浙江省樂(lè)清市知臨中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

浙江省樂(lè)清市知臨中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A.8 B.2C.4 D.2．若，則（）A.0 B.1C. D.23．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢(qián)，按照爵位從高到低每人所出錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這5個(gè)人各出多少錢(qián)？”在這個(gè)問(wèn)題中，若公士出28錢(qián)，則不更出的錢(qián)數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.165．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，若，則（）A.6 B.C.2 D.6．已知斜三棱柱所有棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)、滿(mǎn)足，，則（）A. B.C.2 D.7．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.278．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.9．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對(duì)，所做皆稱(chēng)心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板14．設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，則______.15．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)__________.16．已知拋物線(xiàn)C的方程為：，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點(diǎn)，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足（1）求M的軌跡方程；（2）設(shè)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡方程；（3）設(shè)M的軌跡與N的軌跡的交點(diǎn)為P、Q，求20．（12分）已知滿(mǎn)足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（1）證明：；（2）求22．（10分）已知拋物線(xiàn)C的方程為：，點(diǎn)（1）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.（2）若直線(xiàn)過(guò)交拋物線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而得出短軸長(zhǎng).【詳解】由，可得，所以短軸長(zhǎng)為.故選：C.2、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，則有，因此，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為，所以曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的傾斜角是.故選：D4、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢(qián)數(shù)為.故選：D.5、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)，且，所以，解得；故選：A6、D【解析】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D7、B【解析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴故選：B8、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B9、B【解析】取中點(diǎn)為T(mén)，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計(jì)算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計(jì)算.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為T(mén)，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長(zhǎng)為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，所以平面，可知且，過(guò)分別作平面、平面的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B10、B【解析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合可確定在上的解集；根據(jù)奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數(shù)，，為上的偶函數(shù)，在上的解集為，即在上的解集為；當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)確定不等式的解集.11、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱(chēng)性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱(chēng)性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個(gè).故選：C.12、C【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，不滿(mǎn)足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或．時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，此時(shí)在必有零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145814、5【解析】考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與求值15、【解析】過(guò)F作，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過(guò)F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線(xiàn)為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.16、8【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，再求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)和即可計(jì)算作答.【詳解】拋物線(xiàn)C：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，依題意，直線(xiàn)l的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得，所以線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為8.故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，計(jì)算線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導(dǎo)證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解面面角作答【小問(wèn)1詳解】連結(jié)BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知，，，，，，，，設(shè)平面AMP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面BMP的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.19、（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積求解即可得答案；（2）設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法求解即可；（3）根據(jù)題意得弦由兩圓相交得，進(jìn)而根據(jù)幾何法弦長(zhǎng)即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則，所以，即所以M的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)N是的中點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)樵谏?，所以，?所以點(diǎn)N的軌跡方程為.【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)镸的軌跡與N的軌跡分別為，，是兩個(gè)圓.所以?xún)蓚€(gè)方程作差得直線(xiàn)所在的方程，所以圓到：的距離為，所以20、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）在等式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：在等式兩邊同時(shí)除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，命題成立即可；（2）通過(guò)求解數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對(duì)應(yīng)前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是從而，綜上所述，.【點(diǎn)睛】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；（3）對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，