專題6.3期末考前必刷解答題（壓軸真題60道八上人教）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍

20232024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題6.3期末考前必刷解答題（壓軸真題60道，八上人教）一．解答題（共60小題）1．如圖，在△ABC中，分別延長△ABC的邊AB，AC到點D，E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：a．若∠A＝40°，則∠P=70b．若∠A＝90°，則∠P=45c．若∠A＝110°，則∠P=35…（1）根據(jù)上述規(guī)律，若∠A＝160°，則∠P＝10°．（2）∠P＝90°-12∠A（3）請證明（2）中的結(jié)論．【分析】（1）由題中規(guī)律即可得到答案；（2）由題中規(guī)律即可得到答案；（3）根據(jù)上述規(guī)律，由三角形內(nèi)角和定理、鄰補角及角平分線的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）∵a．若∠A＝40°，則∠P=70b．若∠A＝90°，則∠P=45c．若∠A＝110°，則∠P=35……，∴若∠A＝160°，則∠P=10故答案為：10°；（2）由（1）中規(guī)律可知，∠P=90故答案為：90°-（3）如圖所示：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝180°﹣∠DBC，∠ACB＝180°﹣∠BCE，∴360°﹣（∠DBC+∠BCE）＝180°﹣∠A，即∠DBC+∠BCE＝180°+∠A，∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠PBC=在△PBC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）=1【點睛】本題考查找規(guī)律，涉及三角形內(nèi)角和定理、鄰補角、角平分線性質(zhì)等知識，讀懂題意，找到規(guī)律，并靈活運用三角形內(nèi)角和定理求解是解決問題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點F作FG⊥FD交射線CB于點G．（1）如圖，當(dāng)點F在線段BE上時；①求證：∠EDF+∠BGF＝∠DFG；②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）當(dāng)點F在線段AE上時，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．②過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝∠DFG．理由：如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°＝∠DFG．②證明：過點F作FH∥BC交AC于點H．如圖2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：結(jié)論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：設(shè)DE交FG于J．如圖3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．當(dāng)點G在CB的延長線上時，同法可證∠EDF+∠BGF＝90°，如圖4，【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）求證：∠BAC＝∠B+2∠E；（2）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計算，證明結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及已知條件可求解∠ACE，∠ECD，∠BCE的度數(shù)，可得結(jié)論，【詳解】（1）證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE．∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠BAC＝∠E+∠ECD，∵∠ECD＝∠B+∠E，′∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，∴∠BAC＝2∠E+∠B．（2）解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝40°，∴∠ACE＝∠ECD=12（180°﹣40°）＝∴∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝110°，∴∠E＝180°﹣30°﹣110°＝40°．【點睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．4．（問題背景）∠MON＝90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．（問題思考）（1）如圖①，AE，BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A，點B的運動，∠AEB＝135°；；（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D．①若∠BAO＝80°則∠D＝45°；②隨著點A、B的運動∠D的大小會變嗎？如果改變求∠D的度數(shù)；如果不變，請說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，射線OA的反向延長線上有一點P，如果∠PON＝α，其余條件不變，圍隨著點A、B的運動（如圖③），則：∠MON＝180°﹣α．用含α的代數(shù)式表示）∠D＝12α．．（用含【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，將∠BAE+∠ABE求出，即可求解．（2）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，求出∠OBD+∠ABO+∠OAB，即可求解；②設(shè)∠BAD＝x，根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC＝45°+x，即可求解．（3）設(shè)∠BAD＝x，根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC=【詳解】解：（1）∵∠MON＝90°∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∴∠BAE+∴∠AEB＝135°；故答案為：135°．（2）解：①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝80°，∴∠ABN＝170°，∠ABO＝10°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠CBN=∴∠OBD＝∠CBN＝85°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝40°，∴∠D＝180°﹣（∠OBD+∠ABO+∠OAB）＝180°﹣（85°+10°+40°）＝45°．故答案為：45°．②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90°+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+x，∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°．故∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化．（3）設(shè)∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD=1=1∴∠MON＝180°﹣∠PON＝180°﹣α．故答案為：180°﹣α，12【點睛】本題考查了根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，掌握角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，并會靈活運用是解題的關(guān)鍵．5．綜合與實踐如圖1，線段AD與BC相交于點O，連接AC，BD，我們把這樣的圖形稱為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．（1）請通過觀察、測量，猜想圖1中∠A+∠C與∠B+∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠CAD與∠CBD的平分線交于點P，若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數(shù)；（3）智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線AP，BP，使得∠CAP=1n∠CAD，∠CBP=1n∠CBD，兩條射線交于點【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等證明即可；（2）設(shè)∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根據(jù)方程組解決問題即可；（3）結(jié)論：n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D．設(shè)∠CAP＝α，∠CBP＝β，則∠PAD＝（n﹣1）α，∠PBD＝（n﹣1）β，構(gòu)建方程組求解．【詳解】解：（1）理由：∵∠A+∠C+∠AOC＝180°，∠B+∠D+∠BOD＝180°，∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D．（2）設(shè)∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根據(jù)∠CAD和∠CBD的角平分線相交于點P可知：∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y(tǒng)，∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE與△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF與△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y(tǒng)+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（3）結(jié)論：n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D．理由：設(shè)∠CAP＝α，∠CBP＝β，則∠PAD＝（n﹣1）α，∠PBD＝（n﹣1）β，∴α+∠由①可得α﹣β＝∠P﹣∠C，由②可得（n﹣1）（α﹣β）＝∠D﹣∠P，∴（n﹣1）（∠P﹣∠C）＝∠D﹣∠P，∴n∠P＝（n﹣1）∠C+∠D，【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．6．模型認(rèn)識：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°，又知道角平分線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進(jìn)行下面的探究活動．如圖①．在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．解決問題：（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BPC＝120°；（直接寫出答案）（2）若∠BAC＝100°，求出∠BPC的度數(shù)：拓展延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，直接寫出∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（3）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠PBC=12∠ABC=12×40°＝20°，∠PCB=12∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣20°﹣40°＝120°；故答案為：120°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（180°﹣∠BAC）＝90°+1∵∠BAC＝100°，∴∠BPC＝90°+12∠BAC＝90°+12（3）∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個解答思路求解是解題的關(guān)鍵．7．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，∠AOB＝70°，則∠C+∠D＝110°．（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，進(jìn)而得到∠1+∠3＝60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形得出∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°，由題意知∠ADE比∠BED大6°，聯(lián)立方程組即可解得答案．【詳解】解：（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，∴∠C+∠D＝110°，故答案為：110；（2）∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，∴2∠1+2∠3＝120°，∴∠1+∠3＝60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形，∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，聯(lián)立①②得∠ADE+解得∠ADE=33∴∠BED＝27°．答：∠BED的度數(shù)為27°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，利用對頂三角形的性質(zhì)解答是解此題的關(guān)鍵．8．將一把直角尺放置在鈍角△ABC（∠BAC＞90°）上，使得點B、C分別在該直角尺的兩條直角邊DE、DF上，且直角頂點D與點A在BC邊的同側(cè)．（1）如圖，點A在直角尺內(nèi)部．①若∠A＝120°，∠ABD＝10°，求∠ACD的度數(shù)；②若∠A＝α，∠ABD＝β，求∠ACD的度數(shù)（用含α、β的式子表示）．（2）改變直角尺的位置，使點A在直角尺外部，其它條件不變，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①根據(jù)∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用三角內(nèi)角和定理求得即可；②根據(jù)∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，得∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（β+180°﹣α）＝α﹣β﹣90°．（2）分兩種情況解答即可．【詳解】解：（1）①∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°．∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（10°+60°）＝20°．②∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．∵∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣（∠ABD+∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（β+180°﹣α）＝α﹣β﹣90°．（2）①如圖，當(dāng)點D在AB的左側(cè)時，設(shè)AB與CD交于點M．∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°，又∠DMB＝∠AMC，∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD，∴∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°．②如圖，當(dāng)點D在AB的右側(cè)時，∵∠D+∠ABD+∠DMB＝∠A+∠ACD+∠AMC＝180°，又∠DMB＝∠AMC，∴∠D+∠ABD＝∠A+∠ACD，∴∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°．綜上所述，當(dāng)點D在AB的左側(cè)時，∠A+∠ACD﹣∠ABD＝90°；當(dāng)點D在AB的右側(cè)時，∠A+∠ABD﹣∠ACD＝90°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理．9．已知：如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的高，∠A＝∠DCB．（1）試說明∠ACB＝90°；（2）如圖2，如果AE是角平分線，AE、CD相交于點F．那么∠CFE與∠CEF的大小相等嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)高定義求出∠CDA＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠CAE＝∠BAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根據(jù)對頂角相等求出即可．【詳解】（1）解：∵CD是AB邊上的高，∴∠CDA＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；（2）解：∠CFE＝∠CEF，理由是：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），∴∠CEF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF．【點睛】本題考查了角平分線的定義，高的定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，能靈活運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．10．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠PBC+∠PCB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝【詳解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-1（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，則90°-12∠A＝∠A，解得∠A＝④∠E＝2∠Q，則12∠A＝2（90°-12∠A），解得∠A綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．11．綜合與實踐：已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動，運動的時間t秒．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，t＝1時，△BPD與△CQP是否全等是（填“是”或“否”）；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)△BPD與△CQP全等時，請直接寫出點Q的運動速度為4厘米/秒．（2）若點Q以（1）②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？此時相遇點距離B點的路程是多少？【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3厘米，PC＝BD＝6厘米，然后根據(jù)等邊對等角求得∠B＝∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；②因為VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5厘米，根據(jù)全等得出CQ＝BD＝6厘米，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；（2）因為VQ＞VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得．【詳解】解：（1）①∵t＝1，∴BP＝CQ＝3厘米，∵AB＝12厘米，D為AB中點，∴BD＝6厘米，又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米），∴PC＝BD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD與△CQP中，BP=CQ∠B=∠C∴△BPD≌△CQP（SAS）；故答案為：是；②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5厘米，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝6厘米．∴點P的運動時間t=BP3此時VQ=CQt=6∴當(dāng)△BPD與△CQP全等時，點Q的運動速度為4厘米/秒．故答案為：4厘米/秒；（2）因為VQ＞VP，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得4x＝3x+2×12，解得x＝24（秒），此時P運動了24×3＝72（厘米），又∵△ABC的周長為33厘米，∴72﹣33×2＝6（厘米），∴經(jīng)過24秒，點P與點Q第一次在△ABC的BC邊上相遇；此時相遇點距離B點的路程是6厘米．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．12．（1）如圖（1），△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，連接BE．則∠AEB的度數(shù)為90度，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系為AD＝BE（用幾何語言填寫）．（2）如圖（2），△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．若∠CAD＝30°，求AB與BE的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，再根據(jù)已知易得：∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，從而可得∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠AEB＝90°，即可解答；（2）根據(jù)手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠CBE＝30°，從而可得∠ABE＝90°，即可解答．【詳解】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°，故答案為：90；AD＝BE；（2）AB⊥BE，理由：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，已知，AB＝AC，點D、E分別在AC、AB上，且AE＝AD，∠B＝∠C，連接EC，BD、EC交BD于點M、連接AM．（1）求證：△EBM≌△DCM；（2）嘉琪說：“若S△BEM＝S△ADM，則E是AB的中點”，請你運用所學(xué)知識判斷嘉琪的說法是否正確，若正確，給出證明；若不正確，說出理由．【分析】（1）根據(jù)線段和差問題得出BE＝CD，再利用AAS即可證明△EBM≌△DCM；（2）由△EBM≌△DCM，得出ME＝MD，再根據(jù)SSS證明△AEM≌△ADM，則有S△BEM＝S△AEM，根據(jù)三角形面積公式可得AE＝BE，即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB＝AE+BE，AC＝AD+CD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴BE＝CD，在△EBM和△DCM中，∠B=∴△EBM≌△DCM（AAS）（2）解：嘉琪的說法正確，理由如下：∵△EBM≌△DCM，∴ME＝MD，在△AEM和△ADM中，ME=MDAE=AD∴△AEM≌△ADM（SSS），S△AEM＝S△ADM；∵S△BEM＝S△ADM，∴S△BEM＝S△AEM，過點M作MF⊥AB于點F，則S△BEM∴AE＝BE，即E是AB的中點．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，線段和差問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)．14．如圖所示，人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．（1）試猜想箏形的對角線AC與BD有什么位置關(guān)系？并用全等三角形的知識證明你的猜想；（2）過點D作DE∥AB交BC于點E，若BC＝10，CE＝4，求DE的長．【分析】（1）由AD＝CD，AB＝CB，BD＝BD，根據(jù)全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABD≌△CBD，得∠ABD＝∠CBD，即可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明BD⊥AC；（2）由DE∥AB，得∠EDB＝∠ABD，而∠ABD＝∠CBD，所以∠EDB＝∠CBD，則DE＝BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6．【詳解】解：（1）BD⊥AC，證明：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，∴BD⊥AC．（2）∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE，∵BC＝10，CE＝4，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6，∴DE＝6，∴DE的長為6．【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△ABD≌△CBD是解題的關(guān)鍵．15．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE，推出∠ADC＝∠BEC，由點A、D、E在同一直線上，且∠CDE＝50°，推出∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，推出∠BEC＝130°，根據(jù)∠AEB＝∠BEC﹣∠CED計算即可．（2）由（1）可知AD＝BE，只要證明DE＝2CF即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE．∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE．（2）解：AE＝BE+2CF．理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°∴△CDF和△CEF都是等腰直角三角形．∴DF＝EF＝CF．由（1）可知AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．16．（1）【模型啟迪】如圖1，在△ABC中，D為BC邊的中點，連接AD并延長至點H，使DH＝AD，連接BH，則AC與BH的數(shù)量關(guān)系為AC＝BH，位置關(guān)系為AC∥BH．（2）【模型探索】如圖2，在△ABC中，D為BC邊的中點，連接AD，E為AC邊上一點，連接BE交AD于點F，且BF＝AC．求證：AE＝EF．【分析】（1）證△ACD≌△HBD（SAS），得AC＝BH，∠C＝∠HBD，再由平行線的判定得AC∥BH即可；（2）延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG，證△ACD≌△GBD（SAS），得AC＝BG，∠CAD＝∠BGD，再證BG＝BF，得∠BGD＝∠BFG＝∠AFE，然后證∠AFE＝∠EAF，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵D為BC邊的中點，∴BD＝CD，在△ACD和△HBD中，CD=BD∠ADC=∠HDB∴△ACD≌△HBD（SAS），∴AC＝BH，∠C＝∠HBD，∴AC∥BH，故答案為：AC＝BH，AC∥BH；（2）證明：如圖2，延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG，∵D為BC邊的中點，∴BD＝CD，在△ACD和△GBD中，AC=BD∠ADC=∠GDB∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD，∵BF＝AC，∴BG＝BF，∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE，∴∠AFE＝∠CAD，即∠AFE＝∠EAF，∴AE＝EF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點M，連接CM．（1）求證：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（3）當(dāng)α＝90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根據(jù)∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；（3）先根據(jù)SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根據(jù)∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，進(jìn)而得到△PCQ為等腰直角三角形．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（3）△CPQ為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中點分別為點P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ為等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．18．如圖所示，BD、CE是△ABC高，點P在BD的延長線上，CA＝BP，點Q在CE上，QC＝AB．（1）判斷：∠1＝∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）；（2）探究：PA與AQ之間的關(guān)系；（3）若把（1）中的△ABC改為鈍角三角形，AC＞AB，∠A是鈍角，其他條件不變，試探究PA與AQ之間的關(guān)系，請畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）由條件可得出∠1＝∠2，可證得△APB≌△QAC，可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合（1）可證得△APB≌△QAC，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)CE、BD交于F，∵BD、CE是△ABC高，∴∠BEF＝∠CDF＝90°，∵∠BFE＝∠CFD，∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF，∴∠1＝∠2；故答案為：＝；（2）結(jié)論：AP＝AQ，AP⊥AQ，證明：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，而∠DAP+∠P＝90°，∴∠DAP+∠QAC＝90°，即∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP；即AP＝AQ，AP⊥AQ；（3）上述結(jié)論成立，理由如下：如圖所示：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，∵∠CAE＝∠DAB，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，∵∠PDA＝90°，∴∠P+∠PAD＝90°，∴∠QAC+∠PAD＝90°，∴∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP，即AP＝AQ，AP⊥AQ．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．19．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．（1）求證：OP平分∠AOB；（2）若MN＝8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長度之和．【分析】（1）過點P作PC⊥OA，垂足為C，過點P作PD⊥MN，垂足為D，過點P作PE⊥OB，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答；（2）根據(jù)△PMN的面積是16，可求出PD＝4，從而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：過點P作PC⊥OA，垂足為C，過點P作PD⊥MN，垂足為D，過點P作PE⊥OB，垂足為E，∵M(jìn)P平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，∴PC＝PD，∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，∴PD＝PE，∴PC＝PE，∴OP平分∠AOB；（2）∵△PMN的面積是16，MN＝8，∴12MN?PD＝16∴12×8?PD＝∴PD＝4，∴PD＝PC＝PE＝4，∵△OMN的面積是24，∴四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝16+24＝40，∴△POM的面積+△PON的面積＝40，∴12OM?PC+12ON?PE∴12OM?4+12ON?4∴OM+ON＝20，∴線段OM與ON的長度之和為20．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（1）證明角平分線具有的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號表示已知和求證．如圖1，已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD＝PE．（2）如圖2，在△OAB中，OP平分∠AOB，交AB于點P，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，OA＝OB＝6，若S△OAB＝15，求PD的長．【分析】（1）利用AAS證明△PDO≌△PEO，即可解決問題；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PD＝PE，所以S△AOP＝S△BOP=152，進(jìn)而可得【詳解】（1）證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠EOP，在△PDO和△PEO中，∠PDO=∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD＝PE；（2）解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE，∵OA＝OB＝6，∴S△AOP＝S△BOP，∵S△OAB＝15，∴S△AOP＝S△BOP=12×∴12OA?PD=∴6PD＝15，∴PD=5【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵得到△PDO≌△PEO．21．在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．（1）如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為AE＝AB+DE；（直接寫出答案）（2）如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【分析】（1）在AE上取一點F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點F，使AF＝AB，連接CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連接CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF＝CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG＝CG=12【詳解】解：（1）AE＝AB+DE；理由：在AE上取一點F，使AF＝AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC，在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，∵C是BD邊的中點，∴BC＝CD，∴CF＝CD，∵∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠ECD，在△CEF和△CED中，CF=CD∠ECF=∠ECD∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF＝ED，∵AE＝AF+EF，∴AE＝AB+DE，故答案為：AE＝AB+DE；（2）猜想：AE＝AB+DE+12證明：在AE上取點F，使AF＝AB，連接CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連接CG，∵C是BD邊的中點，∴CB＝CD=12∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC，在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA，同理可證：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE，∵CB＝CD，∴CG＝CF，∵∠ACE＝120°，∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，∴∠FCA+∠GCE＝60°，∴∠FCG＝60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG＝FC=12∵AE＝AF+EG+FG，∴AE＝AB+DE+12【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．22．如圖，OC平分∠AOB，P為OC上的一點，∠MPN的兩邊分別與OA、OB相交于點M、N．（1）如圖1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，過點P作PE⊥OA于點E，作PF⊥OB于點F，請判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求證：OP＝OM+ON．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，再根據(jù)∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，可得∠PMO+∠PNO＝180°，進(jìn)一步可得∠PMA＝∠PNO，可證△PEM≌△PFN（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明PM＝PN；（2）過點P作PE⊥OA于點E，過點P作PF⊥OB于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，可證△PME≌△PNF（AAS），可得EM＝FN，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OP＝2OE，OP＝2OF，進(jìn)一步可證OP＝OE+OF＝OM+ON．【詳解】（1）解：PM＝PN，理由如下：∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，∴∠PMO+∠PNO＝180°，∵∠PMO+∠PMA＝180°，∴∠PMA＝∠PNO，∴在△PEM和△PFN中，∠PME=∴△PEM≌△PFN（AAS），∴PM＝PN；（2）證明：過點P作PE⊥OA于點E，過點P作PF⊥OB于點F，如圖所示：∵OC平分∠AOB，∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，∵∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，∴∠PMO+∠PNO＝180°，∵∠PNO+∠PNF＝180°，∴∠PMO＝∠PNF，在△PME和△PNF中，∠PMO=∴△PME≌△PNF（AAS），∴EM＝FN，∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠EPO＝∠FPO＝30°，∴OP＝2OE，OP＝2OF，∴OP＝OE+OF＝OM+ON．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，池塘兩端A、B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計測量A、B之間距離的方案．小明設(shè)計的方案如圖①：他先在平地上選取一個可以直接到達(dá)A、B的點O，然后連接AO和BO，接著分別延長AO和BO并且使CO＝AO，DO＝BO，最后連接CD，測出CD的長即可．小紅的方案如圖②：先確定直線AB，過點B作AB的垂線BE，在BE上選取一個可以直接到達(dá)點A的點D，連接AD，在線段AB的延長線上找一點C，使DC＝DA，測BC的長即可．你認(rèn)為以上兩種方案可以嗎？請說明理由．【分析】分別證明△ABO≌△CDO（SAS），Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），即可解決問題．【詳解】解：以上兩種方案可以，理由如下：甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在Rt△ABD和Rt△CBD中，DA=DCDB=DB∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AB＝BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABO≌△CDO和Rt△ABD≌Rt△CBD．24．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如圖，點D在AB邊上，點E在AC邊上，BD＝CE，BE與CD交于點F．試判斷BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD＝CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度數(shù)．【分析】（1）證明△BCD≌△CBE（SAS），得出∠FBC＝∠FCB，根據(jù)等腰三角形判定即可得出答案；（2）先求出∠ABC=∠ACB=12(180-∠BAC)=67.5°，由（1）得出∠DBF＝∠ECF，設(shè)∠FBD＝∠ECF＝x，則∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135﹣2x，分三種情況：①當(dāng)BD＝BF時，②當(dāng)BD＝DF時，【詳解】解：（1）BF＝CF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD與△CBE中，BC=BC∠ACB=∠ABC∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC=由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，設(shè)∠FBD＝∠ECF＝x，則∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三種情況討論：①．當(dāng)BD＝BF時，此時∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②當(dāng)BD＝DF時，此時∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③當(dāng)BF＝DF時，此時∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，無解；綜上所述，∠FBD＝30°或45°．【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．25．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點D在BC延長線上移動時，若∠BAC＝25°，則∠DCE＝25°．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點D在BC延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點D在直線BC上（不與B，C兩點重合）移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【分析】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可②α+β＝180°或α＝β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝25°，∴∠DCE＝25°，故答案為：25°；（2）①解：當(dāng)點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α＝β，理由是：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②解：當(dāng)D在線段BC上時，α+β＝180°，當(dāng)點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α＝β．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．26．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE＝AD，連接CD、AE．（1）求證：△ACE≌△CBD；（2）如圖②，延長EA交CD于點G，則∠CGE的度數(shù)是60度．【分析】（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BD，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠E＝∠D，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AD，∴BE+BC＝AD+AB，即CE＝BD，在△ACE和△CBD中，CE=BD∠ACB=∠ABC∴△ACE≌△CBD（SAS）；（2）如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D，∵∠BAE＝∠DAG，∴∠E+∠BAE＝∠D+∠DAG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵．27．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，△ABD為等邊三角形，連接CD．（1）求∠ACD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠BAC的平分線交CD于E，M為線段BC右側(cè)一點，滿足∠CMB＝60°，求證：EM平分∠CMB．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義得到AB＝AC，由等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AB，∠BAD＝60°，則∠CAD＝150°，AD＝AC，由此根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可得答案；（2）如圖所示，過點E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延長線于H，連接BE，由角平分線的定義得到∠BAE=∠CAE=12∠BAC=45°，則由三角形內(nèi)角和定理得到∠AEC＝120°，證明△AEB≌△AEC（SAS），得到∠AEB＝∠AEC＝120°，BE＝CE，則由周角的定義得到∠BEC＝120°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠GEH＝120°，則∠BEG＝∠CEH，由此證明△BGE≌△CHE（AAS），得到EG＝【詳解】（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB，∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝150°，AD＝AC，∴∠ACD=（2）證明：如圖所示，過點E作EG⊥BM于G，EH⊥CM交MC延長線于H，連接BE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴∠AEB＝∠AEC＝120°，BE＝CE，∴∠BEC＝360°﹣∠AEC﹣∠AEB＝120°，∵EG⊥MG，EH⊥MH，∠GMH＝60°，∴∠GEH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠BEG＝∠CEH＝120°﹣∠CEG，又∵∠BGE＝∠CHE＝90°，∴△BGE≌△CHE（AAS），∴EG＝EH，∴EM平分∠BMC．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角，四邊形內(nèi)角和定理，角平分線的判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．28．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？【分析】用含t的代數(shù)式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，當(dāng)BP＝BQ時，可得到關(guān)于t的一次方程，求解即得結(jié)論；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠BQP＝90°時，當(dāng)∠BPQ＝90°時．利用直角三角形中，含30°角的邊間關(guān)系，得到關(guān)于t的一次方程，求解得結(jié)論．【詳解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當(dāng)BP＝BQ時，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴t=4當(dāng)t=43時，△（2）若△PBQ為直角三角形，①當(dāng)∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②當(dāng)∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴t=8即當(dāng)t=85或t＝1時，△【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形、等邊三角形以及分類討論的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”及“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”，得到關(guān)于t的一次方程是解決本題的關(guān)鍵．29．如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作BC平行線交AB、AC于D、E．（1）請寫出圖1中線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）如圖2，△ABC若∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于O，過點O作BC平行線交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并證明這種關(guān)系．【分析】（1）先由角平分線定義得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行線的性質(zhì)得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，則∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，證出BD＝DO，OE＝CE，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）同（1）證出BD＝DO，OE＝CE，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，∵過O點作BC平行線交AB、AC于D、E．∴DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∴DO+OE＝BD+CE，即DE＝BD+CE；（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACF的平分線相交于點O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，∵過O點作BC平行線交AB、AC于D、E．∴DO∥BF，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∵DE＝DO﹣OE，∴DE＝BD﹣CE．【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、平行線的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．30．如圖1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，BC與AD，DE分別交于點F，H，AC和DE交于點G，連接BD，CE．（1）若∠DBA＝70°，求∠DAC的度數(shù)；（2）如圖2，連接BE，AH，求證：AH垂直平分BE．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)條件證明△ABD≌△AEC（SAS）和△DBH≌△CEH（AAS），等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AD，∠DBA＝70°，∴∠BDA＝∠ABD＝70°．∴∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠BAC＝100°，∴∠DAC＝100°﹣40°＝60°，（2）證明：∵AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝100°．∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝40°，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE＝∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△AEC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC，∴∠DBH＝∠CEH，∠DBH=∴△DBH≌△CEH（AAS），∴BH＝EH，又∵AB＝AE，∴點A，H在線段BE的垂直平分線上，即AH垂直平分BE．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，是解答的關(guān)鍵．31．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC于點Q．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長；（2）當(dāng)點Q與點C重合時，求t的值．【分析】（1）通過∠A＝30°，AP＝2t可得AD=3t，再由DC＝AC﹣AD（2）由∠DPQ＝60°，PD⊥AC，∠A＝30°可得△APQ是等腰三角形，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC=2，在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，AP＝2t，∴PD=t，∴DC=AC-AD=23-3t（（2）如圖，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ，∴△APQ是等腰三角形．∵PD⊥AC，∴AD＝DQ．∵點Q與點C重合，∴AD+DQ＝AC，∴2AD＝AC．即23解得t＝1．【點睛】本題考查三角形的動點問題，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)．32．已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED＝EC，利用等邊對等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；（2）AE＝DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進(jìn)而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DB＝EF，等量代換即可得證；（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．【詳解】解：（1）當(dāng)E為AB的中點時，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，則AE＝DB；（3）點E在AB延長線上時，作EF∥AC，則△EFB為等邊三角形，如圖所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，則CD＝BC+DB＝3．故答案為：（1）＝；（2）＝【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．33．如圖1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．（1）求證：AB＝CB；（2）作∠ABC的平分線，分別交AC，CN于E，D兩點（如圖2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明∠MCA＝∠BAC，根據(jù)等角對等邊即可得出答案；（2）先求出∠BCA=12∠MCN=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE⊥AC【詳解】（1）證明：∵AB∥CN，∴∠BAC＝∠ACN，∵CA平分∠MCN，∴∠MCA＝∠ACN，∴∠MCA＝∠BAC，∴BA＝BC．（2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN，∴∠BCA=∵BA＝BC，BD平分∠CBA，∴BE⊥AC∵BA＝BC＝2∴BE=12∴CE=2【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)．34．如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點F是AC的中點，求證：∠CFD=12∠【分析】（1）求得∠A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；（2）連接FB，根據(jù)AB＝BC，且點F是AC的中點，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，證得∠CFD＝∠CBF后即可證得∠CFD=1【詳解】解：（1）∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．（2）連接BF∵AB＝BC，且點F是AC的中點，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD=12∠【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中找到相等的線段，這是利用等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)．35．問題背景：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC．（1）探究一：當(dāng)∠BAE＝90°時．①若∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)；②若∠B＝α°，則∠CAE的度數(shù)用含α的式子表示為（45-12α）°，∠CAD的度數(shù)為45（2）探究二：若∠BAE＝n°，直接寫出∠DAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AED＝2∠C，①求出∠AEB，再根據(jù)∠EAC＝∠C，利用三角形的外角的性質(zhì)，可得∠CAE．求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到結(jié)論；（2）設(shè)∠ABC＝m°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣45°）＝∵∠BAE＝90°∴∠B＝∠AEB＝45°，∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴∠EAC＝∠C＝22.5°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAEα＝45°；②∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C①，∵∠B＝α，∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°﹣α，∵∠AEB＝∠EAC+∠C，∴∠CAE=12（90°﹣α）＝45°-∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C②，由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；故答案為：（45-12α），（2）設(shè)∠ABC＝m°，則∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°-12m°，∠AEB＝180°﹣∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12∵EA＝EC，∴∠CAE=12∠AEB＝90°-12n∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°-12n°-1【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．36．如圖，在△ABC中AB＝AC，D為CA延長線上一點，且DE⊥BC交AB于點F．（1）求證：△ADF是等腰三角形；（2）在（1）的條件下（如圖2），F(xiàn)為AB中點．求證：DF＝2FE．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，等角的余角相等，對頂角相等，運用等角對等邊證明．（2）過A作AG⊥DE于G，證明△AGF≌△BEF，即可得證．【詳解】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵ED⊥BC，∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BFE＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠DFA＝∠BFE，∴∠D＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．（2）過A作AG⊥DE于G，∵AD＝AF，AG⊥DF，∴GF=1又∵AG⊥DE，BE⊥DE，∴∠AGF＝∠BEF，又∵F為AB中點，∴AF＝BF，∵∠AGF=∴△AGF≌△BEF（AAS），∴EF＝FG，∴DF＝2FE．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（1）操作實踐：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩個條件，無需證明）【分析】（1）按要求畫圖（作AB的中垂線或作BC的中垂線）即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成兩個等腰三角形的各種情形，一共有4種情況，分別畫圖即可；（3）根據(jù)（1）（2）中的圖形總結(jié)即可．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）設(shè)分割線為AD，相應(yīng)用的角度如圖所示：圖1的最大角＝39°+78°＝117°，圖2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，圖3的最大角＝24°+66°＝90°，圖4的最大角＝84°，故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117°或108°或90°或84°；（3）若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，應(yīng)滿足下列條件之一：①該三角形是直角三角形；②該三角形有一個角是最小角的2倍；③該三角形有一個角是其中一個角的3倍．【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用，本題不僅趣味性強，創(chuàng)造性強，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想，是一道不可多得的好題．38．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當(dāng)點P的運動速度是1cm/s，點Q的運動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，