浙江省杭州二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

浙江省杭州二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.3．兩圓和的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外離C.外切 D.相交4．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.55．已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.20226．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則7．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.8．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.109．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，那么（）A. B.C. D.11．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則（）A.10 B.C. D.3812．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點(diǎn)．直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側(cè)面積為_(kāi)_______14．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為3，若另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則該組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)______.15．雙曲線的離心率為2，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.16．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，下圖中第一行的稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行的稱(chēng)為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第10項(xiàng)為_(kāi)_________，五邊形數(shù)的第項(xiàng)為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)？并說(shuō)明理由18．（12分）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.19．（12分）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設(shè)直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A、B，直線、與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.20．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）如圖，在三棱錐A-BCD中，O為線段BD中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1正三角形，且OA⊥BC，AB=AD（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若|OA|=1，，求平面BCE與平面BCD的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形，從而根據(jù)邊長(zhǎng)相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，根據(jù)題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：A.2、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.3、A【解析】計(jì)算出圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓圓心距為，則，因此，兩圓和內(nèi)切.故選：A.4、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.5、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C6、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C7、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題8、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計(jì)算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A9、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C10、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D11、A【解析】寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)性易得線段長(zhǎng)【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A12、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進(jìn)一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進(jìn)而通過(guò)余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因?yàn)?，所以，又，所以是該二面角的一個(gè)平面角，即，由余弦定理.因?yàn)?，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長(zhǎng)l，而側(cè)面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長(zhǎng)l＝＝5，∴側(cè)面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、12【解析】根據(jù)題意，先通過(guò)原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差及新數(shù)據(jù)的平均數(shù)求出k，進(jìn)而求出新數(shù)據(jù)的方差.【詳解】由題意，原式數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方程分別為：，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，于是新數(shù)據(jù)的方差.故答案為：12.15、（答案不唯一例如：等，只需滿(mǎn)足即可）【解析】根據(jù)離心率和的關(guān)系，可得到，只要滿(mǎn)足以上關(guān)系的即可【詳解】由題可知，又，所以，只要滿(mǎn)足以上關(guān)系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿(mǎn)足即可）16、①.②.【解析】對(duì)于三角形數(shù)，根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對(duì)于五邊形數(shù)根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，然后利用累加法可得通項(xiàng)公式.【詳解】由題可知三角形數(shù)的第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為3=1+2，第3項(xiàng)為6=1+2+3，第4項(xiàng)為10=1+2+3+4，，因此，第10項(xiàng)為；五邊形數(shù)的第1項(xiàng)為，第2項(xiàng)為，第3項(xiàng)為，第4項(xiàng)為，…，因此，，所以當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)也適合，故，即五邊形數(shù)的第項(xiàng)為.故答案為：55；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個(gè)斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程為（斜率不存在時(shí)另說(shuō)明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，然后難驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無(wú)解當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不能是線段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿(mǎn)足題意的直線也不存在所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；【小問(wèn)2詳解】由可得：，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）最大橫截距為.【解析】（1）首先寫(xiě)出的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系求出的坐標(biāo)，帶入即可求出.（2）設(shè)直線l的方程為，帶入拋物線方程利用韋達(dá)定理，計(jì)算出直線l的橫截距的表達(dá)式從而求出其最大值.【詳解】（1）由題知，，故，代入C的方程得，∴；（2）設(shè)直線l的方程為，與拋物線C：聯(lián)立得，由題知，可設(shè)方程兩根為，，則，，（*）由得，∴，，又點(diǎn)M在拋物線C上，∴，化簡(jiǎn)得，由題知M，A為不同兩點(diǎn)，故，，即，同理可得，∴，將（*）式代入得，即，將其代入解得，∴在時(shí)取得最大值，即直線l的最大橫截距為.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過(guò)C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令得，而平面的一個(gè)法向量，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.21、（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，所以，，而，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程，由得：，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；【小問(wèn)2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，其中，，則，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無(wú)論為何值，，點(diǎn)D在線段上，滿(mǎn)足題意.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意可得OA⊥平面BCD，從而可證明.（2）作OF⊥BD交BC于點(diǎn)F，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)锳B=AD，O為BD