AM＝MD，BN＝CN，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝6，∵EM∥NF，∴△EPM∽△FPN，∴＝＝＝2，∴PN＝2，PM＝4，∵BN＝4，∴BP＝＝＝2，∵BH⊥EF，∴∠BHP＝90°，∴點H在BP為直徑的⊙O上運動，當(dāng)點E與A重合時，如圖2中，連接OH，ON．點H的運動軌跡是．此時AM＝4，NF＝2，∴BF＝AB＝6，∵∠ABF＝90°，BH⊥AF，∴BH平分∠ABF，∴∠HBN＝45°，∴∠HON＝2∠HBN＝90°，∴點H的運動軌跡的長＝＝π．故答案為：π．15．（2022?青島）如圖，O為正方形ABCD對角線AC的中點，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長度為（）A． B． C． D．【分析】首先利用正方形的性質(zhì)可以求出AC，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可求出OE．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，∴AC＝2，∵O為正方形ABCD對角線AC的中點，△ACE為等邊三角形，∴∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝2，AO＝，∴OE＝×＝．故選：B．16．（2022?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1【分析】方法一：如圖，延長DA、BC交于點G，利用正方形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，運用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出答案．方法二：過點E作EG⊥DF于點G，作EH⊥BC于點H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再證明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．【解答】解：如圖，延長DA、BC交于點G，∵四邊形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB?tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故選D．17．（2022?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點F、G與點C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）A． B．2 C．2 D．4【分析】連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC四點共線有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如圖，連接AE，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴點A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，連接AC，∴d1+d2+d3最小值為AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最?。紸C＝2，故選：C．18．（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當(dāng)∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是矩形；③當(dāng)AB＝AC時，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有①②③④（填上所有正確結(jié)論的序號）．【分析】①利用SAS證明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷結(jié)論①正確；②當(dāng)∠BAC＝150°時，求出∠EAD＝90°，根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形即可判斷結(jié)論②正確；③先證明AE＝AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷結(jié)論③正確；④根據(jù)正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形即可判斷結(jié)論④正確．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等邊三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四邊形ADFE是平行四邊形，故結(jié)論①正確；②當(dāng)∠BAC＝150°時，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四邊形AEFD是平行四邊形，∴平行四邊形ADFE是矩形，故結(jié)論②正確；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四邊形AEFD是平行四邊形，∴當(dāng)AB＝AC時，AE＝AD，∴平行四邊形AEFD是菱形，故結(jié)論③正確；④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四邊形AEFD是正方形，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．19．（2022?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點，M，N分別為BO，DO的中點，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板．則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有（）①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．A．只有① B．①② C．①③ D．②③【分析】①利用正方形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)可以解決問題；②利用①的結(jié)論可以證明OM≠MP解決問題；③如圖，過M作MG⊥BC于G，設(shè)AB＝BC＝x，利用正方形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)分別求出BE和MG即可判定是否正確．【解答】解：①如圖，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，∴EF為△CBD的中位線，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四邊形ABCD為正方形，∴A、O、P、C在同一條直線上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M(jìn)，N分別為BO，DO的中點，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正確；②根據(jù)①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四邊形MPEB不可能是菱形．故②錯誤；③∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四邊形ABCD是正方形，且設(shè)AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴點P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四邊形BMPE是平行四邊形，∴BO＝BD，∵M(jìn)為BO的中點，∴BM＝BD＝x，∵E為BC的中點，∴BE＝BC＝x，過M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四邊形BMPE的面積＝BE?MG＝x2，∴四邊形BMPE的面積占正方形ABCD面積的．∵E、F是BC，CD的中點，∴S△CEF＝S△CBD＝S四邊形ABCD，∴四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的（1﹣﹣﹣）＝．故③正確．故選：C．20．（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．正方形紙片的面積 B．四邊形EFGH的面積 C．△BEF的面積 D．△AEH的面積【分析】根據(jù)題意設(shè)PD＝x，GH＝y(tǒng)，則PH＝x﹣y，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得AP＝x+y，先用面積差表示圖中陰影部分的面積，并化簡，再用字母分別表示出圖形四個選項的面積，可得出正確的選項．【解答】解：設(shè)PD＝x，GH＝y(tǒng)，則PH＝x﹣y，∵矩形紙片和正方形紙片的周長相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵圖中陰影部分的面積＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×?（x﹣y）（2x+y）﹣2×?（2x﹣y）?x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形紙片的面積＝x2，故A不符合題意；B、四邊形EFGH的面積＝y(tǒng)2，故B不符合題意；C、△BEF的面積＝?EF?BQ＝xy，故C符合題意；D、△AEH的面積＝?EH?AM＝y(tǒng)（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合題意；故選：C．21．（2022?南通）如圖，點O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF過點D，BE，BF分別交AD，CD于點G，M，連接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，則△OEM的周長為3+3．【分析】如圖，連接BD，過點F作FH⊥CD于點H．解直角三角形求出AG，BG，利用相似三角形的性質(zhì)求出EG，DE，再證明FH＝BC，推出BM＝MF，求出MF，BD可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BD，過點F作FH⊥CD于點H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝4，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝2，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，∵OE＝BD＝×6＝3，∴△OEM的周長＝3++2＝3+3，22．（2022?貴陽）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥AD．（1）求證：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的長．【分析】（1）首先利用正方形的性質(zhì)可以得到AB＝AD，∠BAE＝90°，然后利用MF∥AD可以得到∠MFN＝90°，進(jìn)一步得到∠FMN＝∠MBO，最后利用全等三角形的判定方法即可求解；（2）通過證明△BOM∽△BAE，可得OM：AE＝BO：BA，可求OM的長，即可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，又∵M(jìn)F∥AD，∴四邊形AMFD為矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF，∵BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN（ASA）；（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM：AE＝BO：BA，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM：6＝5：8，∴OM＝，∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10，∴ON＝MN﹣MO＝．23．（2022?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點，連接CE并延長，交DA的延長線于點F．（1）求證：△AEF≌△BEC．（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的長．【分析】（1）先根據(jù)矩形性質(zhì)得出AD∥BC，然后證得∠F＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可證明：△AEF≌△BEC；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D＝90°，然后根據(jù)∠F＝30°得出CF＝2CD即可解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠BCE，∵E是AB中點，∴AE＝EB，∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（AAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵CD＝4，∠F＝30°，∴CF＝2CD＝2×4＝8，即CF的長為8．24．（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，再證明DF＝EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E為BC的中點，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四邊形DEFG是矩形．25．（2022?哈爾濱）已知矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD上一點，連接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如圖1，求證：△BEO≌△CEO；（2）如圖2，設(shè)BE與AC相交于點F，CE與BD相交于點H，過點D作AC的平行線交BE的延長線于點G，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△AEF除外），使寫出的每個三角形的面積都與△AEF的面積相等．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB＝OC＝OA＝OD，再利用SSS可證△BEO≌△CEO，即可解答；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，從而可證Rt△BAE≌Rt△CDE，進(jìn)而可得∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEA＝∠OED＝90°，從而可得AB∥OE∥CD，進(jìn)而可得△AEO的面積＝△BEO的面積，△DEO的面積＝△COE的面積，然后利用等式的性質(zhì)可得△AEF的面積＝△BFO的面積，△DHE的面積＝△CHO的面積，再證明△AEF≌△DEH，從而可得△AEF的面積＝△DHE的面積＝△CHO的面積，最后利用線段中點和平行線證明8字模型全等三角形△AEF≌△DEG，即可解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC＝OA＝OD，∵BE＝CE，OE＝OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都與△AEF的面積相等，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，∵BE＝CE，∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，∵OA＝OD，∴∠OEA＝∠OED＝90°，∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴AB∥OE，DC∥OE，∴△AEO的面積＝△BEO的面積，△DEO的面積＝△COE的面積，∴△AEO的面積﹣△EFO的面積＝△BEO的面積﹣△EFO的面積，△DEO的面積﹣△EHO的面積＝△COE的面積﹣△EHO的面積，∴△AEF的面積＝△BFO的面積，△DHE的面積＝△CHO的面積，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴△AEF的面積＝△DHE的面積＝△CHO的面積，∵DG∥AC，∴∠G＝∠AFE，∠GDE＝∠FAE，∴△AEF≌△DEG（AAS），∴△AEF的面積＝△DEG的面積，∴△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都與△AEF的面積相等．26．（2022?德陽）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設(shè)點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形EFGH是矩形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴FG＝BF＝tcm，∴EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）△BFC與△DCE能夠全等，理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°，∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，在Rt△CDH中，cos∠CDH＝，∴DH＝2×＝3，∵BF＝2tcm，∴EH＝tcm，∴DE＝（3﹣t）cm，∴當(dāng)BF＝DE時，△BFC≌△DEC，∴2t＝3﹣t，∴t＝1．27．（2022?湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，a＞b．記△ABC的面積為S．（1）如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S2．①若S1＝9，S2＝16，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2﹣S1＝2S．（2）如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索S2﹣S1與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①由S1＝9，S2＝16，求得b＝3，a＝4，進(jìn)而求出S＝ab＝6；②先證明△AFN∽△NAB，得出，進(jìn)而得出ab+b2＝a2，即可證明S2﹣S1＝2S；（2）先證明△ABC≌△FBE（SAS），得出AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，求出∠FEC＝30°，利用三角函數(shù)得出b＝a，進(jìn)而得出S＝ab＝a2，利由等邊三角形的性質(zhì)求出，，通過計算得出S2﹣S1＝×，即可證明S2﹣S1＝S．【解答】（1）①解：∵S1＝9，S2＝16，∴b＝3，a＝4，∵∠ACB＝90°，∴S＝ab＝＝6；②證明：由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∴∠FAH+∠NAB＝90°，∵FH⊥AB，∴∠FAH+∠AFN＝90°，∴∠AFN＝∠NAB，∴△AFN∽△NAB，∴＝，即，∴ab+b2＝a2，∴2S+S1＝S2，∴S2﹣S1＝2S；（2）解：S2﹣S1＝S，理由：∵△ABF和△CBE都是等邊三角形，∴AB＝FB，CB＝EB，∠ABF＝∠CBE＝60°，∴∠ABF﹣∠CBF＝∠CBE﹣∠CBF，∴∠ABC＝∠FBE，在△ABC和△FBE中，，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，∴∠FEC＝90°﹣60°＝30°，∵EF⊥CF，CE＝BC＝a，∴cos∠FEC＝，即cos30°＝，∴b＝acos30°＝a，∴S＝ab＝a2，∵△ACD和△CBE都是等邊三角形，∴，，∴S2﹣S1＝＝﹣＝＝×，∴S2﹣S1＝S．1．（2022?安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝（）A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由圖可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故選：C．2．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．【分析】由AF＝AC可得點F為AO中點，從而可得EF為△AOD的中位線，進(jìn)而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴點F為AO中點，又∵點E為邊AD的中點，∴EF為△AOD的中位線，∴EF＝OD＝BD＝．故答案為：．3．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是∠A＝90°（答案不唯一）．【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：需添加的一個條件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠A＝90°（答案不唯一）．4．（2022?聊城）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩條對角線是否相等 B．度量兩個角是否是90° C．測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等 D．測量兩組對邊是否分別相等【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、度量兩個角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不符合題意；C、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項C符合題意；D、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C．5．（2022?紹興）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動點，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點．下列四種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；④存在無數(shù)個正方形MENF．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．【解答】解：連接AC，MN，且令A(yù)C，MN，BD相交于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四邊形MENF就是平行四邊形，∵點E，F(xiàn)是BD上的動點，∴存在無數(shù)個平行四邊形MENF，故①正確；只要MN＝EF，OM＝ON，則四邊形MENF是矩形，∵點E，F(xiàn)是BD上的動點，∴存在無數(shù)個矩形MENF，故②正確；只要MN⊥EF，OM＝ON，則四邊形MENF是菱形，∵點E，F(xiàn)是BD上的動點，∴存在無數(shù)個菱形MENF，故③正確；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，則四邊形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤；故選：C．6．（2022?十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點B，C處，且AB＝AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形．若測得∠FBD＝55°，則∠A＝110°．【分析】利用矩形的性質(zhì)可得∠DBC＝90°，從而利用平角定義求出∠ABC的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵四邊形BDEC為矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案為：110．7．（2022?邵陽）已知矩形的一邊長為6cm，一條對角線的長為10cm，則矩形的面積為48cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式列式進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：∵長方形的一條對角線的長為10cm，一邊長為6cm，∴另一邊長＝＝8cm，∴它的面積為8×6＝48cm2．故答案為：48．8．（2022?宜昌）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上一點，F(xiàn)，G分別是BE，CE的中點，連接AF，DG，F(xiàn)G，若AF＝3，DG＝4，F(xiàn)G＝5，矩形ABCD的面積為48．【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，進(jìn)而求出＝24，即可求出矩形ABCD的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分別是BE，CE的中點，AF＝3，DG＝4，F(xiàn)G＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案為：48．9．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF為等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故選：C．10．（2022?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3，則中間小正方形的周長是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小正方形的邊長，然后即可得到小正方形的周長．【解答】解：由題意可得，小正方形的邊長為3﹣1＝2，∴小正方形的周長為2×4＝8，故選：B．11．（2022?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是4．【分析】由正方形邊長為3，可求AC＝3，則AA′＝AC＝，由平移可得重疊部分是正方形，根據(jù)正方形的面積公式可求重疊部分面積．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為3，∴AC＝3，∴AA′＝AC＝，∴A′C＝2，由題意可得重疊部分是正方形，且邊長為2，∴S重疊部分＝4．故答案為：4．12．（2022?瀘州）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是邊AB上的點，且BE＝2AE，過點E作DE的垂線交正方形外角∠CBG的平分線于點F，交邊BC于點M，連接DF交邊BC于點N，則MN的長為（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得CN和BN的長，然后根據(jù)BC＝3，即可求得MN的長．【解答】解：作FH⊥BG交于點H，作FK⊥BC于點K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四邊形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的邊長為3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，設(shè)FH＝a，則BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，設(shè)CN＝b，則NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故選：B．13．（2022?綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+，則四邊形EFGH的周長為（）A．4（2+） B．4（+1） C．8（+） D．4（++2）【分析】先構(gòu)造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH：EF＝2：；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分別交直線AB于R和T，構(gòu)造“一線三等角”，先求得FT的長，進(jìn)而根據(jù)相似三角形求得ER，進(jìn)而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解答