湖南省醴陵市第四中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

湖南省醴陵市第四中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若，則（）A. B.2C. D.e2．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.4．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A. B.C. D.5．若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.46．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.7．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>08．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20709．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.10．設(shè)，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.11．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．與軸交于一點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_________14．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.15．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為________16．正方體，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)，時(shí)，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.19．（12分）已知數(shù)列滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，且數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)，不等式在上恒成立，求的取值范圍.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B2、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A3、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.4、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.5、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.6、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A7、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B8、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A9、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B10、C【解析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.【詳解】時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.11、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關(guān)系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C12、D【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，再結(jié)合函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)奇偶性得到單調(diào)性，進(jìn)而解得答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，容易判斷是定義在上的奇函數(shù)，于是在上單調(diào)遞增，而f(-1)=0，則.于是當(dāng)時(shí)，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：314、##30°【解析】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.15、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：116、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)題干提示來證明，注意證明首項(xiàng)不是零；（2）利用裂項(xiàng)求和來解決.【小問1詳解】證明：由題意，當(dāng)時(shí)，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項(xiàng)相加，可得，當(dāng)n=1成立，故18、1【解析】根據(jù)離心率寫出，設(shè)出直線為，把直線的方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立消，寫出韋達(dá)定理，再利用，即可解出，進(jìn)而求出直線的斜率.【詳解】，.設(shè)遞增直線的方程為，把直線的方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...19、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】解：數(shù)列滿足，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，即；∴【小問2詳解】解：，，，，20、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，易知；.【小問2詳解】根據(jù)題意，易知，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，故21、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)