福建省龍巖第二中學2025屆高二上數(shù)學期末調(diào)研模擬試題含解析

福建省龍巖第二中學2025屆高二上數(shù)學期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，為的導數(shù)，則（）A.-1 B.1C. D.2．設直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.4．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.5．已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，點為切點.若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.7．若關(guān)于一元二次不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.9．已如雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為A. B.C. D.11．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測．把這批公務員按001到780進行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.52212．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標為________14．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________15．圍棋是一種策略性兩人棋類游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______16．在棱長為2的正方體中，點P是直線上的一個動點，點Q在平面上，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；18．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調(diào)研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率19．（12分）已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標原點）的面積的最大值22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由導數(shù)的乘法法則救是導函數(shù)后可得結(jié)論【詳解】解：由題意，，所以.故選：B2、D【解析】因為，所以，，，，故選D3、A【解析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導數(shù)值即為切線斜率，即可求出切線方程.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，考查利用導數(shù)求切線方程，屬于基礎題.4、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.5、C【解析】由題意，設，直線方程為，則由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及弦長公式求出，進而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因為拋物線的性質(zhì)：在拋物線上任意一點處的切線方程為，設，所以在點處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，所以直線的方程為，即，點到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.6、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點睛】本題主要考查導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間7、B【解析】結(jié)合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B8、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當軸時,周長最小值為故選：C9、A【解析】先作輔助線，設出邊長，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設，則根據(jù)可知，，因為，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A10、C【解析】觀察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿足2n-1,所以可求得通項公式.【詳解】由符號來看，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以符號滿足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數(shù)，所以滿足2n-1,所以通項公式為，選C.【點睛】本題考查觀察法求數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵是培養(yǎng)對數(shù)字的敏銳性，屬于基礎題.11、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，寫出組數(shù)與對應抽取編號的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設第組抽取的編號為，故可設，又第一組抽中號，故可得，解得故，當時，.故選：.12、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【點睛】本題考查的重點是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過定點，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用焦點坐標為求解即可【詳解】因為，所以，所以焦點的坐標為，故答案：14、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標準方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）15、【解析】根據(jù)互斥事件與對立事件概率公式求解即可【詳解】設“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對立事件，所以因為2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：16、【解析】數(shù)形結(jié)合分析出的最小值為點到平面的距離，然后利用等體積法求出距離即可.【詳解】因為，且平面，平面，所以平面，所以的最小值為點到平面的距離，設到平面的距離為，則，所以，即，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】甲、乙兩人所付費用相同即為、、，求出相應的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費用相同的概率；【詳解】兩人所付費用相同，相同費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費用相同的概率為.18、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設，，可得，∴中位數(shù)應在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.（2）由題設，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）化簡得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】.又數(shù)列是以1為首項，4為公差等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，則數(shù)列的通項公式為，則，①，②，①-②得：，，，，.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O坐標原點，分別以OB，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為M，N分別為AB，AP的中點，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因為平面平面，所以【小問2詳解】因為平面平面ABC，取BC中點O，連接PO，AO，因為是等邊三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O為坐標原點，分別以OB，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可得：，，，，，所以，，，設平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為21、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計算得解.(2)設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達定理結(jié)合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的