2024年華僑、港澳、臺(tái)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年華僑、港澳、臺(tái)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，則A． B．， C．，， D．，，0，1，2，2．計(jì)算A． B． C． D．3．函數(shù)的最大值是A．1 B． C．2 D．4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．5．已知平面向量，，則A．“，”是“”的必要條件 B．“，”是“”的充分條件 C．“，”是“”的必要條件 D．“，”是“”的充分條件6．已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，不是增函數(shù) B．是增函數(shù)，不是奇函數(shù) C．既是奇函數(shù)，也是增函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，也不是增函數(shù)7．若的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則A．1 B． C． D．8．圓與圓交于，兩點(diǎn)，則直線的方程為A． B． C． D．9．已知和都是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的最小值是A．4 B．2 C．1 D．10．拋物線的焦點(diǎn)為，上的點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．11．正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側(cè)面的距離為，則該正四棱柱的體積是A． B． C． D．12．已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．用1，2，，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有個(gè)．14．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．15．不等式的解集為．16．函數(shù)的最小值為．17．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），則（9）．18．已知二面角的大小為，正方形在內(nèi)，等邊三角形在內(nèi)，則異面直線與所成角的余弦值為．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．20．（15分）在一個(gè)工作日中，某工人至少使用甲、乙兩儀器中的一個(gè)，該工人使用甲儀器的概率為0.6，使用乙儀器的概率為0.5，且不同工作日使用儀器的情況相互獨(dú)立．（1）求在一個(gè)工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器的概率；（2）記為在100個(gè)工作日中，該工人僅使用甲儀器的天數(shù)，求．21．（15分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式．22．（15分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)，，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)．（1）求的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在直線上，證明：是的角平分線．

2024年華僑、港澳、臺(tái)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，則A． B．， C．，， D．，，0，1，2，【解析】：，，0，1，，，，2，，則，，．故選：．2．計(jì)算A． B． C． D．【解析】：．故選：．3．函數(shù)的最大值是A．1 B． C．2 D．【解析】：．，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2．故選：．4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解析】：雙曲線的離心率為，可得，即，可得．雙曲線的漸近線方程為：．故選：．5．已知平面向量，，則A．“，”是“”的必要條件 B．“，”是“”的充分條件 C．“，”是“”的必要條件 D．“，”是“”的充分條件【解析】：對(duì)于，若，則，即，充分性不成立，錯(cuò)誤，對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，則，不成立，錯(cuò)誤，對(duì)于，若，則，必要性不成立，故錯(cuò)誤，對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，則，，，充分性成立，故正確．故選：．6．已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，不是增函數(shù) B．是增函數(shù)，不是奇函數(shù) C．既是奇函數(shù)，也是增函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，也不是增函數(shù)【解析】：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，所以為奇函?shù)，，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，為增函數(shù)，錯(cuò)誤，正確．故選：．7．若的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則A．1 B． C． D．【解析】：的展開(kāi)式中的系數(shù)是，．故選：．8．圓與圓交于，兩點(diǎn)，則直線的方程為A． B． C． D．【解析】：圓，即①，圓，即②，②①可得，化簡(jiǎn)整理可得，，故直線的方程為．故選：．9．已知和都是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的最小值是A．4 B．2 C．1 D．【解析】：因?yàn)楹投际呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以周期為，所以，所以，即的最小值是4．故選：．10．拋物線的焦點(diǎn)為，上的點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．【解析】：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，上的點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，可得，解得，故選：．11．正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側(cè)面的距離為，則該正四棱柱的體積是A． B． C． D．【解析】：正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側(cè)面的距離為，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，設(shè)正四棱柱的高為，則正四棱柱的體對(duì)角線即為其外接球的直徑，，即，，該正四棱柱的體積為．故選：．12．已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．【解析】：根據(jù)題意，為偶函數(shù)，則，又由的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，則有，當(dāng)時(shí)，有，則，則有．故選：．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．用1，2，，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有280個(gè)．【解析】：，2，，9這9個(gè)數(shù)字中奇數(shù)共有5個(gè)，用1，2，，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有個(gè)．故答案為：280．14．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【解析】：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，，得，即，解得．所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．故答案為：．15．不等式的解集為，．【解析】：，則，化簡(jiǎn)整理可得，，解得，故所求解集為，．故答案為：，．16．函數(shù)的最小值為．【解析】：，令，解得．可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，．故答案為：．17．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），則（9）11．【解析】：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），（1）（3），（3），（3）（5），（5），（5）（7），（7），（7）（9），則（9）．故答案為：11．18．已知二面角的大小為，正方形在內(nèi)，等邊三角形在內(nèi)，則異面直線與所成角的余弦值為．【解析】：過(guò)作，在平面過(guò)作軸，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以平面，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，由題意，可得，0，，，0，，，0，，，2，，則，0，，，2，，所以，，，所以，．所以異面直線與所成角的余弦值為，．故答案為：．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．【解析】：（1）由，可得，由正弦定理，可得，又，，所以，由誘導(dǎo)公式，可得，所以或，，又，所以，，又，故；（2）由（1）知，，，則，所以．20．（15分）在一個(gè)工作日中，某工人至少使用甲、乙兩儀器中的一個(gè)，該工人使用甲儀器的概率為0.6，使用乙儀器的概率為0.5，且不同工作日使用儀器的情況相互獨(dú)立．（1）求在一個(gè)工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器的概率；（2）記為在100個(gè)工作日中，該工人僅使用甲儀器的天數(shù)，求．【解析】：（1）設(shè)事件表示“在一個(gè)工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器”，則（A）；（2）因?yàn)樵谝粋€(gè)工作日中該工人僅使用甲儀器的概率為，則，所以．21．（15分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式．【解析】：（1）證明：，，，，，，，又，數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，①，當(dāng)時(shí)，②，①②可得，又，也滿足上式，，．22．（15